基礎工程 第五章 側向土壓力與擋土牆.

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1 基礎工程 第五章 側向土壓力與擋土牆

2 5.1 緒論 擋土牆(retaining wall)係用於側向支撐垂直或近乎垂 直坡度的土壤，此種結構物常見於許多的工程設計
中，一般最常見的擋土牆可分為下列幾種型式： 1. 重力式擋土牆。 2. 半重力式擋土牆。 3. 懸臂式擋土牆。 4. 垛式擋土牆。 基礎工程，第五章，第173頁

3 5.1 緒論 重力式擋土牆(gravity retaining wall)[圖5.1(a)]係以
純混凝土或石材所建造而成，其穩定性取決於本身 重量以及牆後的土壤。 基礎工程，第五章，第173頁

4 5.1 緒論 於重力式擋土牆中加上少量的鋼筋，可使牆斷面尺寸減至最小，此稱為半重力式擋土牆(semigravity wall)[圖5.1(b)]。 基礎工程，第五章，第173頁

5 5.1 緒論 懸臂式擋土牆(cantilever retaining wall)[圖5.1(c)]
係由懸臂與水平底版所組成的鋼筋混凝土牆，此牆 較經濟的高度約為8m。 基礎工程，第五章，第173頁

6 5.1 緒論 至於，垛式擋土牆(counterfort retaining wall)[圖
5.1(d)]則近似於懸臂式，但每隔一定間隔建造一垂 直混凝土扶壁(counterfort)使牆身及底版成為一 體，其功用可減少側向土壓力對牆所造成的剪力及 彎矩。 基礎工程，第五章，第173頁

7 5.2 靜止側向土壓力 如圖5.2所示，考慮一高度為H之垂直牆，支撐一 單位重γ之土壤，q為作用於土壤上單位面積之均
布載重，則土壤之剪力強度s可表為： 而地表下任一深度z之垂直應地下應力σ‘o可表為： 若牆在靜止且不允許移離或移入土體(例如，無水平 應變)，則牆後土壤在深度z之側向土壓力可表為： c'=凝聚力；ψ'=有效摩擦角；σ'=有效正向應力。 (5.1)式 (5.2)式 u =孔隙水壓力；Ko=靜止土壓力係數。 基礎工程，第五章，第 頁

8 5.2 靜止側向土壓力 基礎工程，第五章，第175頁

9 5.2 靜止側向土壓力 對於正常壓密土壤而言，Ko的關係式(Jaky,1944)為： 對於正常壓密黏土，靜止土壓力係數則可近似地表
為(Brooker和Ireland，1965) (5.3)式 (5.4)式 ψ'=排水尖峰摩擦角。 基礎工程，第五章，第175頁

10 5.2 靜止側向土壓力 基於Brooker和Ireland的實驗結果，正常壓密黏土 之Ko值與塑性指數(PI)之關係，可近似地表為： 和
若為過壓密黏土時： (5.5)式 (5.6)式 (5.7)式 基礎工程，第五章，第 頁

11 5.2 靜止側向土壓力 圖5.2(a)中，牆每單位長度所承受的土壤總力Po， 可從圖5.2(b)中之壓力圖面積獲得，如下
心，以彎矩平衡關係求得，亦即： (5.8)式 P1=矩形面積l；P2=三角形面積2。 (5.9)式 基礎工程，第五章，第176頁

12 5.2 靜止側向土壓力 σ‘h和u隨深度之變化如圖5.3(b)所示；因此，作用 於牆上單位長度的總作用力，可清楚地由壓力圖面 積決定，如下：
所以 A = 壓力圖面積。 (5.10)式 基礎工程，第五章，第176頁

13 5.2 靜止側向土壓力 基礎工程，第五章，第177頁

14 5.3 Rankine主動土壓力 若牆趨於移離土壤Δx距離，如圖5.4(a)所示，則在 任一已知深度，作用於牆上之土壓力將逐漸地減
時，深度z處之水平應力σ‘h等於Koσ’o(= Koγz)； 然而，當Δx ＞0時， σ‘h將小於Koσ’o 。 牆移動距離Δx = 0與Δx ＞0時之摩爾圓(Mohr's circles)分別顯示於圖5.4(b)中之圓a及圓b。若牆位 移Δx持續增加時，則摩爾圓將持續發展至觸及摩 爾－庫倫破壞包絡線(Mohr-Coulomb failure envelope)，此包絡線可以公式定義如下： 基礎工程，第五章，第177頁

15 5.3 Rankine主動土壓力 基礎工程，第五章，第178頁

16 5.3 Rankine主動土壓力 觸及摩爾－庫倫破壞包絡線之圓，即圖5.4(b)中之圓 c，它代表土體中破壞之情況；此時水平應力等於
σ'a，即稱之為Rankine主動壓力(Rankine active pressure)。如圖5.4(a)所示。 參考公式(1.67)，可知觸及摩爾－庫倫破壞包絡線之 摩爾圓，其主應力公式為： 圖5.4(b)中之摩爾圓c， 最大主應力：σ'1 = σ'o 及 　　　　　　 最小主應力：σ'3 = σ'a [公式(1.67)] 基礎工程，第五章，第 頁

17 5.3 Rankine主動土壓力 因此 或 Ka=tan2(45-ψ'/2)= Rankine主動土壓力係數。 (5.11)式
基礎工程，第五章，第179頁

18 5.3 Rankine主動土壓力 由壓力分布狀態顯示，當z = 0時，主動土壓力等於 ，此即為張應力(tensile stress)，而張應力的大小將隨深度而減少，當深度在z = zc時，張應力等於零，意即： 及 因為土壤之張應力，將成為沿牆與土壤接觸面產生 裂縫的原因，所以zc通常稱為張應力裂縫深度 (depth of tensile crack)。 (5.12)式 基礎工程，第五章，第179頁

19 5.3 Rankine主動土壓力 因此，於張力裂縫發生前，牆單位長度總Rankine 主動作用力為：
張力裂縫發生後，作用於牆上單位長度之力，僅由 深度z = zc至z = H間分布之壓力所造成，如圖5.4(c) 中畫有線條之面積部分，此力之大小可表為： (5.13)式 (5.14)式 基礎工程，第五章，第179頁

20 5.3 Rankine主動土壓力 基礎工程，第五章，第178頁

21 5.3 Rankine主動土壓力 或 對於粒狀回填土，約0.001H至0.004H；而對於凝
(5.15)式 基礎工程，第五章，第180頁

22 例題5.1─題目 一擋土牆高6m，支承一單位重γ= 17.4kN/m3之土
壤，其摩擦角ψ‘ = 26°、凝聚力c’ = 14.36kN/m2。 試決定發生張力裂縫前、後兩種情況，作用於牆上 單位長度之Rankine主動作用力，並決定各情況合 力之作用線位置。

23 例題5.1─解答 已知： ψ‘ = 26°，所以 參考圖5.4(c) 當z = 0時： 及 當z = 6m時：

24 例題5.1─解答 (1)發生張力裂縫前之主動作用力：依公式(5.13) 由壓力圖面積取牆底為力矩中心，則可求得合力作用 線之位置，即 因此

25 例題5.1─解答 (2)發生張力裂縫後之主動作用力：依公式(5.12) 使用公式(5.14)，可得
圖5.4(c)顯示，Pa= 38.25kN/m的壓力為影線三角形 之面積，因此，合力作用線將位於距牆底高度z=( －zc)/3處，即：

26 例題5.2─題目 參考圖5.5(a)，假設牆可充分地變形，決定牆單位長 度之Rankine主動作用力，並且決定合力作用線之位 置。

27 例題5.2─解答 若凝聚力c'=0，則 對於頂層土壤而言，ψ1‘= 30°，所以 同理，對於底層土壤，ψ2‘= 36°，故
因為土壤中存在地下水，則有效側向土壓力及靜水 壓需各別計算： 　 在z = 0m時： 在z = 3m時：

28 例題5.2─解答 在此深度下，對於頂層土壤而言： 同理，對於底層土壤： 在z=6m時： 至於，從z=0至z=3m時，靜水壓力u=0。

29 例題5.2─解答 而在z=6m時，u=3γw=3(9.81) = 29.43kN/m2。 以上所有壓力之分布圖，如圖5.5(b)所示，故單位
長度之作用力為： 最後，利用牆底[圖5.5(a)中之O點]為力矩中心，可 求得合力作用線距離牆底的高度(z)，即

30 5.4 傾斜回填土之Rankine主動土壓力 若一無摩擦力擋土牆之回填材料為粒狀土壤(c‘ = 0)，
且與水平成a角(參見圖5.6)，則主動土壓力係數Ka， 可表為下列之型式： 單位長度擋土牆上之總作用力Pa為： 在此情況下，合力Pa的方向將與水平面成一α角之傾 斜，且作用於牆面在距牆底部H/3高度處。 (5.16)式 ψ‘ = 土壤摩擦角。 (5.18)式 基礎工程，第五章，第 頁

31 5.4 傾斜回填土之Rankine主動土壓力 基礎工程，第五章，第184頁

32 5.5 Coulomb主動土壓力 Coulomb於1776年發表──計算粒狀回填土擋土牆 之側向土壓力理論，此理論則將牆面上之摩擦力考
慮在內。 為了應用Coulomb主動土壓力理論，讓我們考慮一 牆背面與水平面成b傾斜角之擋土牆，如圖5.7(a)所 示，牆後回填土之粒狀土壤與水平面成a角的坡 度，而δ‘則為牆與回填土間的摩擦角(亦即牆摩擦 角)。 基礎工程，第五章，第184頁

33 5.5 Coulomb主動土壓力 基礎工程，第五章，第185頁

34 5.5 Coulomb主動土壓力 欲求此情況下之主動作用力，考慮土壤之可能破壞 土楔ABC1，作用於此楔(垂直於圖中斷面之單位長
度)上之各力如下： 1. 土楔本身的重量W。 2. 沿BC1面上，正向力與抗剪力之合力R，此力與 垂直BC1面之法線成ψ'角。 3. 牆單位長度之主動作用力Pa，Pa與垂直牆背之 法線成δ角。 由平衡的觀點，可繪得力之三角形，如圖5.7(b)。 基礎工程，第五章，第185頁

35 5.5 Coulomb主動土壓力 依此得出之Pa極大值，便是Coulomb的主動作用力 (參見圖5.7之頂部)，可用下式表之： 式中
　 (5.19)式 (5.20)式 H = 牆的高度 基礎工程，第五章，第185頁

36 5.6 Rankine被動土壓力 圖5.8(a)顯示為一水平回填土之無摩擦垂直擋土 牆，在土層某深處z之一土壤元素，其有效垂直壓
力σ‘o=γz。 若擋土牆被推向填土Δx距離，如圖5.8(a)所示， 在z深度之元素，其垂直應力不變，但水平應力則 增加；因此，使得σ‘h大於Koσ’o，此狀況之應力 如圖5.8(b)中之摩爾圓b所示。 若牆更進一步向填土推進(即Δx增大)，則深度z處 之應力最終將到達圖5.8(b)中的摩爾圓c；注意， 此時之摩爾圓觸及到了摩爾─庫倫之破壞包絡線， 暗示此時牆後之土壤被向上推起破壞。 基礎工程，第五章，第190頁

37 5.6 Rankine被動土壓力 基礎工程，第五章，第191頁

38 5.6 Rankine被動土壓力 此狀態之元素水平應力σ‘h，即稱之Rankine被動
壓力(Rankine passive pressure)，或σ‘h = σ‘P 。 在圖5.8(b)中的摩爾圓c，其最大主應力為σ‘P ，最 小主應力為σ‘o，將其代入公式(1.67)中得： 現在，令： 因此，由公式(5.21)，可得： (5.21)式 (5.22)式 (5.23)式 基礎工程，第五章，第190頁

39 5.6 Rankine被動土壓力 故，作用於擋土牆之單位長度被動作用力，可從圖 5.8(c)中的壓力圖面積求得，意即： (5.24)式
基礎工程，第五章，第190頁

40 5.6 Rankine被動土壓力 基礎工程，第五章，第191頁

41 例題5.3─題目＆解答 一座3m高擋土牆，如圖5.10(a)所示；試決定其單 位長度之Rankine被動作用力大小。 解： 對頂層土壤而言，
對底層土壤而言， σ'o =有效垂直應力

42 例題5.3─解答 所以，對頂層土壤而言， 在z = 2m深度處，對底層土壤而言， 此外

43 例題5.3─解答 注意，因為有地下水位，則靜水壓力σu亦應列入考 因此，
量。當z = 0至z = 2m時，u = 0；當z = 3m時，u= (1)(γw)=9.81kN/m2。因此，其被動土壓力分布圖 如圖5.10(b)所示，故牆上單位長度之被動作用力， 則可由圖中壓力圖之面積求得，如下：

44 5.7 Rankine被動土壓力：傾斜回填土 對一無摩擦擋土牆(圖5.6)之粒狀回填土(c‘=0)，於
主動壓力的情形加以決定，此壓力為： 因此，被動作用力為： 式中 如同主動作用力的情況一樣，合力Pp和水平線之間 傾斜a角，且作用力距牆底部H/3之高度處。 (5.26)式 (5.27)式 (5.28)式 基礎工程，第五章，第195頁

45 5.8 Coulomb被動土壓力 1. 土楔之重量W。 欲瞭解如何決定Coulomb被動作用力Pp，考慮如圖
5.11(a)所示之擋土牆。如主動壓力的情況， Coulomb假設土壤之潛在破壞面為一平面，對於一 個破壞土楔如ABC1，則單位長度擋土牆作用於此 土楔之力，包含如下： 1. 土楔之重量W。 2. 作用於BC1面上之正向力與剪力之合力R。 3. 被動作用力Pp。 基礎工程，第五章，第 頁

46 5.8 Coulomb被動土壓力 式中 圖5.11(b)顯示土楔ABC1平衡時之力三角形，由此
力三角形可求出Pp值，因三力之方向以及W力之大 小均為已知。 5.11(a)上方所示，乃為不同土楔相對應之Pp值的變 化情形；其中，圖上最小的Pp值即為Coulomb的被 動作用力，以數學式可表示為： 式中 (5.29)式 (5.30)式 基礎工程，第五章，第196頁

47 5.9 計算Coulomb土壓力時對假設破壞面之評論
之破壞面會有些不同，然計算結果則不會有太大的 差異；但在計算被動壓力的情況則有差異，當δ‘值 增加時，以Coulomb法計算之Pp值將產生大的誤 差。此誤差因素可能導致不安全之情況，因此Pp之 計算值可能大於土壤之抵抗值。 基礎工程，第五章，第197頁

48 5.10 擋土牆各部分的比例大小 圖5.13所示即為一般擋土牆各部分之比例大小，可 用來做初步的檢核之用。 基礎工程，第五章，第198頁

49 5.10 擋土牆各部分的比例大小 任何擋土牆牆身頂部不得小於0.3m，使能適當地澆 灌混凝土。基礎版的底部埋入深度D，則不能小於
若為垛式擋土牆時，牆身和底版的一般比例與懸臂 式擋土牆相同，扶版可為0.3m厚，中心距離則為 0.3H至0.7H之間。 基礎工程，第五章，第198頁

50 5.13 擋土牆的穩定性 一擋土牆可能因下列任何一種方式的發生而產生破 壞： 1.可能由牆趾產生傾倒 [參見圖5.17(a)]。
2.可能沿其底版面產生滑動 [參見圖5.17(b)]。 3.可能因牆底土壤之承載力不足而發生破壞 [參見圖 5.17(c)]。 4.可能遭遇深層的剪力破壞 [參見圖5.17(d)]。 5.可能發生超額的沉陷量。 基礎工程，第五章，第204頁

51 5.13 擋土牆的穩定性 基礎工程，第五章，第204頁

52 5.14 傾倒檢核 圖5.19作用在重力式及懸臂式擋土牆上之各種力 量，係假設Rankine主動土壓力作用於經過牆踵之
垂直面AB上。Pp表示Rankine被動土壓力，其大小 可表為： γ2= 底版下以及牆踵前土壤之單位重；Kp=Rankine被動土 壓力係數 = tan2(45＋ψ‘2/2)；c’2、ψ‘2= 分別為凝聚力和 有效土壤摩擦角。 基礎工程，第五章，第205頁

53 5.14 傾倒檢核 基礎工程，第五章，第206頁

54 5.14 傾倒檢核 針對牆趾抗傾倒所採取之安全係數；意即，在圖 5.19中之C點，可表為： 傾倒力矩可表為：
(5.32)式 ΣMo = 對C點傾倒力矩之總和；ΣMR=對C點抗傾倒力矩之 總和。 (5.33)式 Ph=Pacosa。 基礎工程，第五章，第 頁

55 5.14 傾倒檢核 為了計算抗傾倒力矩ΣMR(忽略Pp)，可列出一表格 如表5.10所示，牆踵上方土重與混凝土(或石材)重
量皆算入抗傾倒力矩之內。注意，主動土壓力垂直 分量Pv，亦對抗傾倒力矩有所貢獻，意即： (5.33)式 基礎工程，第五章，第 頁

56 5.14 傾倒檢核 Pv力對C點所產生的力矩為： 一旦ΣMR算出後，則安全係數亦可求出，如下： 一般而言，採用以抗傾倒之安全係數，其範圍介於
2至3之間。 (5.34)式 B = 底版寬度。 (5.35)式 基礎工程，第五章，第 頁

57 5.15 沿牆底滑動之檢核 抵抗滑動之安全係數，可以下式表示之 參考圖5.20，可看出位於牆底版下之土壤，其剪力 強度可表為：
(5.37)式 ΣFR'=水平阻力的總和；ΣFd= 水平推力的總和。 δ‘=土壤和底版間的摩擦角；c’a=土壤和底版間的附著力 (adhesion)。 基礎工程，第五章，第207頁

58 5.15 沿牆底滑動之檢核 因此，沿牆底版之土壤所能產生之單位長度的最大 抗滑力為： 但 所以
如圖5.20所示，被動土壓力Pp亦為一水平阻力，因 此： (5.37)式 (5.38)式 基礎工程，第五章，第207頁

59 5.15 沿牆底滑動之檢核 基礎工程，第五章，第208頁

60 5.15 沿牆底滑動之檢核 唯一能產生水平推力以迫使牆滑動者(驅動力)為主 動力Pa之水平分量，所以：
結合公式(5.37)、(5.38)與(5.39)，可得： 一般而言，抗滑動之安全係數值最小應採用1.5。 (5.39)式 (5.40)式 基礎工程，第五章，第208頁

61 5.16 承載力破壞之檢核 由擋土牆底版傳入土壤之垂直壓力需與土壤本身之 極限承載力相檢核，一般傳入土中之垂直壓力變化
情形，如圖5.22所示。 作用於牆底版垂直力之總和為ΣV(參見表5.10第三 欄)，水平力為Ph = Pacosα，取R為合力，如下： 這些力對圖5.22中C點所產生的淨力矩為： (5.42)式 (5.43)式 基礎工程，第五章，第209頁

62 5.16 承載力破壞之檢核 基礎工程，第五章，第209頁

63 5.16 承載力破壞之檢核 假設其合力R作用線交底版於E，故距離CE的大小 可決定如下： 因此，合力R之偏心距可表為：
牆底版下之壓力分布，可利用一些簡單的材料力學 原理來決定，首先，可表為： (5.44)式 (5.45)式 (5.46)式 Mnet=力矩= (ΣV)e；I=底版斷面上單位長度之慣性矩 = (1/12)(1)(B2)。 基礎工程，第五章，第210頁

64 5.16 承載力破壞之檢核 公式(5.46)中之y值等於B/2，對於最大及最小之壓 力值，可將各值代入公式(5.46)，得： 同理
(5.47)式 (5.48)式 基礎工程，第五章，第210頁

65 5.16 承載力破壞之檢核 淺基礎之極限承載力，可表為： 式中 (5.49)式 基礎工程，第五章，第 頁

66 5.16 承載力破壞之檢核 一旦使用公式(5.49)以計算土壤之極限承載力，則 抗承載力破壞之安全係數，可決定如下：
一般而言，抗承載力破壞之安全係數為3。 (5.50)式 基礎工程，第五章，第211頁

67 例題5.4─題目 如圖5.23所示的一懸臂式擋土牆斷面，計算其傾 倒、滑動以及承載力之安全係數。

68 例題5.4─解答 單位長度牆上之Rankine主動土壓力 = Pa = (1/2) 由圖可知
γ1H‘2Ka，當ψ’1 = 30°和α=10°時，Ka等於0.350 (參見表5.1)。因此： 和

69 例題5.4─解答 (1)抗傾倒之安全係數 列出下表以決定抵抗力矩： 傾倒力矩Mo為： 和

70 例題5.4─解答 (2)抗滑動之安全係數 由公式(5.41) 取k1=k2=2/3，所以 和

71 例題5.4─解答 (3)抗承載力破壞之安全係數 結合公式(5.43)、(5.44)和(5.45)，可得 所以 因此
(註：對某些設計者而言，被動土壓力計算所需之深度D， 可採用底版之厚度) (3)抗承載力破壞之安全係數 結合公式(5.43)、(5.44)和(5.45)，可得

72 例題5.4─解答 此外，再由公式(5.47)和(5.48) 依公式(5.49)以決定土壤之極限承載力，如下

73 例題5.4─解答 當ψ'2=20° (參見表3.3)時，得Nc=14.83、Nq=6.4 和Ng=5.39，故

74 例題5.4─解答 和 所以 及 因此

75 例題5.5─題目 如圖5.24所示之重力式擋土牆，試使用δ' = 2/3ψ'1 以及Coulomb的主動土壓理論以決定下列各項：
a. 抗傾倒之安全係數。 b. 抗滑動之安全係數。 c. 作用在牆趾和牆踵處土壤壓力之大小。

76 例題5.5─題目

77 例題5.5─解答 高度H‘為： Coulomb主動力為： 因α=0°、β=75 °、δ‘= 2/3且ψ'1且ψ'1= 32°、
Ka= (參見表5.3)，所以 和

78 例題5.5─解答 (a)部分：抗傾倒之安全係數 依圖5.24，可列出下表： 注意上表中，牆背面上土壤之重量並未計入，可得

79 例題5.5─解答 因此 (b)部分：抗滑動之安全係數 和

80 例題5.5─解答 因此 所以 假如忽略Pp，則安全係數為1.37。

81 例題5.5─解答 (c)部分：作用在牆趾和牆踵之土壤壓力 依公式(5.43)、(5.44)、和(5.45) 和

82 5.17 回填土的施工縫與排水設施 施工縫 一擋土牆可能須要構築下列所示的一種或更多種之 接縫型式：
1. 施工縫(construction joints)：參見圖5.25(a)，在 兩次澆置混凝土間之垂直與水平接縫，為增加其接 縫間之剪應力，可使用榫頭的方式，若不使用榫 頭，則第一次之澆置表面須在下次澆置施工前清除 乾淨並使之粗糙。 基礎工程，第五章，第218頁

83 5.17 回填土的施工縫與排水設施 2. 收縮縫(constraction joints)：參見圖5.25(b)，為
避免混凝土收縮時不致產生顯著的損害，可在基礎 版頂面至牆頂的牆面上，設置垂直縫(槽溝)。此槽 溝一般約為6到8mm寬，12到16mm深左右。 3. 伸縮縫(expansion joints)：參見圖5.25(c)，為考 量混凝土因溫度改變而伸縮，可使用由底版至牆頂 之垂直伸縮縫，而此接縫可用撓性填充物填充之。 基礎工程，第五章，第218頁

84 5.17 回填土的施工縫與排水設施 基礎工程，第五章，第218頁

85 5.17 回填土的施工縫與排水設施 牆背回填土之排水設施 由於雨水或其他濕潤的情況，回填材料可能達到飽
和現象，以致增大作用於牆背之壓力，並可能因而 造成不穩定的情況。因此，適當的排水設施，如洩 水孔(weep holes)或多孔管(perforated drainage pipes)的設置係必要的(參見圖5.26)。 基礎工程，第五章，第219頁

86 5.17 回填土的施工縫與排水設施 基礎工程，第五章，第219頁

87 5.17 回填土的施工縫與排水設施 有兩個主要因素影響濾層材料之選擇，意即濾層材 料之粒徑分布應滿足：(a)土壤受到保護而不會沖刷
並帶進濾層內；(b)在低滲透性的回填土壤中，不會 產生超額靜水壓力。為了滿足前述條件，則須符合 下列要求(Terzaghi和Peck，1967)： (5.51)式 (5.52)式 下標F和B係分別代表濾層和底層材料(即指回填土)；同時 ，D15和D85則為通過15%及85%之土壤粒徑(視情況也 許是濾層或底層)。 基礎工程，第五章，第219頁

88 例題5.6─題目 圖5.27顯示一回填材料之粒徑分布，試利用5.17中 所述的條件，決定濾層材料粒徑分布之範圍。

89 例題5.6─解答 依圖中已知的粒徑分布曲線，決定下列各值： 濾層的條件：
1.D15(F)應小於5D85(B)，意即：5×0.25=1.25mm 2.D15(F)應大於4D15(B)，意即：4×0.04=0.16mm。 3.D15(F)應小於25D50(B)，意即25×0.13=3.25mm。 4. D50(F)應小於20D15(B)，意即：20×0.04=0.8mm。 將這些限制點繪於圖5.27上，經過這些點繪出類似 於回填材料粒徑分布曲線之兩條曲線，由此兩條曲 線，即可定出可加以使用濾層材料之範圍。

90 習題 5.1 參考圖5.3(a)，已知：H1=3m、H2=3m、q=0、
γ= 16.5kN/m3、γsat=19.2kN/m3、c‘=0以及 ψ‘=30°。試使用公式(5.3)，決定單位長度牆上之 靜止側向土壓力，以及合力作用點之位置。 5.2 參考圖5.3(a)，已知：H1 = 4.5m、H2 = 0、q = 0 以及γ = 17kN/m3，回填土為一具有塑性指數為 23之過壓密黏土，且過壓密比為2.2。試使用公 式(5.5)和(5.7)，決定單位長度牆上之靜止側向土 壓力，以及其合力的作用點位置。 5.3 若假設上加載重q=50kN/m2，重新計算習題5.2。

91 習題 5.4 參考圖5.4(a)，已知：擋土牆高度H=7m，回填土 為飽和黏土，其ψ‘=0°，c = 30kN/m2及γsat=
a. 決定牆後之Rankine主動土壓力分布圖。 b. 決定張力裂縫之深度zc。 c. 於張力裂縫發生前後，估算作用於單位長度 牆上Rankine主動土壓力之大小。 5.5 參考習題5.4。 a. 繪出牆後之Rankine被動土壓分布圖。 b. 決定作用於牆上單位長度Rankine被動土壓力 之大小及其合力之作用位置。

92 習題 5.6 一垂直擋土牆[圖5.4(a)]高6.3m，具有水平之背填 土，且已知背填土之γ = 18.7kN/m3、ψ‘=24°，
以及c‘ = 10kN/m2。試決定在張力裂縫產生後， 作用於牆上單位長度之Rankine主動力大小。 5.7 重作習題5.6之Rankine被動力。 5.8 參考圖P5.8，已知：H1 = 2.5m、H2 = 4.5m、γ1 =16.8kN/m3、 ψ‘1 = 34°，c’1= 0、γ2 =22kN /m3、ψ‘2= 25°以及c’2 = 10kN/m2。試決定作用 於牆上單位長度之Rankine主動力大小。

93 習題 5.9 參考圖5.7(a)，已知：H=5m、γ= 18.2kN/m3、
ψ‘= 30 °，δ’ = 20 °，c‘ = 0、a=10°以及β= 85° 試決定作用於牆上單位長度之Coulomb主動力及 其合力之方向和作用位置。

94 習題 5.10 參考圖5.12(b)所示一具有水平回填之垂直擋土 牆，已知H=4m、γ= 16.5kN/m3、ψ‘= 35 °，
δ’=10°。試依Shields和Tolunay的著作(表 5.8)，決定作用於牆上單位長度之被動力。 5.11 參考圖5.6之擋土牆，已知H=7.5m、ψ‘= 32 °， α= 5°、γ=18.2kN/m3以及c‘=0。 a.決定在z=2、4、6及7.5m處之Rankine主動 力之強度。 b.決定作用於牆上單位長度之Rankine主動力大 小以及合力作用方向和位置。

95 習題 5.12 如圖P5.12所示之懸臂式擋土牆，已知： 土壤性質：γ1=16.8kN/m3、ψ‘1=32°、γ2=17.6kN
牆尺寸：H = 8m、x1=0.4m、x2=0.6m、x3= 1.5m、x4 = 3.5m、x5 = 0.96m、D=1.75m、a=10° 土壤性質：γ1=16.8kN/m3、ψ‘1=32°、γ2=17.6kN /m3、ψ’2=28 °、c‘2 = 30kN/m2。 假設混凝土γ=23.58kN/m3，試計算有關抵抗傾 倒、滑動以及承載力之安全係數。 5.13 以下列條件，重新計算習題5.12。 牆尺寸：H = 5.49m、x1=0.46m、x2=0.58m、x3= 10.92m、x4 = 1.55m、x5 = 0.61m、D=1.22m、a=0° 土壤性質：γ1=18.08kN/m3、ψ‘1=36°、γ2=19.65kN /m3、ψ’2=15°、c‘2 = 44kN/m2。

96 習題

97 習題 5.14 如圖P5.14所示之重力式擋土牆，計算有關抵抗 傾倒、滑動和承載力之安全係數。其中，已知：
牆尺寸：H =4.6m、x1=0.45m、x2=0.25m、x3= 1.6m、x4 =0.4m、x5 = 0.75m、D=1.25m 土壤性質：γ1=19kN/m3、ψ‘1=30°、γ2=19kN/m3、 ψ’2=20°、c‘2 = 48kN/m2。