第十章 债券投资理论 第一节 债券价值分析 第二节 利率期限结构理论 第三节 债券定价与风险管理.

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1 第十章 债券投资理论 第一节 债券价值分析 第二节 利率期限结构理论 第三节 债券定价与风险管理

2 第一节 债券价值分析 一、债券价值评估 二、债券价值分析与债券属性

3 一、债券价值评估 1、债券内在价值分析 债券评估建立在收益的资本化定价方法基础上，即收入资本化定价方法。
根据该方法，任何资产的内在价值都等于投资者对持有该资产预期的未来现金流的现值。

4 （1）零息票债券 零息票债券(zero-coupon bond)，又称贴现债券(pure discount bond)，或者贴息债券，是一种以低于面值的贴现方式发行，不支付利息，到期按债券面值偿还的债券。 债券发行价格与面值之间的差额就是投资者的利息收入。 由于面值是投资者未来唯一的现金流，所以贴现债券的内在价值由以下公式决定: V为债券内在价值，M面值，r市场利率，n债券到期时间。

5 假定某种贴现债券的面值为100万元，期限为20年，利率为10%，那么它的内在价值是：

6 （2）定息债券 定息债券，又称直接债券或固定利息债券，是一种按照票面金额计算利息，票面上附有作为定期支付利息凭证的息票，也可不附息票的债券。
投资者不仅可以在债券期满时收回本金(面值)，而且还可以定期获得固定的利息收入。 投资者未来的现金流包括了两部分：本金和利息。

7 息票一词来自英文coupon，原指旧时的债券票面的一部分，债券持有人可将其剪下，在债券付息日携至债券发行人处要求兑付当期利息。
现在发行的债券多采用电子化形式，但票面利率（coupon rate）仍被用来表示债券的利率。

8 定息债券的内在价值公式如下：

9 例：美国政府2002年11月发行了一种面值为1000美元，年利率为13%的4年期国债。债券利息每半年付一次，即分别在每年的5月和11月，每次支付65美元。那么，2002年11月购买该债券的投资者未来的现金流可以用表1表示。 日期 2002.5 2003.5 现金流 65 日期 2004.5 2005.5 现金流 65 1065

10 （3）统一公债 统一公债( consols )是一种没有到期日的特殊的定息债券。
最典型的统一公债是英格兰银行在18世纪发行的英国统一公债（English Consols），英格兰银行保证对该公债的投资者永久期地支付固定的利息。 国民党政府也发行过统一公债，全称为“民国二十五年统一公债”，国民政府借口清理旧有各种债券而发行的公债。 在现代企业中，优先股的股东可以无限期地获得固定的股息，所以，优先股实际上也是一种统一公债。

11 2、债券价值分析 根据债券的内在价值（V）与市场价格（P）的差异，判断债券价格属于低估还是高估。 第一种方法：比较两类到期收益率的差异。
第二种方法，比较债券的内在价值与债券价格的差异。

12 第一种方法：比较两类到期收益率的差异。 式（1）（2）（3）中的 r 是市场的利率水平，即根据债券的风险大小确定的到期收益率；

13 例：某种债券的价格为900美元，每年支付利息为60美元，3年后到期偿还本金1000美元，利用内在收益率的计算方法，得到：
可以计算出该债券承诺的到期收益率r*=10.02%。 如果市场利率为9%，那么，该债券的价格是被低估的。

14 第二种方法，比较债券的内在价值与债券价格的差异
把债券的内在价值(V)与债券的价格(P)两者的差额，定义为债券投资者的净现值（NPV）。 当NPV>0时，意味着内在价值>债券的价格，即市场利率低于债券承诺的到期收益率，该债券被低估；（对投资者来说是一个买入信号） 反之，当NPV<0时，该债券被高估。 （对投资者来说是一个卖出信号） 这种方法用公式表示为：

15 例：沿用第一种方法的例子，可以发行该债券的净现值为24.06美元，所以该债券的价格被低估了，具体计算如下：

16 二、债券价值分析与债券属性 1、到期时间 2、票面利率 3、附加选择权 4、税收优惠 5、流动性 6、违约风险

17 1、到期时间 如果其他因素不变，则当市场利率（r）变动时，债券价格（P）波动与到期期限直接相关。
（1）长期债券价格波动大于短期债券，即期限越长，债券价格波动幅度越大。 （2）当期限延长时，单位期限引起的债券价格波动幅度递减。

18 例：假定存在4种期限分别为1年、10年、20年和30年的债券，它们的息票率都是6％，面值均为100元，其他属性也完全一样。
如果起初的市场利率为6％，根据内在价值的计算公式可知这4种债券的内在价值都是100元。 如果相应的市场利率上升或下降，这4种债券的内在价值的变化如表2所示。

19 内在价值（价格）与期限之间的关系 期限(年) 相应的市场利率下的内在价值(元) 内在价值变化率(%) 4% 6% 8% 6%→4%
6%→8% 1 102 100 98 ＋2 －2 10 116 86 ＋16 －14 20 127 80 ＋27 －20 30 135 77 ＋35 －23 当市场利率由6%上升到8%时，四种期限的债券的内在价值分别下降2%、14%、20%、23%；反之，由6%下降到4%时，内在价值分别上升2%、16%、27%、35%。 同时，市场利率由6%上升到8%时，1年期和10期的债券内在价值下降幅度相差12元，10期和20年期下降幅度相差6元，20年和30年期相差3元。

20 2、票面利率 首先，债券价格和息票率之间存在正向的线性关系。 y是到期收益率，即债券的未来现金流量的现值恰好等于该债券现行价格的贴现率。

21 到期收益率 (Yield To Maturity，简称YTM)，是指将债券持有到偿还期所获得的收益，包括到期的全部利息。
到期收益率又称最终收益率，是投资购买国债的内部收益率，即可以使投资购买国债获得的未来现金流量的现值等于债券当前市价的贴现率。 它相当于投资者按照当前市场价格购买并且一直持有到满期时可以获得的年平均收益率。 例题：如果票面金额为1000元的两年期债券，第一年支付60元利息，第二年支付50元利息，现在的市场价格为950元，求该债券的到期收益率为多少？ 　　YTM=r=5.5%

22 其次，债券价格的波动和息票率呈反方向关系。
例：存在5种债券，期限均为20年，面值为100元。唯一区别在于票面利率，即它们的票面利率分别为4%、5%、6%、7%、8%。 假设初始的市场利率水平为7%，那么利用公式（2）分别计算出各自的初始内在价值。 如果市场利率发生变化（上升到8%或下降到5%），相应地可以计算出这5种债券的新的内在价值。

23 债券内在价值（价格）的变化率和息票率之间的关系。
票面利率 相应的市场利率下的内在价值（元） 内在价值变化率（%） 7% 8% 5% 7%→8% 7%→5% 4% 68.22 60.73 87.54 －11.3 ＋28.7 78.81 70.55 100 －10.5 ＋27.1 6% 89.41 80.36 112.46 －10.0 ＋25.8 90.18 124.92 －9.8 ＋25.1 110.60 137.39 －9.5 ＋24.4 面对相同的市场利率变化，无论市场利率上升还是下降，5种债券中票面利率最低的债券（4%）的内在价值波动幅度最大。

24 3、附加选择权 为避免利率变动损失，或使债券对投资者更具吸引力，债券发行人常常在债券上附加一些条款。如可赎回债券和可转换债券。
赎回某种债券的选择权和债权转股权的选择权将极大地改变了债券的基本价格形态。

25 （1）可赎回特征 可赎回债券（callable bond），是指债券发行契约中附有所谓的赎回条款，发行者有权按某一设定的赎回价格赎回债券。
当债券持有者愿意继续持有该债券时，投资者也将面临被赎回的风险。

26 可赎回特征对到期收益率有关的债券价格动态的影响如图2所示，没有赎回权的债券价值总是高一些。尤其是在利率下跌时，可赎回债券与不可赎回债券的价格偏离越趋明显。
因为对不可赎回债券而言，利率下降将导致债券价格不断上升；而对可赎回债券而言，可赎回条款其实为由利率下降带来的债券价格不断上升设置了最高点，这从图可以看出。

27 可赎回债券的动机 1、发行人提前赎回债券通常是由于利率下调，新的低利率环境使得公司需要支付更多成本，所以发行人倾向于赎回老的债券，再以新利率为基准发行新的债券以减少利息支出。 2、通常可赎回债券是在预期未来利率有可能下调的情况下发行，一般其利息率会高于不可赎回债券以补偿持有人承担的提前赎回风险，但不管怎样，多数投资者都不大接受可赎回债券，除非有诱人的补偿条款。

28 由于可赎回债券属性是“到期日等于赎回日，面额等于赎回价格”，因此，可赎回债券的定价模型为：

29 （2）可转换特征 ①可转换债券含义：所谓可转换债券是指在一段时期后，持有者有权按照约定的转换价格或转换率将公司债券转换为普通股票。
②可转换债券特征：可转换债券是一种混合债券，它既包含了普通债券的特征，也包含了权益特征，同时，它还具有相应于标的股票的衍生特征。

30 ③可转换债券价值：对于标准的可转换债券，在价债形态上，可转换债券赋予投资人一个保底收入，即债券息票支付与到期本金偿还构成的普通付息债券的价值，同时，它还赋予了投资人在股票上涨到一定价格的条件下转换成发行人普通股票的权益，即看涨期权的价值。 ④赎回权利：对于发行人而言，为了在公司股票上涨或者市场环境发生变化的情况下实现低成本融资，发行人可在一定的条件下行使赎回权利，即发行人提前赎回的期权。

31 ⑤可转换债券价值公式：可转换债券的价值包含两部分：纯粹债券价值和转换权利价值，即
可转换债券价值＝纯粹债券价值十转换权利价值 纯粹债券价值来自债券利息收入，定价方式与前面介绍的基本债券并无差异。 转换权利价值，即转换价值(conversion value)，是指立即转换成股票的债券价值。 转换价值大小，须视普通股的价格高低而定。股价上升，转换价值也上升；相反，若普通股的价格远低于转换价格，则转换价值就很低。

32 债券价格 转债价格 转换价值 市场溢价 纯债券价格 股票价格 可转换特征对债券价值的影响

33

34 ⑥影响债券价值的重要因素： 发行转换债券的基本条款是影响债券价值的重要因素，这些条款主要包括转换价格（转换比率）、转换期间、赎回条款、回售条款等。 标的股票：发行公司自己的股票 转换价格（转换比率）：转换成每股股票所支付的转换债券的金额 转换期间：发行后（日）某日至到期日的前一交易日；发行后（日）某日至到期日

35 ⑥影响债券价值的重要因素： 赎回条款：在赎回期满足赎回条件时，按照事先约定的赎回所有发行债券（发行人在到期之前买回债券的权利行使：股票大幅上升时） 回售条款：在回售期满足回售条件时，按事先约定的回售所有的可转债给发行企业（投资人卖出债券的权利行使：股票大幅下跌时）

36 可转换债代码表(未到期) 挂牌代码 债券全称 到期日 110003 新钢转债 2013-08-20 110007 博汇转债
挂牌代码 债券全称 到期日 110003 新钢转债 110007 博汇转债 110009 双良转债 110011 歌华转债 110012 海运转债 110013 国投转债 110015 石化转债 110016 川投转债 110078 澄星转债 113001 中行转债 113002 工行转债

37 4、税收优惠 投资者关心的主要是税后实际收益率而不是票面利率，所以税收待遇就称为债券市场价格和收益率的一个主要因素。
在其他条件不变的情况下，免税或税收优惠债券的收益率比应税的高票面利率债券要略低一些，其内在价值要略高一些。

38 5、流动性 （1）含义：债券的流动性是指债券投资者将手中的债券变现的能力。
（2）债券的流动性的衡量。通常债券的买卖差价的大小反映债券的流动性大小。买卖差价较小的债券的流动性比较高。反之，流动性较低。 （3）债券的流动性与到期收益率成反比，即流动性高的债券的收益率较低，流动性低的债券收益率较高。 （4）债券的流动性与债权内在价值成正比。

39 6、违约风险 债券的违约风险( Default Risk )，又叫信用风险，是指债券发行人未按照契约的规定支付债券的本金和利息，给债券投资者带来损失的可能性。 债券评级是反映债券违约风险的重要指标。 信用评级机构（credit rating agency）对债券发行人的信用进行评级。目前国际上公认的最具权威性的专业信用评级机构只有三家，分别是美国标准·普尔公司和穆迪投资服务公司和惠誉国际信用评级有限公司。

40 标准普尔公司的债券评级标准 级别 评级标准 AAA AA A BBB BB~C CI D
标准普尔公司评定的债务的最高级别，说明完全具备支付利息和偿还本金的能力 AA 说明支付利息和偿还本金的能力很强，与最高级别相比稍逊一点。 A 尽管A说明环境变更和经济条件变更比上述两种级别更容易引起负面影响，但其支付利息和偿还本金的能力依然相当强。 BBB 被定义为BBB级的债务被认为有足够的能力支付利息和偿还本金。尽管在通常情况下其能得到足够的保护，但与前几级相比，变化的环境更可能削弱该级债务的还本付息能力。 BB~C 定义为BB、B、CCC、CC和C的债务被认为还本付息有明显的投机特征。BB表示最低程度的投资性，而C则表示最高程度的投机性。尽管这种债务很可能质量尚可，并且有些保护性条款，但是其不确定性和可能受不利条件影响的程度则更为严重。 CI 是为没有利息收入的收入债务（income bonds）准备的 D 被定为D级的债户现在已经处于违约状态。

41 债券的违约风险与债券的到期收益率关系 违约风险越高，投资收益率也相应越高。
风险溢价（risk premium） ：风险债券的预期到期收益率与具有相同期限和票面利率的无风险债券的到期收益率之间的差额。 违约溢价（default premium） ：承诺的到期收益率和预期到期收益率之间的差异。

42 8%：期限和息票相同无违约风险债券的到期收益率
12%：承诺的到期收益率 9%：预期的到期收益率 ■违约溢价 ■风险溢价 ■无违约风险 到期收益率 8%：期限和息票相同无违约风险债券的到期收益率 图3 风险债券的到期收益率

43 风险债券的定价 假设某一债券每年发生违约的概率相同，该概率为 Pd。假如该债券某年发生违约，那么债券持有人所获得的支付将等于（1-λ）乘以债券去年的市场价格。 若其承诺的到期收益率等于以下公式，则该债券的定价是合理的。

44 风险债券的违约溢价 承诺的到期收益率和预期到期收益率的差值，即违约溢价 d 为：

45 例：考察图3中的债券，假定该债券的年违约可能性为6%，同时在债券发生违约时，债券持有人将获得债券上一年市场价格60%的支付，即1-λ=0
例：考察图3中的债券，假定该债券的年违约可能性为6%，同时在债券发生违约时，债券持有人将获得债券上一年市场价格60%的支付，即1-λ=0.6，或λ=0.4。 利用公式（10），如果违约溢价等于下面计算结果时，那么，该债券的定价就是合理的。即： 对比计算结果（3.13%）和图3中的违约溢价估计值（3%），可以看出两个数值基本相近。因此，根据以上公式，实际的违约溢价是合理的。

46 债券属性与债券收益率 债券属性 与债券收益率的关系 期限 息票率 附加选择权 税收待遇 流动性 违约特征
当市场利率调整时，期限越长，债券价格波动幅度越大；但是，当期限延长时，单位期限的债券价格的波动幅度递减。 息票率 息票越高，债券价格也越高；当市场利率调整时，息票率越低，债券价格波动幅度越大。 附加选择权 当债券被赎回时，投资收益率降低，同时作为补偿，被赎回债券的名义利率较高；当债券具有可转换特征，由于具有债券和潜在股权双重属性，债券名义利率较低。 税收待遇 享受税收待遇的债券收益率较低，无税收优惠待遇的债券收益率较高。 流动性 流动性高的债券收益率较低，流动性低的债券收益率较高 违约特征 违约风险高的债券收益率较高，违约风险低的债券收益率较低

47 第二节 利率期限结构理论 投资者常常需要从不同的角度来计算债券的收益，需要知道债券的即期收益和远期收益，需要知道债券的期限长度与利率水平的关系，这一关系就是利率的期限结构(term structure of interest rates)问题。 在这一小节，我们将讨论以上各点，考察对债券期限与利率关系的不同的解释。

48 一、到期收益率 二、即期利率 三、远期利率 四、利率的期限结构和收益曲线

49 一、到期收益率 到期收益率：投资者在购入某种债券后一直保留到债券到期、还本付息，这时投资者所得到的收益率。
到期收益率：使债券的支付现值与其价格相等的利率。该利率通常被视为在购买日至到期日之间持有债券所获得的平均收益率的测度。

50 1、折价债券的到期收益率 例：市场中有债券甲和乙，面值都是1000元，分别为1年和2年到期，现在市场的出售价格各为943.58元和873.44元，那么它们的到期收益率是多少？

51 2、息票债券的到期收益率 （2）定期付息债券的到期收益率
债券乙是息票债券，从现在起1年付投资者利息50元，并且从现在起2年到期，那时付投资者1050元，现在市场的出售价格是964.27元，那么它的到期收益率是多少？

52 二、即期利率 折价债务的到期收益率也可以称作即期利率(spot rate)。
在上面的例子中，债券甲和乙是折价债券，因此，债券甲的1年即期利率是6%，债券乙的2年即期利率是7%。 一般地，t年的即期利率用St表示有： 其中Pt是折价债券的现值，t到期，到期价格为Ct，St表示在未来t年到期现有债券的利率。

53 假设现值为P2，到期价格为C2，从现在起1年支付的息票等于C1。这时2年的即期利率S2由下式解出：

54 三、远期利率 由（4）式可知，若1年内和2年内现金流均为1元，转化为现值分别为 其中，S1，S2分别是1年和2年的即期利率。
对于2年内支付1元的现值还可以用其他的方法计算。 首先，以1年即期利率S1为折现率求出1年的现值为 然后，决定1年后得到1元的现值为

55 它与2年内得到1元的现值相等，即 折现率 f1,2 叫做从1年到2年的远期利率。 折现率 f1,2

56 2年即期利率 7% 873.4 1000 从1年到2年的远期利率 1年即期利率 8.01% 6% 873.4 925.8 1000

57 远期利率与未来有关，因此是不可观测的。一般有：
可得

58 四、利率的期限结构和收益曲线 即期收益率 即期收益率 即期收益率 收益率曲线 收益率曲线 收益率曲线 O O O 到期期限 到期期限 到期期限 一般地，即期利率St（到期收益率)随到期期限t增加而增加。图中（1）表示的正是这种情况。表示长期的即期利率高于短期的即期利率。 图中（2）表示长期的即期利率与短期比较没有太大变化。 图中（3）表示的是与（1）相反的情况。

59 有三种理论用于解释利率的期限结构。 第一种是流动偏好理论。认为长期债券收益要高于短期债券收益，因为短期债券流动性高，易于变现，而长期债券流动性差。人们购买长期债券在某种程度上牺牲了流动性，因而要求得到补偿。

60 第二种理论是预期理论。 预期理论认为，如果人们预期利率会上升，长期债券利率就会高于短期利率。就是说，如果所有投资者预期利率上升，收益曲线将向上倾斜； 当经济周期从高涨、繁荣即将过度到衰退时如果人们预期利率保持不变，那么收益曲线将持平； 如果在经济衰退初期人们预期未来利率会下降，那么就会形成向下倾斜的收益曲线。

61 第三种理论是市场分割理论。认为，因为人们有不同的期限偏好，所以长期、中期、短期债券便有不同的供给和需求，从而形成不同的市场，它们之间不能互相替代。根据供求量的不同，它们的利率各不相同。

62 2、流动偏好理论 流动偏好理论认为，投资者有不同的期限偏好，有些偏好短期债券，有些偏好长期债券。
前者在持有长期债券时要求远期利率中包含一个流动溢价，即要求远期利率大于期望的未来短期利率，即要求f2＞E(r2)，后者则在持有短期债券时要求未来的期望短期利率中包含一个流动溢价，即要求未来期望的短期利率大于远期利率，即E(r2) ＞ f2 。 该理论还认为，之所以我们通常看到的情景是市场中的长期利率高些，短期利率低些，是因为市场是由短期投资者控制着。由于短期投资者占主导地位，所以一般远期利率大于未来的短期利率。

63 图 流动偏好理论的收益率曲线

64 3、市场分割理论 前面提及的预期假定理论和流动偏好理论都暗含着这样一个假定，即期限不同的债券可以相互替代，投资者可以根据不同利率的差异情况选最有利的债券。 市场的大体情况也许就是如此。但在市场中有些投资者无法进行期限的选择或不愿进行期限的互换，其中一部分就是喜欢短期债券，或只能投资于短期债券；另一部分只喜欢长期债券或只能投资了长期债券。对这些投资者来说，市场是分割的，分为短期债券投资者和长期债券投资者两部分。

65 市场分割理论就是建立在这个基础之上的。市场分割理论认为，长、短期债券的投资者是分开的，因此它们的市场是分割的，长短期债券各有自己独立的均衡价格。短期债券的供求关系决定了短期债券的均衡利率水平；长期债券的供求关系决定于长期债券的均衡利率水平。因此，利率的期限结构是由不同期限市场的均衡利率决定的。

66 到期收益率（%） 收益率曲线 10 5 O 到期期限 短期 长期 图 市场分割理论的收益率曲线

67 4、优先配产理论 市场分割理论受到了较多的批评，认为这不是市场的主流，也与市场的实践不符合。如果这种观点反映了市场的主流，实际就宣告了央行的公开市场运作的失败。 在这一背景下提出了优先置产理论，根据这个理论，借贷双方都要比较长短期利率，也都考虑预期的远期利率，通过比较才会作出最有利的期限决定。 因此，所有期限的债券都在借贷双方的考虑之内，这意味着期限不同的债券的利率是相互联系、相互影响的。由此，市场并不是分割的，投资者会选择那些溢价最多的债券。

68 第三节 债券定价与风险管理 一、债券定价理论（利率敏感性分析） 二、债券风险管理

69 一、债券定价理论（利率敏感性分析） 1962年，麦尔奇（Malkiel)提出债券定价的五个原则。
Expectation, Bond Price, and Term Structure of Interest Rates，Quarterly Journal of Economics，May 1962

70 图中的债券面值为1000元，20年到期，半年付息，年息票率为10%。图中的曲线因到期收益率的变化而呈凸性。
定理1：债券价格与债券收益率之间反方向变化。换句话说，债券收益率曲线总数凸向原点的，当债券价格上升时，债券收益率下降。反之,当债券价格下降时，债券的收益率上升。 图中的债券面值为1000元，20年到期，半年付息，年息票率为10%。图中的曲线因到期收益率的变化而呈凸性。 当到期收益率小于10%时，债券价格逐步上升；当到期收益率大于10%时，债券价格逐步下跌。 债 券 价 格 （元） 1000 10 到期收益率（%） 债券价格与债券收益率之间的关系

71 定理2：在给定利率水平下，债券价格直接与期限有关。期限越长，债券价格对到期收益率变动的敏感程度也就越高。
在图中，当到期收益率为10%时，票面利率为10%时，三种债券都以面值进行交易。 无论到期收益率向哪个方向变动，30年期债券价格的变动最为明显。 债 券 价 格 （元） 价格（n=30） 价格（n=10） 1000 价格（n=20） 10 到期收益率（%） 期限不同的债券价格与到期收益率之间的关系

72 定理3：随着债券到期日期的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度越大，并且是以递减的速度增大。
定理3：当到期时间增加时，债券价格对收益率变化的以下降的比率增加，即利率风险与债券到期时间不对称。

73 在图中，对5年期和10年期债券的价格差异与25年期和30年期债券的价格差异进行比较。
根据定理1和2，当收益率小于10%时，P(10)-P(5)>0, P(30)-P(25)>0;当收益率大于10%时， P(10)-P(5)<0, P(30)-P(25)<0。 但是，从图中可以看到，曲线P(10)-P(5)比P(30)-P(25)更陡峭，这说明对短期债券而言，其价格差异对到期收益率变化的敏感性更高。 债 券 价 格 差 异 P(n=30)-P(n=25) P(n=10)-P(n=5) 10 到期收益率（%） 期限不同债券在到期收益率 不同时的价格差异

74 定理4：对于期限既定的债券，由于收益率下降导致的债券价格上升的幅度，大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格的下降的幅度。
换言之，对应同等幅度的收益率的变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。 债券价格 B A 1000 C 5 10 15 到期收益率（%）

75 定理5：对于给定的收益率变动幅度，债券的票面值与债券价格的波动幅度反方向变动。票面利率越高，债券价格的波动幅度越小。
在图中，对20年期，到期收益率为10%，面值为1000元，息票利率分别为5%、10%、15%的债券价格变化情况进行比较。 息票利率低的债券，其价格对利率变化的敏感性相应高。而息票率高的债券，则债券价格变动相对平缓。 债 券 价 格 变 动 C=50 C=50 C=70 到期收益率（%） 不同票面利率债券的价格对到期收益率变化的敏感程度

76 对息票率为5%的债券而言，当到期收益率从5%下降到0%时，其价格变化比为100%；而息票率为10%和15%的债券的价格变化率分别为84%和77%。

77 定理5（另一种表述）：利率风险与债券息票率成反比。低息票债券的价格比高息票债券的价格对利率变化更敏感。

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79 Finally, bonds C and D are identical except for the yield to maturity at which the bonds currently sell. Yet bond C, with a higher yield to maturity, is less sensitive to changes in yields. This illustrates our final property: 6. The sensitivity of a bond’s price to a change in its yield is inversely related to the yield to maturity at which the bond currently is selling. 定理6（霍默和利伯维茨）债券价格对其收益变化的敏感性与当前出售债券的到期收益成反比。

80 二、债券风险管理 （一）久期（duration） （二）凸度（convexity) （三）免疫策略在债券管理中的应用

81 （一）久期 1、 Macaulay久期的计算公式 2、久期法则（久期的决定因素）

82 1、 Macaulay久期的计算公式 麦考利Macaulay(1938)为评估债券平均还款期限，引入久期概念（duration）。
债券久期指的是债券的平均到期时间，它是每次支付现金所用时间的加权平均值，而权重为每次支付的现金流的现值占现金流现值总和（即债券价格）的比率。 D为麦考利久期概念；PV（Ct）表述在实践t可收到现金流的现值，计算时所用的贴现率为债券的到期收益率；P0表示当前债券的市场价格；T表示债券到期所剩余的时间年限。

83 例：某3年期债券的面值为1000元，票面利率为8%，每年付息一次，现在市场收益率为10%，其市场价格为950.25元，则其久期的计算如下表。
债券到期时间 现金流 贴现因子 现金流现值/元 评价持有期的计算（现金流×时间） 1 80 72.73 2 66.12 132.23 3 1080 811.42 950.26 D= /950.26=

84 （博迪）图显示8年期每年偿付债券息票率为9%的现金流，以10%的到期收益率出售。现金流平衡点就是久期，为5.97年。

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87 久期最初表示平均还款期限，但是实际运用中久期表示的是债券价格的波动性（即久期是用来度量债券价格的利率风险的指标）。
（博迪）已经看到长期债券比短期债券对利率的变动更为敏感，久期的测度能够量化这种关系。具体而言，根据以下方法，当利率变化时，债券价格的相应变化与其到期收益是相关的。可用公式表达如下：

88 We have seen that long-term bonds are more sensitive to interest rate movements than are short-term bonds. The duration measure enables us to quantify this relationship. Specifically, it can be shown that when interest rates change, the proportional change in a bond’s price can be related to the change in its yield to maturity, y, according to the rule

89 假设半年期利率从5%涨至5.01%。根据公式债券价格应该下降：

90 则等式（15）左边是单位收益率变动下债券价格变化的百分比，右边是负的修正的久期。修正久期越大，则债券价格波动率就越大。
（教材内容） 则等式（15）左边是单位收益率变动下债券价格变化的百分比，右边是负的修正的久期。修正久期越大，则债券价格波动率就越大。

91 债券价格变化的百分比 = -修正久期×收益率的变化

92 债券组合的久期用组合中所有债券的久期的加权平均来计算，权重即为各个债券在组合中所占价值比率。

93 2、久期法则（久期的决定因素） 法则1：贴现债券或者零息票债券的久期等于它们的到期时间。
法则2：当息票率较高时，如果到期日不变，债券的久期较短。 息票率越高，早期支付权重也越越高，且权重的支付平均到期就越短。 图中，息票率为15%的债券久期轨迹位于息票率为3%的债券相应的久期轨迹下方。

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95 法则3：当票面利率不变时，债券的久期通常会随着到期时间而增加。
在图中，零息票债券的到期时间和久期相同。对于息票债券，随着到期年增涨，久期增加不到1年。久期图的斜率小于1。

96 法则4：在其他因素不变时，债券的久期和到期收益率呈反方向变化。在较高收益时，债券总值的较高部分存在于其较早的支付，这样就降低了有效期限。
图中，两种息票率均为15%的债券有不同的久期，较高到期收益率（15%）的债券的久期比较低到期收益率（6%）的债券短。

97 法则5：统一公债（即终身年金）的久期为(1+y)/y。
比如，当收益为10%，每年支付100美元的终身年金的久期是（1+10%）/10%=11年。

98 3、久期在债券投资管理中的应用 （1）对冲策略（hedging） （2）免疫策略（immunization strategies） （3）利率互换（interest rate swap）

99 （1）对冲策略（hedging） 对冲策略 就是投资者持有某种证券的头寸，通过持有另一种证券的反头寸来抵补前者的风险暴露。
对冲策略 就是投资者持有某种证券的头寸，通过持有另一种证券的反头寸来抵补前者的风险暴露。 显然，投资者在进行组合的时候，必须是两者的价值波动大小相等，方向相反。 持有债券头寸的时候会面临利率风险，此时投资者可以持有另一种债券的相反头寸来对利率风险进行对冲。 久期表示债券的波动性，因此可以用久期进行对冲策略。

100 假设被对冲的债券为A，其久期为DA，对冲债券为B，其久期为DB，那么1单位债券A，现考虑需要多少单位的B债券来对冲？
如果债券A的收益率变化为ΔA时，B债券的收益率变化为ΔB，那么1单位A的价值变化为DA ΔA，1单位债券B的价值变化为DB ΔB，那么对冲比率为DA ΔA/ DB ΔB 。 ΔA/ ΔB 为债券收益率之间的关系，称为收益率β。

101 附录 在进行风险管理时，有时需要构造一个资产组合，其价值与某个债券或债券组合相同，并且在利率发生变动的情况下，两者的价值变动也相同。如果一个是多头，一个是空头，两者的风险就可以对冲。 久期可以帮助构造这一一个资产组合，只要求两者的现价相同，两者的久期也相同，就可以近似地做到这一点。

102 附录 多头是指投资者对股市看好，预计股价将会看涨，于是趁低价时买进股票，待股票上涨至某一价位时再卖出，以获取差额收益。
空头是投资者和股票商认为现时股价虽然较高，但对股市前景看坏，预计股价将会下跌，于是把借来的股票及时卖出，待股价跌至某一价位时再买进，以获取差额收益。 头寸（position）也称为“头衬”就是款项的意思，是金融界及商业界的流行用语。如果银行在当日的全部收付款中收入大于支出款项，就称为“多头寸”，如果付出款项大于收入款项，就称为“缺头寸”。对预计这一类头寸的多与少的行为称为“轧头寸”。

103 （2）免疫策略（immunization strategies）
免疫策略是一种债券组合管理方法，能够使投资者免受利率波动的影响。 债券的收益来自三个部分：利息收入、利息再投资收益、资本利得（损失）。 当利率上升时，利息的再投资收益会增加，不过由于债券价格的下降，就会有资本损失； 当利率下降时，利息的再投资收益会减少，不过由于债券的价格升高，会有资本利得。

104 利率风险（资本损失或资本利得）和再投资风险对于投资者的收益作用是相互抵消，那么我们就有可能找到一种债券或债券组合，使得投资者在购买债券的时候就可以锁定收益率，而不论未来的利率如何变化。也就是说，债券或组合对于利率的免疫。 免疫的方法就是债券的麦考利久期等于投资期限。

105 例：某投资者希望在6年后支付177万元的一笔投资，他可以用100万元投资于一种到期收益率为10%，期限为6年的债券，6年后就可以得到：100×(1+10%)6=177.16万元。
如果市场收益率曲线呈现下降趋势，一两年内市场利率下跌，则再投资收益就会下降，到期就无法得到177万元的收入。因此，投资者就需要选择适当的债券使得在投资收益和资本利得的变化恰好相互抵消。

106 投资者应该考虑持有久期为6年的某种债券实现对利率风险的免疫。
现在考虑下面一种债券：面值为1000元的8年期债券，票面利率为8%，每年付息一次，当前市场利率为10%，当前价格为893.3元，则根据久期计算公式，它的久期为6 。

107 D=5441.147/893.3015=6.09 债券到期时间 现金流 贴现因子 现金流现值/元 评价持有期的计算（现金流×时间） 1 80
2 3 4 5 6 7 8 1080 D= / =6.09

108 利率5% 利率10% 利率15% 再投资收益 92.61 106.48 121.67 88.2 96.8 105.8 84 88 92 80 再投资收益小计 6年后债券市场价格 两项合计 不管利率发生什么样的变化，这种债券的收益率在6年后都能保持不变，完全符合投资者的预期要求。

109 已知债券价格为893.3元，投资者可以用100万元购买1119份该债券。6年后投资者可以稳定地获得177万元左右的收益。计算结果见下表。
表10-11 应用免疫策略的投资收益 收益率 利率5% 利率10% 利率15% 购买份数 1119 6年后收益（元） 6年后总收益（元）

110 （3）利率互换（interest rate swap）
利率互换是指交易双方签订合约，定期交换收到的利息支付。 利率支付的数额按照预先确定的本金计算，等于双方约定的期间利率乘以名义本金。 通常一方支付对方按固定利率计算，而另一方则支付对方按浮动利率计算的利息。

111 例：交易者A、B签订了互换协议，A同意按9%的固定年利率支付B利息，而B则按每半年期的LIBOR（伦敦银行同业拆借）支付A浮动利息，假设名义本金为1000万美元，每半年结息一次，即A每半年支付45万美元的固定利息给B，而B则支付A利息1000×（LIBOR/2）万美元。 交易者A持有了固定利率债券的空头和浮动利率债券多头组成的债券组合； 相反，交易者B持有了固定利率债券的多头和浮动利率债券空头组成的债券组合。

112 利率互换可以看出一种债券组合，其价格的波动性会随着利率波动，而且久期就是用来反映债券价格的变化对利率变化敏感性的。
根据债券组合久期计算方法，可以知道互换的久期为： 互换的久期=浮动利率债券修正久期-固定利率债券修正久期

113 （二）凸度（convexity) 在固定收入资产组合管理中，久期显然是一个关键的工具，关于利率对债券价格的效应的久期法则仅是一种近似表达。
债券价格变化的百分比约等于债券收益变化的久期修正值： 这个规则以为债券价格变化的百分比直接与债券收益变化成比率。 如果确实是这样，债券价格变化的百分比作为它的收益变化的函数的图形将是一条直线，它的斜率等于-D*。

114 马尔凯五法则（特别是法则2）的更一般的表达有债券价格与收益之间的关系不是线性的。
久期法则虽然是债券收益较小变化的良好近似表达，但是，它并不能对较大程度的变化作出精确的说明。

115 从图中还可以看到，近似久期（直线）总是低于债券的价值。
当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度；当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。这是由真实价格关系的曲率决定的。 曲线的形状，譬如价格-收益关系的形状是凸的，价格-收益曲线的曲率就称作债券的凸性（c o n v e x i t y）。凸性一般被认为是债券的理想特征：当债券收益下降时，债券价格以更大的曲率增长；当债券收益增长时，债券价格则以较低的曲率降低。

116 图中，债券是30年期，息票率为8%，出售时初始到期收益率为8%。因为息票率等于到期收益率，债券以面值或1000美元出售。在初始收益时债券的修正久期为11.26年，其曲率（凸度）为212.4.如果债券收率从8%上涨至10%，债券价格会降至811.46美元，下降了18.85%。 根据久期法则，可以预测价格下降： 这比债券价格实际下降的幅度更大。带凸性的久期法则会更加精确：

117 如果收益率变化较小，凸性无足轻重。 比如收益率变化0.1%，债券价格实际下降至988.85美元，下降了1.115%。 如果不考虑凸性，预测债券价格下降： 如果考虑凸性，预测债券价格下降：

118 1、 凸度的概念与计算（教材内容） 债券价格收益曲线的曲率称为债券的凸度。
图中，当债券收益率从y增加到y+，债券价格减少到P+。相反，当债券收益率从y减少到y-，债券价格增加到P-。 债券价格上升幅度大于债券价格下降的幅度。 价格 到期收益率（%）

119 凸度的推导 债券价格可以看作是收益率的函数，然后把它用二阶泰勒公式展开： 即债券价格的变动取决于久期、凸度和误差项。
式子右边的第一项表示债券久期变动导致的价格变动，第二项是凸度导致的价格变动。 等式（20）得出的到期收益率的变化引起的债券价格的变化量。 要得到变化的百分比，需要在等式两边同时除以债券价格：

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121 凸度的计算公式

122 例：下表列示了息票利率为12%、贴现率为9%、每年付息1次的3年期债券的凸度计算。
（1） 年 （2） 现金流 （3） 贴现系数 （4） 现金流现值 （5） n(n+1) （4）×（5） 1 120 0.9174 110.09 2 220.18 0.8417 101.00 6 606.00 3 0.7722 92.66 12 1000 722.20 P=

123 2、 凸度的特征（教材内容） （1）债券凸度具有 “正凸性”特征，即收益率同等变化幅度下，债券价格增加的幅度要超过债券减少的幅度。 y1
真实价格 P1 P1’ 根据修正久期估计的价格 P* P2 P2‘ y1 y* y2 到期收益率（%）

124 （2）对于给定的收益率和久期，票面利率越低，债券的凸度越大。

125 （3）给定收益率和修正久期，票面利率越低，债券凸度就越小。
三种收益率和修正久期相等的债券凸度 票面利率 存续期 收益率 修正久期 凸度 11.625% 10.00 10% 6.05 50.48 5.5% 8.00 6.02 44.87 0% 6.33 6.03 39.24

126 （4）久期增加时，凸度以加速度增加。 久期 凸度 图 债券久期和凸度之间的非线性关系

127 （三）免疫策略在债券管理中的应用 如果债券管理者能够较好地确定持有期，那么就能够找到所有的久期等于持有期的债券，并选择凸性最高的那种债券。这类策略称为免疫策略。 选择免疫策略，就是在尽量减免到期收益率变化所产生负效应的同时，还尽可能从利率变动中获取利益。

128 1、所得免疫 所得免疫策略保证投资者有充足的资金可以满足预期现金支付的需要。
现金配比策略：有效的投资策略可以投资于债券投资组合获得利息和收回本金恰好满足未来现金需求。 这种策略限制性强，弹性小，这就可能排斥许多缺乏良好现金流特性的债券。 久期配比策略：只要求负债流量的久期和组合投资债券久期相同即可，因而有更多的债券可供选择。 但是，这一策略也存在一定不足，例如为了满足负债的需要，债券管理者可能不得不在极低的价格抛售债券。

129 水平配比策略：投资者可以设计出一种债券投资组合，在短期内运用现金配比策略，在较长的时期内运用久期配比策略。
这样，既有现金配比策略中的流动性强的优点，又有久期配比策略中的弹性较大的优点。

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131 2、价格免疫 价格免疫由那些保证特定数量资产的市场价值高于特定数量资产负债的市场价值的策略组合。
价格免疫使用凸性作为衡量标准，实现资产凸性与负债凸性相匹配。

132 图展示了债券投资组合的价格免疫策略。 例如，一家保险投资基金有足够的资金支持，可以使债券投资组合（资产）的市场价值等于未来的支出（负债）的现值。只要资产凸性高于负债的凸性，两者间差额的市场价值就将随着利率的变化而增减。而且凸性越大，从利率变化所获得的利得也就越大。 价格 资产 P0 负债 y0 到期收益率 图 资产凸度与负债凸度的匹配策略

133 图反映债券现值和一次性支付债务与利率的函数关系。
在现行8%的利率下，债券现值与一次性支付债务是相等的，债务完全可由债券的收入偿还，而且这两个价值曲线在y＝8%处相切。 当利率变动时，资产与债务两者的价值变化相等，所以债务仍可由债券的收入偿还。 当利率有更大变动时，两条现值曲线分开了。这反映了这样一个事实，即在市场利率不是8%时，偿债资金会有一个小的余额。 原因：息票债券的凸性大于债务。

134 3、或有免疫策略 或有免疫（contingent immunization）是利伯维茨和温伯格（1982）提出的一种积极—消极混合的投资策略。 该策略是指投资者允许组合在一定限度内（保证最低收益率或价值）进行积极管理，一旦触及该限度，投资者应立即停止运行这种方法，而是市场利率来免疫剩余资产，以确定资产的终值。

135 为了说明，设定现行利率为10%，管理者的资产组合现价为1 000万美元。管理者可通过常规的利率免疫技术锁住现有利率，两年后资产组合的未来价值为1 210万美元。
现在，假定管理者愿意从事更积极的投资，但是，只愿意承担有限的风险损失，即要保证资产组合的最终价值不能低于1 100万美元。 由于在现行利率下只要有909万美元( 1100万美元/ ( 1.1 )2)就可以在两年后达到最小可接受的最终价值，而资产组合的现值为1 000万美元，管理者在开始时可以承受一些风险损失，因此开始时可以采用一些积极的策略，而不用立即采取利率免疫的策略。

136 实施或有免疫策略的关键，在于设定触发点，以锁定利率波动风险，以保证未来获得1 100 万美元。
如果用 T 代表到期的剩余时间， r 为任一特定时间的市场利率，那么，必须要保证有能力达到最低可接受的最终价值是1 100万美元/ ( 1＋r)T，因为这一规模的资产组合如果免疫会在到期日无风险地增至1 100万美元。 这个值变成了触发点：如果当实际的资产组合值跌至触发点，积极的管理就会停止。或有达到触发点，会导致最初的免疫策略的变换，以保证最低的可接受业绩得以实现。 下图表明了或有免疫策略的两种可能的结果。

137 在a图中，资产组合价值下降并在点t触及触发点，在该点资产组合获得利率免疫，其资产组合价值平滑升至A，即1100万元。
在图b中，资产组合表现很好，并未触及触发点，因此资产组合价值也高于1100万元。 图 或有免疫策略的两种可能结果

138 Contingent Immunization
Contingent immunization is a mixed passive-active strategy suggested by Liebowitz and Weinberger. To illustrate, suppose that interest rates currently are 10% and that a manager’s portfolio is worth $10 million right now. At current rates the manager could lock in, via conventional immunization techniques, a future portfolio value of $12.1 million after two years. Now suppose that the manager wishes to pursue active management but is willing to risk losses only to the extent that the terminal value of the portfolio would not drop lower than $11 million. Because only $9.09 million ($11 million/1.102) is required to achieve this minimum acceptable terminal value, and the portfolio currently is worth $10 million, the manager can afford to risk some losses at the outset and might start off with an active strategy rather than immediately immunizing.

139 The key is to calculate the funds required to lock in via immunization a future value of $11 million at current rates. If T denotes the time left until the horizon date, and r is the market interest rate at any particular time, then the value of the fund necessary to guarantee an ability to reach the minimum acceptable terminal value is $11 million/(1 r)T, because this size portfolio, if immunized, will grow risk-free to $11 million by the horizon date. This value becomes the trigger point: If and when the actual portfolio value dips to the trigger point, active management will cease. Contingent upon reaching the trigger, an immunization strategy is initiated instead, guaranteeing that the minimal acceptable performance can be realized.

140 Figure 16.12 illustrates two possible outcomes in a contingent immunization strategy.
In Figure 16.12A, the portfolio falls in value and hits the trigger at time t*. At that point, immunization is pursued and the portfolio rises smoothly to the $11 million terminal value. In Figure 16.12B, the portfolio does well, never reaches the trigger point, and is worth more than $11 million at the horizon date.

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