第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第一课时.

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1 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第一课时

2 复习巩固 1、运用向量的坐标运算解题的步骤: ①建系，求相关点的坐标； ②求相关向量的坐标； ③运用向量运算解题.

3 2、如图，正三棱柱中，D,E分别是A1B1 与A1C1的中点，求BD与CE所成角的余弦 值。 z 如何建系？ 如何求E的坐标？ x y A1
O x y

4 问题提出 1.立体几何研究的主要问题有共点， 共线，共面，平行，垂直，夹角，距离等，这些问题都与空间向量有着密切的内在联系，从而可以用向量方法解决立体几何问题. 2.立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来，然后再建立相应的解题原理.

5 3.上一节所学习的内容是空间向量的基础知识，如何利用这些基础知识解决立体几何中的实际问题，是本节学习的主体内容.

6 向量方法 的基本原理

7 1、在空间中，取定点O作为基点，可以用什么方法表示空间任意一点P与点O的相对的位置？
探究（一）：空间点、线、面的向量表示 1、在空间中，取定点O作为基点，可以用什么方法表示空间任意一点P与点O的相对的位置？ O P 向量 称为点P的位置向量

8 2、过空间一点A可以作无数条直线，其中以某非零向量a为方向向量的直线有几条？如何用向量式表示？
P A

9 3、过空间不同两点A、B的直线如何用向量式表示？
P

10 4、设过点O的两条相交直线确定的平面为α，如何用向量形式表示平面α内的点P的位置？
a b ＝xa＋yb

11 5、若直线l⊥平面α，a为直线l的方向向量，则向量a叫做平面α的法向量，如何用向量形式表示过点O且法向量为a的平面α内的点P的位置？

12 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v.
探究（二）：向量方法的基本原理 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v. （1）、l//m，l//α，α//β的充要条件分别是什么？ l m b a α l//m a//b a＝kb；

13 （1）、l//m，l//α，α//β的充要条件分别是什么？
u a α l l//α a⊥u a·u＝0

14 （1）、l//m，l//α，α//β的充要条 件分别是什么？
u v α β α//β u//v u＝kv

15 （2）l⊥m，l⊥α，α⊥β的充要条件分别是什么？
a b m l⊥m a⊥b a·b＝0

16 （2）l⊥m，l⊥α，α⊥β的充要条件分别是什么？
u a α l⊥α a//u a＝ku

17 （2）l⊥m，l⊥α，α⊥β的充要条件分别是什么？
u v α β α⊥β u⊥v u·v＝0.

18 3、直线l和m所成的角θ与向量a，b的关系如何？ m
α a

19 4、直线l和平面α所成的角θ与向量a，u的关系如何？

20 5、平面α和平面β所成的角θ与向量u，v的关系如何？
A α B u P β O θ

21 6、直线l上一点P到平面α的距离d与向量a，u的关系如何？
O A α

22 例 求证：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
理论迁移 例 求证：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. u a b β α v

23 1.直线的方向向量和平面的法向量都不是惟一的，其方向有两种可能，其模可以为任意正数.
小结作业 1.直线的方向向量和平面的法向量都不是惟一的，其方向有两种可能，其模可以为任意正数. 2.设直线l的方向向量为a，对平面α内的任一向量p，若a·p＝0，则l⊥α. 3.用向量方法研究与平面有关的问题时，一般利用平面的法向量进行运算.

24 作业： P104练习：1，2. 《学海单元检测卷二》