線性一階微分方程與尤拉法 線性一階微分方程式求解 (Linear First-Order Differential Equations)

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1 線性一階微分方程與尤拉法 線性一階微分方程式求解 (Linear First-Order Differential Equations)
尤拉法(Euler’s Method) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

2 何謂微分方程式？ 即含有導函數之方程式 例如： , , (常微方方程式(Ordinary Differential Equation))
例如： , , (常微方方程式(Ordinary Differential Equation)) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

3 微分方程式的階(Order) 例如： (一階) (二階) 微分方程式中所含導函數的最高階稱為微分方程式的階(order) 2018/12/7
例如： (一階) (二階) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

4 微分方程式的次(Degree) 一微分方程式中，出現於最高階導數中之最大指數，稱為該微分方程式之次(degree) 例如：
(三階二次常微分方程式) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

5 線性一階微分方程式： 舉例來說， 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

6 問題：為什麼選擇 ？ 考慮一般的情況，假設 為選擇乘數， 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

7 線性一階微分方程式： 舉例來說， 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

8 問題：為什麼選擇 ？ 考慮一般的情況，假設 為選擇乘數， 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

9 積分因子(Integrating Factor)：
驗證： 積分因子(Integrating Factor)： 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

10 線性一階微分方程式： 舉例來說， 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

11 積分因子(Integrating Factor)：
驗證： 積分因子(Integrating Factor)： 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

12 線性一階微分方程式求解步驟： 1. 將微分方程式寫成 2. 求積分因子 3. 4. 5. 6. 解出 2018/12/7
線性一階微分方程與尤拉法

13 問題：為什麼選擇 ？ 考慮一般的情況，假設 為選擇乘數， 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

14 線性一階微分方程式求解步驟： 1. 將微分方程式寫成 2. 求積分因子 3. 4. 5. 6. 解出 2018/12/7
線性一階微分方程與尤拉法

15 範例一 求 的一般解 解：步驟1. 步驟2. 步驟3. 步驟4. 步驟5. 步驟6. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

16 範例二 給定初始值 時，求微分方程式 的解 解：步驟1. 步驟2. 步驟3. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

17 步驟4. 步驟5. 步驟6. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

18 範例三 求微分方程式 的一般解 解： 步驟1. 步驟2. 步驟3. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

19 步驟4. 步驟5. 步驟6. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

20 範例四 求微分方程式 的一般解 解： 步驟1. 步驟2. 步驟3. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

21 步驟4. 步驟5. 步驟6. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

22 範例四 求微分方程式 的一般解 解： 步驟1. 步驟2. 步驟3. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

23 步驟4. 步驟5. 步驟6. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

24 範例五 給定初始值 時，求微分方程式 的解 解： 步驟1. 步驟2. 步驟3. 步驟4. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

25 步驟5. 步驟6. 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

26 範例六 一水槽起初含有50加崙鹽水，其溶液中有30磅食鹽，水以每分鐘3加崙注入水槽，且均勻攪拌的溶液以每分鐘2加崙流出，若食鹽的總量在時間 時 為 ，且滿足 ，問 (1)經 分鐘後，食鹽有多少？ (2)至何時在水槽中含有25磅的食鹽？ 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

27 解：(a) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

28 範例六 一水槽起初含有50加崙鹽水，其溶液中有30磅食鹽，水以每分鐘3加崙注入水槽，且均勻攪拌的溶液以每分鐘2加崙流出，若食鹽的總量在時間 時 為 ，且滿足 ，問 (1)經 分鐘後，食鹽有多少？ (2)至何時在水槽中含有25磅的食鹽？ 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

29 解：(a) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

30 範例六 一水槽起初含有50加崙鹽水，其溶液中有30磅食鹽，水以每分鐘3加崙注入水槽，且均勻攪拌的溶液以每分鐘2加崙流出，若食鹽的總量在時間 時 為 ，且滿足 ，問 (1)經 分鐘後，食鹽有多少？ (2)至何時在水槽中含有25磅的食鹽？ 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

31 解：(a) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

32 (b) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

33 範例七 假設葡萄糖是以均速( 公克/分鐘)注入病人血管內，同時血管內葡萄糖的含量也以與目前血管內葡萄糖的總量成比例在流失。若身體內葡萄糖總量在時間 時為 ，且滿足微分方程 ，其中 為常數。請求出函數 。又身體內葡萄糖濃度最終會不會固定成為一常數？ 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

34 解： 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

35 範例八 在研究人口成長的問題時，常常考慮羅吉斯成長模型(Logistic Growth Model)，現考慮一羅吉斯方程式如下： ，其中 和 為正常數。試問： (a)求出 的一般解( ) (b)若已知當 時， ，請求出 的解 (c)求 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

36 解： (a) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

37 (b) (c) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

38 解： (a) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

39 (b) (c) 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

40 當所碰到的微分方程式無法用之前學過的方法來求解時，可使用尤拉法來估計給定初始值的微分方程式的近似解。
尤拉法(Euler’s Method) 當所碰到的微分方程式無法用之前學過的方法來求解時，可使用尤拉法來估計給定初始值的微分方程式的近似解。 舉例來說， 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

41 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

42 將區間 均分成 等分，則每一等分為 利用線性近似的方法 由 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

43 尤拉法(Euler’s Method) ： 令 為微分方程式 (初始值 ) 在 的解。 若令 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

44 範例九 利用尤拉法去近似初始值為 的微分方程式 解： 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

45 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

46 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

47 範例十 在區間[0,1]的解 (分成10個子區間) 解： 利用尤拉法去近似初始值為 的微分方程式 2018/12/7
利用尤拉法去近似初始值為 的微分方程式 在區間[0,1]的解 (分成10個子區間) 解： 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

48 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

49 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

50 問題：當 的值距離 越遠時估 計的結果越糟糕，怎麼辦？ 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

51 答案：通常只要將選取的子區間的個數 增加，就可降低估計誤差 舉例來說，對範例十而言，若取 亦即 ，所得結果如 下表： 2018/12/7
亦即 ，所得結果如 下表： 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

52 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法

53 兩個衍伸的困難： 1.需要更多的計算。 (可由電腦來運算) 2.當 取太大時，電腦計算所造成的誤差也 會增加，所以 的選取必須注意。
2.當 取太大時，電腦計算所造成的誤差也 會增加，所以 的選取必須注意。 2018/12/7 線性一階微分方程與尤拉法