第八讲 点群(III).

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1 第八讲 点群(III)

2 1(L1) m(P) 1(C) 42m (Li42L22P) 2(L2) 2/m (L2PC) 222(3L2) mm2 (L22P)
mmm (3L23PC) 4 (Li4) 422 (L44L2) 4/mmm(L44L25PC) 4mm (L44P) 4/m (L4PC) 4(L4) 62m (Li63L23P) 6 (Li6) 622 (L66L2) 6/mmm (L66L27PC) 6mm (L66P) 6/m (L6PC) 6(L6) 23(3L24L3) m3 (3L24L33PC) 432 (3L44L36L2) m3m (3L44L36L29PC) 3m (Li33L23P) 3(L3) 3m (L33P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 3(Li3) 32种点群及其点对称操作

3 1(C1) 2(C2) 222(D2) 4(C4) 6(C6) 3(C3) 23(T) 1(Ci) m (C1h) mm2 (C2v)
m3 (Th) 2/m (C2h) mmm (D2h) 4mm (C4v) 6mm (C6v) 32(D3) 43m (Td) 4/mmm(D4h) 6/mmm (D6h) 3(S6) 432 (O) 32种点群符号 422 (D4) 622 (D6) 3m(D3d) m3m (Oh) 4 (S4) 6 (C3h) 42m (D2d) 62 (D3h)

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5 点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C)
+ , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

6 完全符号 简略符号 熊夫利斯符号 112 11m 112/m 2 m 2/m C2 C1h(Cs) C2h

7 分子的点群

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19 意义：1、投影是研究晶体外形和结构的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达晶体点群中对称要素的空间分布。
复习： 第三讲 晶体投影 意义：1、投影是研究晶体外形和结构的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达晶体点群中对称要素的空间分布。

20 极射赤面投影   /2 Op = r tan(/2) N P A p O S 球面 基圆 r 基圆平面 极距角、方位角
球面坐标：极距角、方位角。纬线、经线、子午面。

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22 B A S N O B A N B A N 可相对任意旋转！ B B N A N A

23 例：铜单晶体的极射赤面投影 (001) (100) (010) y x z (110) (101) (011) (111)

24 镜面？ Op = r tan(/2) r = 1,  = 45o (54.73o) 求Op = 0.414 (0.518) O N S

25 100 (001) (100) (010) 001 010 010 001 010 100 001 y x z 100 110 110 101 (110) (101) (011) 011 011 011 011 101 110 110

26 x y 111 010 100 001 110 011 101 (111) 001 100 010 Cu单晶体的极射赤面投影

27 45o 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’ 60o Cu单晶体的极射赤面投影

28 x y 极射赤面（平）投影 z 立方晶系中的3h，6d

29 立方晶系中的3h，6d y x z x y

30 010 100 001

31 立方晶系 23 (3L24L3) x y {3[111]}{3[111]} = {2[010]} 没有4次轴！

32 m3 (2/m3, 3L24L33PC) 立方晶系 y x 没有4次轴！ {3[111]}{m[001]} = {35[111]} =

33 立方晶系 43m (3Li44L36P) y x 没有4次真旋转轴！

34 立方晶系 432 (43, 3L44L36L2) x y 有4次轴！

35 立方晶系 m3m (3L44L36L29PC) x y 有4次轴！

36 m3m (3L44L36L29PC)

37 对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方
1(E)或1(i) 三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠ 1 2(C2)或2(m) 单 斜 a≠b≠c,  =  = 90o≠ 2/m mmm 两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c,  =  =  = 90o 4(C4)或4(S43) 四 方 a = b≠c,  =  =  = 90o 4/mmm a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 3m 3(C3)或3(S65) 三 方 a = b = c,  =  =  菱形 6(C6)或6(S35) 六 方 a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 6/mmm 四个三次轴 立 方 a = b = c,  =  =  = 90o m3m

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40 复习： 第五、六、七讲 点群(1) and (II)

41 对称操作元素 4 (S43, Li4) 4 (C4, L4) 4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1 4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1

42 3 (S65, Li3) 6 (S35, Li6) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E)
35, 34, , , , 36 6 (S35, Li6) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, , , ,

43 !!! n = 1n (iCn), Sn = σCn 特征点对称操作 1 (E) 1 (i) 2 (C2) 2 (σ), m 3 (S65)
(σh, σv, σd) (C21, C22) 3 (S65) 3 (C3) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, , , , 36 (C31, C32, C33) 4 (S43) 4 (C4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6) 6 (S35) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, , , ,

44 对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方
三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) a≠ b≠ c, ≠≠ a≠b≠c,  =  = 90o≠ a≠b≠c,  =  =  = 90o a = b≠c,  =  =  = 90o a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o a = b = c,  =  =  = 90o a = b = c,  =  =  菱形 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m

45 结晶学点群：32种 结晶学点群是指一些点对称操作的集合。32种点群可用来完全描述三维晶体的宏观对称性。
对称操作的一个集合，满足以下四条件，就构成一个群： 1、封闭性 （任意两个操作的积还是集合内的一个操作） 2、有恒等操作 3、每一个操作都有逆操作 4、操作的乘法满足结合律 A(BC) = (AB)C

46 c 参考轴： 对称算符 r’ = Rr a, b, c (无需正交) = r = xa + yb + zc
x’ y’ z’ x y z a11 a21 a31 = r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c r (x,y,z) r’ (x’,y’,z’)   b  a  = 90o 直角坐标  = 120o 六角坐标 恒等 1 镜面{m[001]}，反映 x’ y’ z’ x y z = x’ y’ z’ x y z =

47 1(L1) m(P) 1(C) 42m (Li42L22P) 2(L2) 2/m (L2PC) 222(3L2) mm2 (L22P)
mmm (3L23PC) 4 (Li4) 422 (L44L2) 4/mmm(L44L25PC) 4mm (L44P) 4/m (L4PC) 4(L4) 62m (Li63L23P) 6 (Li6) 622 (L66L2) 6/mmm (L66L27PC) 6mm (L66P) 6/m (L6PC) 6(L6) 23(3L24L3) m3 (3L24L33PC) 432 (3L44L36L2) m3m (3L44L36L29PC) 3m (Li33L23P) 3(L3) 3m (L33P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 3(Li3) 32种点群及其点对称操作

48 符号的顺序 晶系 在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3 4或4沿c 3或3沿c 6或6沿c 3或3沿<111> 三斜
只用一个符号 单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 正交 2或2沿a 2或2沿b 2或2沿c 四方 4或4沿c 2或2沿a和b 2或2沿a±b 三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 六方 6或6沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 4、4、2或2沿<100> 立方 3或3沿<111> 2或2沿<110>

49 1 (L1) 三斜晶系 1 (C)

50 单斜晶系 (主轴 c) 2/m (L2PC) 2 (L2) m (P) E; C2; i; h 1; 2; 1; 2(m) 主轴 b

51 222 (3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 正交晶系 2/m 2/m 2/m
E; C2; C2’ ; C2’; i; h; v; v

52 四方晶系 4 (L4) 4/m (L4PC) 4mm (L44P) 4/mmm (L44L25PC) 422 (42, L44L2) 4 (Li4) 42m (Li42L22P)

53 四方晶系

54 6 (Li6) 六方晶系 6/m (L6PC) 6mm (L66P) 6/mmm (L66L27PC) 6 (L6)

55 62m (Li63L23P) 42m (Li42L22P) 45o 30o 4m2 (Li42L22P) 6m2 (Li63P3L2)
六方晶系 62m (Li63L23P) 42m (Li42L22P) 45o 30o 4m2 (Li42L22P) 6m2 (Li63P3L2)

56 三方晶系 3m1 31m 321 312 3m1 31m 3m (L33P) 3 (L3) 3 (L3C) 3m (L33L23PC)

57 Tetragonal T Th Td Octahedral O Oh

58 第八讲 点群(III)

59 符号的顺序 晶系 在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3 4或4沿c 3或3沿c 6或6沿c 3或3沿<111> 三斜
只用一个符号 单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 正交 2或2沿a 2或2沿b 2或2沿c 四方 4或4沿c 2或2沿a和b 2或2沿a±b 三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 六方 6或6沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 4、4、2或2沿<100> 立方 3或3沿<111> 2或2沿<110>

60 100 立方晶系 (001) (100) (010) 001 010 010 001 010 100 001 y x z 100 110 110 101 (110) (101) (011) 011 011 011 011 101 110 110

61 y x z 111 010 100 001 110 011 101 (111) y 001 100 x 010 Cu单晶体的极射赤面投影

62 y x z y x 立方晶系中的3h，6d 极射赤面（平）投影

63 x y 010 111 100 001 110 011 101 面、方向、轴 45o, 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’, 60o

64 立方晶系中的3h，6d y x z x y 45o 60o 90o 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’

65 x y x y 立方点群中的2次轴 注意：没有镜面

66 23 m3

67 立方点群中的4、4次轴 x y x y 注意：没有镜面

68 x y 010 111 100 001 110 011 101 一般点及其操作 y z x 3、4、2次轴

69 立方晶系 23 (3L24L3) {3[111]}{3[111]} = {2[010]} X y X x 没有4次轴！

70 立方晶系 m3 (2/m3, 3L24L33PC) y x z X y X 没有4次轴！ X 没有4次轴！ 左右手问题 x

71 立方晶系 43m (3Li44L36P) y X x 没有4次真旋转轴！

72 立方晶系 432 (43, 3L44L36L2) x y z y x 有4次轴！

73 立方晶系 m3m (4/m32/m,3L44L36L29PC) y x z x y 有4次轴！

74 Tetragonal T Th Td Octahedral O Oh Td

75 1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4) 6(L6) 3(L3) 23(3L24L3) 1(C) m(P) mm2 (L22P) 4/m (L4PC) 6/m (L6PC) 3m (L33P) m3 (3L24L33PC) 2/m (L2PC) mmm (3L23PC) 4mm (L44P) 6mm (L66P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 4/mmm(L44L25PC) 6/mmm (L66L27PC) 3(Li3) 432 (3L44L36L2) 422 (L44L2) 622 (L66L2) 3m (Li33L23P) m3m (3L44L36L29PC) 4 (Li4) 6 (Li6) 42m (Li42L22P) 62m (Li63L23P)

76 4/mmm(L44L25PC) 6/mmm (L66L27PC) m3m (3L44L36L29PC) 4/mmm(L44L25PC)
E, 2C4, C2, 2C2’, 2C2”, σh, 2σv, 2σd , i, 2S4 6/mmm (L66L27PC) 6/mmm (L66L27PC) E, 2C6, 2C3, C2, 3C2’, 3C2”, σh, 3σv, 3σd, i, 2S3, 2S6 m3m (3L44L36L29PC) E, 8C3, 3C2, 6C4, 6C2, 3σh, 6σd i, 8S6, 6S4, m3m (3L44L36L29PC)

77 4/m (L4PC) y x 4; 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4; 43 4 (C4, L4)
去对称心 4 (S43, Li4) 4; 42 = 2; ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4; 43 C41; C42 = C2; C43; C44 = E; ; i; S43; S4

78 4/mmm (L44L25PC) 四方晶系 y x 完全的国际符号：4/m 2/m 2/m
去对称心 E; 2C4; C2; 2C2’; 2C2” ; i; 2S4; h; 2v; 2d

79 从旋转点群推导32种点群 点群的熊夫利斯符号 11种纯旋转群： 1 2 3 4 6 222 32 422 622 23 432
C1 C2 C3 C4 C6 D2 D D D6 T O 循环点群 二面体点群 立方点群 11种中心对称点群： 1 2/m /m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m3 m3m S2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h D6h Th Oh 10种新子群： m3 m3m 1 2/m /m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m 4 6 mm2 3m 4mm 42m 6mm 62m 43m C1h S4 C3h C2v C3v C4v D2d C6v D3h Td

80 推导32种点群的熊夫利斯方案 熊夫利斯符号 五种循环群 Cn (5 种) Cnh = Cn×{E, σh} (5 种)
推导32种点群的熊夫利斯方案 熊夫利斯符号 五种循环群 Cn (5 种) Cnh = Cn×{E, σh} (5 种) m 2/m /m 6/m Cnv = Cn×{E, σv} (4 种, C1v=C1h) mm2 3m 4mm 6mm Dn = Cn×{E, C2[100] } (4 种) Dnh = Cnh×{E, d} (4 种) mmm 62m 4/mmm 6/mmm 非真旋转 Sn (3 种，n =2, 4, 6) Dnd = S2n × {E, C2[100] } (n =2, 3 共2种) 3m m 立方点群(无主轴）5 种: T, Th, Td, O, Oh 23 m m m3m

81 二维点群 1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4) 6(L6) 3(L3) 23(3L24L3) 1(C) m(P)
mm2 (L22P) 4/m (L4PC) 6/m (L6PC) 3m (L33P) m3 (3L24L33PC) 2/m (L2PC) mmm (3L23PC) 4mm (L44P) 6mm (L66P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 4/mmm(L44L25PC) 6/mmm (L66L27PC) 3(Li3) 432 (3L44L36L2) 二维点群 422 (L44L2) 622 (L66L2) 3m (Li33L23P) m3m (3L44L36L29PC) 4 (Li4) 6 (Li6) 42m (Li42L22P) 62m (Li63L23P)

82 点阵 点群 空间群 对应图像 p P, c 十七种二维空间群 序号 斜形 矩形 正方形 六方形 1 2 m 2mm 4 4mm 3 3m 6
p3m1 p31m p6 p6mm p2mm p2mg p2gg c2mm 2mm 7 8 9 10 p4mm c4gm 4mm 11 12 13 14 15 16 17 p1m1 p1g1 c1m1 m 5

83 作业： 按晶系用国际符号及熊夫利斯符号，写出32种点群的对称元素。