鄭英豪 唐書志 臺北市立大學數學系 臺北市百齡高級中學

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1 鄭英豪 唐書志 臺北市立大學數學系 臺北市百齡高級中學
2015模組設計師培訓班 台中場周末班 鄭英豪 唐書志 臺北市立大學數學系 臺北市百齡高級中學 10/ / / / /19 於台中市三光國中

2 內容規劃 目標 場次 方式 奠基模組教案的設計與發展以及奠基模組設計教師的專業成長
/3、10/31 、 11/21 、 12/05 、 12/19 方式 實作設計、教學試驗、調整設計、心得分享

3 課程內容 概念化 設計教案 試驗分析 調整試驗 回顧歷程 數學奠基與銜接/融入課堂教學的思維 從奠基到銜接的活動設計
分享試驗結果與討論修改方向 調整試驗 分享修改後試驗結果與討論修改要點 回顧歷程 分享再調整與回顧開發歷程

4 數學奠基與銜接/融入課堂教學的思維 為什麼要奠基？ 奠基銜接/融入課堂教學的觀念 中低成就學生數學進步的啟示 奠基銜接/融入設計的歷程
台灣數學教育的問題與解決的想法 奠基銜接/融入課堂教學的觀念 奠基活動的過去與未來 中低成就學生數學進步的啟示 把課堂數學的前一步還給學生 奠基銜接/融入設計的歷程

5 世界第一下的警訊 TIMMS 2007~2011標準差增大4成 PISA 2012 頂-末10%學生相差 7 個年級

6 國民教育中數學教育的危機 學習成就兩極化 學習成就與學習情意疏離 經濟條件的決定力道愈來愈強 教師教學的焦點應該放在誰身上？

7 為什麼要奠基? 台灣學生的數學學習非常重視計算能力的呈現。為考高分往往太快就 進入演算，缺少發展數學概念需要仰賴的先備經驗。在還沒有具體感受概 念內涵的共通性或不變性前，就直接告知規則，以至於很多學生感覺數學很抽象，學習的時候缺乏具體的感覺，然後與數學漸行漸遠，乃至於最後只能放棄。 為了使學生在教室內可以參與「有意義的學習」，奠立學習數學必要的具體經驗也就顯得非常重要。由於「數學能力」牽涉到許多的面向，因此除了概念之外，如程序性知識、問題解決及論證等相關先備經驗都是我們要去奠立的。 奠基活動除了在進行的時候，可以讓學生先了解與教學單元相關的關鍵點之外，活潑有趣的特色會將學生對數學的興趣激發出來，引起學生的數學學習動機，甚至在好奇心的驅使下主動探索問題。 ~~台灣師大數學系林福來講座教授~~

8 奠基活動的樣式 抽為加，被抽為減，加負=減正，減負=加正

9 奠基的學習價值 數學學習的階段歷程(Dienes, 1973) 適應學習環境(adapt learning environment)
創造學生可自由交互作用的環境，如任意排列棋子 發現遊戲規則(rule of game) 導引學生感受到遊戲中的規則，如棋子可排成長方形的規則 洞察同構案例(isomorphic examples) 引導學生觀察與分析案例的結構，如乘法分解及類型 形成結構表徵(representation) 引導學生使用實物、語言或圖表來表現案例的結構，如圖畫表示特定數量棋子的各種乘法分解 引進正式語言(the scientific language) 引導學生使用數學語言或符號表示數學結構，如12=1 × 12=2 × 6=3 × 4 發展數學系統(system of math) 引導學生將數學符號表徵的結構結合在既有數學系統內，如1, 2, 3, 4, 6, 12都是12的因數

10 抽象概念的學習階段(Brunner, 1966) 操作(enactive stage) 圖像(iconic stage)
學習者與具體可操作物件進行互動，如透過積木的堆疊拆解接觸位值 圖像(iconic stage) 與視覺的圖像資訊進行互動，如透過方格與長條理解數量的化聚，有些數學概念可直接透過圖像理解，無需實體操作 符號(symbolic stage) 使用正式的語言或符號來表達數學結構或觀念，如透過數值與位名來表示進位與位值

11 智性學習的雙層次模式(Skemp, 1989) △1直接作用在環境訊息上 △2作用在△1上並進行計畫與監控

12 數學瞭解歷程(Pirie and Kieren, 1994)

13 理解奠基的價值 課堂上要學的數學，本質上是個數/量/形的共通/不變樣式(pattern)，學生腦中要有這個樣式的心像(image)，才有可能憶取出來進行思考與推理 心像是介於抽象符號與實體經驗間的存在，兼具有具像的樣式結構以及運思平台的功能 奠基活動中引導注意特定規則的操作/遊戲，幫助學生建立了這個樣式的心像，成為過渡到數學符號的媒介

14 阿基米德(Archimedes)性質 a, b為兩正數且 a<b，則有自然數 n 使得 na>b
翻譯 a, b為兩正數且 a<b，則有自然數 n 使得 na>b 語意 不論b多大a多小，累積夠多次之後還是會大過b a b ‧‧‧ 樣式與心像

15 中低成就學生數學進步的啟示 國中生幾何證明（九年級） 可接受 24.6 不完備(缺步驟) 35.0 不當的 0.3 直觀反應 2.8
如圖，請證明：「設A為圓心，AB為半徑，AB的垂直平分線交圓周於一點C。則△ABC為正三角形。」 可接受 24.6 不完備(缺步驟) 35.0 不當的 0.3 直觀反應 2.8 空白或無推論 37.4

16 閱讀著色 仔細閱讀題目，圈出重要的字詞，將這些條件與可能的推論在圖上塗顏色，相等的塗相同顏色 已知△ABC  △ADE，
1 2 已知△ABC  △ADE， 試證∠BAE=∠DAC。 A B C D E 仔細閱讀題目，圈出重要的字詞，將這些條件與可能的推論在圖上塗顏色，相等的塗相同顏色

17 實驗結果 實驗班 假實驗班* 傳統班 可接受 46.2 30.3 21.2 後測 不完備 9.8 20.5 23.5 不當 26.5 35.6 直觀反應 3.0 3.8 5.3 空白 14.4 18.9 段考 平均數 49.21 49.15 43.73 標準差 24.54 25.34 19.50 *只依教案執行前1/4，然後回復傳統方式教學

18 學校成績的百分等級 從前測到後測 進步到可接受 100 16.7 進步但非可接受 33.3 25.0 不再空白 33.4 50.0 無差別
PR80+ PR60+ PR40+ PR20+ PR20- 進步到可接受 100 16.7 進步但非可接受 33.3 25.0 不再空白 33.4 50.0 無差別

19 中低成就學生數學進步的啟示 讓學生變好的方法意外地簡單 不做完就是沒效果 學生會自動轉換成老師希望的方法 即使如此，還是有很多學生學不來
關鍵字詞與塗色 不做完就是沒效果 以為會了就不做就是不行 學生會自動轉換成老師希望的方法 測驗時都用單色短標記 即使如此，還是有很多學生學不來

20 質疑？ 教科書商說 我們課本已經採用彩色印刷了 課本上對應的元素同色印刷 國中老師說 我上課就是用彩色粉筆這樣教的啊 可是都沒有讓學生作

21 奠基銜接/融入課堂教學的思維 奠基最早被設定為補救教學之用，兼顧引發學習動機與奠立預備經驗，活動設計偏向遊戲與操作
銜接/融入正規教學時，需求不同與時間限制必然引發活動設計主軸的調整 針對欲教單元的需求與學生起點狀態，設計適當的前置活動，讓學生有可運思操作的心像可以銜接到課堂教學

22 因此 但是 所以 模組設計可不拘泥於遊戲與實體操作 必要有的心像仍須建立以對應學習資訊 學生需要具體的運思平台以對應推理解題
光是講清楚仍是不夠的 無連接的玩也是不行的

23 奠基銜接/融入設計的歷程 補回學習這個知識的前置經驗 具體的經驗 知識結構的心像 連接教學內容 課堂教學 教學流程 ‧ 設計歷程

24 結構的心像 結構的屬性 存在的情境 樣式的語言 運思的程序

25 討論 什麼單元是學生比較不容易學會的？ 這個單元核心的數學結構是什麼？ 運思時腦中要有什麼？要如何操作？ 用什麼方法讓學生留有運思的心像？
這個方法要如何設計成活動？