第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质（二）

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1 第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质（二）
教学目标 1．使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明．并能应用判定定理和性质定理解决简单问题； 2．通过两个定理的两种引入方式，培养学生观察，归纳、猜想、证明的科学思维方式及辩证思维能力． 教学重点和难点 性质定理的引入及证明． 教学用具 两个互相垂直的平面，一根直的细木棍． 教学设计过程 师：上一节课我们学习了面面垂直的定义和判定面面垂直的定理．如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．判定定理是用来判定两个平面垂直的方法．请问判定定理是如何叙述的呢？ 生：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

2 师：好．应用定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线．下面我们一起来解决上节课留的思考题．
（板书）如图，四边形BCDE是正方形，AB⊥面BCDE，则图中所示7个平面中，有几对平面互相垂直？ 生：共7组． AB⊥面BCDE， 所以  面ABE⊥面BCDE， 面ABC⊥面BCDE， 面ABD⊥面BCDE， 且AB⊥BC，AB⊥CE，AB⊥CD．

3 又正方形BCDE， 所以  BC⊥BE， 所以  BC⊥面ABE． 因为  面ABC⊥面ABE， 因为  DE//BC， 所以  DE⊥面ABE， 故  面ADE⊥面ABE． 又  CD⊥BC， 因为  CD⊥面ABC， 所以  面ACD⊥面ABC． 又  CE⊥BD， 所以  CE⊥面ABD， 故  面ACE⊥面ABD． 师：通过对本题的研究，我们对判定定理有了更深入的理解．下面我们一起来研究面面垂直有哪些性质．

4 生：两个平面互相垂直，所成的二面角是直二面角．
师：很好．这是由定义的双重性得到的，定义既提供了两个平面垂直的判定方法，又指出了两个平面互相垂直的性质．上节课我们由线面垂直，推出面面垂直，也就是面面垂直的判定定理．那么现在从面面垂直出发，能否得到线面垂直呢？ （取出教具，并拿细木棍在其中一个面上移动） 生：当根与棱垂直时，根与另一平面垂直． 师：很好．如果棍与棱不垂直时，棍与面垂直吗？ 生：不垂直． 师：好．也就是说只有当棍与棱垂直时，棍才与面垂直．那么是不是与棱垂直，就一定与面垂直呢？ （保持棍与棱相交且垂直，将棱移开平面，使之与平面不垂直） 生：不是，棍必须在平面内． 师：意思是说当棍在面内时，如果棍与棱垂直，则它与面垂直．好，请你整理一下刚才的想法，该怎样叙述这个命题的内容呢？注意面面垂直的大前提。

5 生：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
师：很好，下面我们一起来完成命题的证明．先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，用符号语言叙述已知，求证． 生：已知如图，α⊥β，α∩β=AB，CD α，CD⊥AB． 求证：CD⊥β． 师：这个命题的结论是线面垂直．考虑已学过的判定线面垂直的方法有哪些，由本题的已知看看哪个方法最适合．

6 生：由已知CD⊥AB，AB在β内，想证CD⊥β，只需在β内再找一条直线与CD垂直．
师：很好．但β内没有这样的直线．应该怎样作出这条直线呢？ 生：因为α⊥β，根据定义作出这个二面角的平面角，就是90°． 在平面β内，过D作DE⊥AB， 因为  CD⊥AB， 所以  ∠CDE是α-AB-β的平面角， 又  α⊥β， 所以  ∠CDE=90°， 即  CD⊥DE． 又  AB β，DE β， 故  CD⊥β． 师：好．利用两个平面垂直的定义，作出直线CD⊥AB，最终证明了AB⊥β．它就是面面垂直的性质定理．也可称为线面垂直的判定定理．

7 （板书）剖析：（1）面面垂直→线面垂直 （2）为判定或作出线面垂直提供依据． 师：这个定理由面面垂直出发，借助于线线垂直，结论是线面垂直．给我们提供了解决线面垂直的一种新的思路--寻找面面垂直．这一点也是这一定理最突出的作用． 师：下面继续来看，保持面面垂直的条件不变，交换一下命题的条件和结论，看看结论是否有价值．（与学生一起分析得出） 师：命题1，由AB β，CD⊥β，可得CD⊥AB，与α⊥β的大前提无关，不做研究．命题2，条件重复，去掉CD⊥AB．这个结论正确吗？ （取出教具，保持棍与面垂直，将棍移出平面，引导学生说出棍上必须有一个点在面α上，才可以保证棍在面内） 师：好，修改一下命题．（擦去AB⊥CD，添加C∈α，或D∈α）

8 师：现在的命题正确吗？要证直线在平面内，直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平面内．已知只有一点C∈α，再找合题意的点很困难．应该采用什么对策？
生：利用反证法． 假设CD α，过点C作CE⊥AB于E． 因为  α⊥β， 所以  CE⊥β． 又CD与CE确定平面γ， 令γ∩β=a， 则CD⊥a，CE⊥a． 所以在平面γ内，有两条直线CD，CE，同时垂直直线a， 这与平面几何定理矛盾！ 所以  CD α．

9 师：很好．这也是面面垂直的一个性质，它的作用是判定直线在平面内．用语言叙述就是：（板书在命题1的位置）
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 师：请同学们打开书p．41．书上给出了面面垂直的两个性质定理．我们看一下定理的证明．看书的同时，指出书上所用的证明方法是同一法，有唯一性定理做保证．定理内容是：经过空间一点有且只有一条直线与一个平面垂直． 师：上面我们研究了面面垂直的两个性质定理．定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法．从应用上看，定理1更广泛一些． 例  垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面．

10 已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a， 求证：a⊥γ． 师：本题条件是面面垂直，结论是线面垂直．选择适当的判定 线面垂直的方法，给出证明． 证法一： 设α∩γ=b，β∩γ=c，在γ内任取一点P，作PM⊥b于M，PN⊥C于N． 因为  α⊥γ，β⊥γ， 所以  PM⊥α，PN⊥β． 因为  α∩β=a， 所以  PM⊥a，PN⊥a， 所以  a⊥γ．

11 证法二： 任取P∈a，过点P作b⊥γ． 因为  α⊥γ， 所以  b α， 因为  β⊥γ， 因此  b β， 故  α∩=b． 由已知  α∩β=a， 所以  a与b重合， 所以  a⊥γ．

12 证法三： 设α⊥γ于b，β⊥β于C． 在α内作b′⊥b， 所以  b′⊥γ． 同理在β内作C′⊥C，有C′⊥γ， 所以  b′∥c′，又b′ β，c′ β， 所以  b′∥β． 又  b′ α，α∩β=a， 所以  b′∥a， 故  a⊥γ．

13 师：这道题的三种证法，从三个不同角度入手，解决了线面垂直的问题，证法一利用线线垂直得面面垂直的判定定理．证法二通过面面垂直的性质利用同一法．证法三则利用线线平行解决线面垂直问题．
师：好，我们用两节课的时间完成了面面垂直的判定和性质定理的推导和证明．到此，有关垂直的内容可以做一小结． 我们知道，立体几何中，主要依靠线面关系的不断转化解决问题．由线线垂直到线面垂直，再到面面垂直；也可由面面垂直到线面垂直，再到线线垂直．以线面垂直为核心，结合线与面之间垂直和平行的关系，可以得到有关垂直的结构图．（与同学一起小结） 师：结合已知，灵活的应用这些定理，就可以寻找到解题思路，从而顺利的解决有关垂直的位置关系的问题．