数字信号处理 by Zaiyue Yang CSE, ZJU, 2012.

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1 数字信号处理 by Zaiyue Yang CSE, ZJU, 2012

2 第4章 数字滤波器的结构 4.1 引言 4.2 用信号流图表示网络结构 4.3 IIR系统的基本网络结构 4.4 FIR系统的基本网络结构
4.1 引言 4.2 用信号流图表示网络结构 4.3 IIR系统的基本网络结构 4.4 FIR系统的基本网络结构 4.5 FIR系统的线性相位结构 4.6 FIR系统的频率采样结构 4.7 数字信号处理中的量化效应 2

3 4.1 引言 本章内容 数字滤波器的设计与实现 （1）确定性能指标 （2）求系统函数H(z) 已知 （3）确定运算结构 寻求
4.1 引言 数字滤波器的设计与实现 （1）确定性能指标 （2）求系统函数H(z) 已知 本章内容 （3）确定运算结构 寻求 （4）确定实现方法 关键点：同一个H(z)可以写成不同形式，因此可以由不同结构来实现。 3

4 一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程
其系统函数H(z)为

5 给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：
不同算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统复杂程度和成本 5

6 4.2 用信号流图表示网络结构 基本运算单元的方框图及流图表示 基本运算单元 方框图 流图 单位延时 乘法器 加法器 6

7 节点 支路 流图结构 源节点 输出节点 网络节点 输入支路 输出支路 分支节点 相加器 节点的值=所有输入支路的值之和
支路的值=支路起点处的节点值×传输系数 支路 输入支路 输出支路 7

8 流图的化简 （1）并联支路 （2）串联支路 （3）反馈支路 8

9 例： (4.2.1) 可得 图 信号流图 (a)基本信号流图；(b)非基本信号流图 9

10 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1；
基本信号流图 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1； (2) 流图环路中必须存在延时支路； (3) 节点和支路的数目是有限的。 10

11 FIR网络 v.s. IIR网络 FIR：无反馈支路 差分方程， 单位脉冲响应h(n)有限长， IIR：有反馈支路 差分方程，例如：
11

12 4.3 IIR系统的基本网络结构 IIR的三种结构：直接型、级联型、并联型 1.直接型 N阶差分方程： 系统函数： 12

13 1!!! 1!!! 图 IIR网络直接型结构 13

14 例 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为 画出该滤波器的直接型结构。 解：由H(z)写出差分方程 14

15 图 例4.3.1图 15

16 （2）不能直接调整滤波器系统函数的零、极点；
直接型特点 （1）简单直观, 运算速度快, 要求的内存少； （2）不能直接调整滤波器系统函数的零、极点； （3）系数的有限字长效应对零、极点位置的影响很大，甚至可能使原设计稳定的滤波器变为不稳定的。 ∴直接型结构多用于低阶（2~3阶）滤波器。 16

17 将H(z)的分子、分母多项式分别因式分解
2. 级联型 将H(z)的分子、分母多项式分别因式分解 (4.3.1) Cr、dr为零、极点。由于它们是实数或共轭成对复数，因此上式可写作： (4.3.2) 其中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。 17

18 Hj(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，可由直接型网络结构表示：
图4.3.3 一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构 结论：Hj(z)网络级联构成H(z) 网络。 18

19 例4.3.2 设系统函数H(z)如下式： 试画出其级联型网络结构。 解：将H(z)分子分母进行因式分解，得到 图4.3.4 例4.3.2图
图 例4.3.2图 19

20 （1）每个一阶网络决定一个零点、一个极点，每个二阶网络决定一对零点、一对极点；
级联型特点 （1）每个一阶网络决定一个零点、一个极点，每个二阶网络决定一对零点、一对极点； （2）能直接调整滤波器系统函数的零、极点； （3）信号不会回流，运算误差的积累比直接型小； 20

21 结论：Hi(z)网络并联构成H(z) 网络。
3.并联型 将H(z)展成部分分式形式 (4.3.4) Hi(z) 为一阶或二阶网络， β0i、β1i、α1i和α2i为实数。 结论：Hi(z)网络并联构成H(z) 网络。 21

22 将每部分用直接型结构实现，然后并联。 例4.3.3 画出例题4.3.2中的H(z)的并联型结构。 解：将H(z)展成部分分式形式：
图 例4.3.3图 22

23 （2）各二阶节的误差互不影响，故误差一般比级联型稍小；
并联型特点： （1）可以直接控制极点； （2）各二阶节的误差互不影响，故误差一般比级联型稍小； （3）有限字长效应的影响小； （4）零点不能独立地调节（二阶节的零点并不一定是系统的零点）； （5）系数较多 → 乘法次数多。 23

24 4.4 FIR系统的基本网络结构 FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为 24

25 1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图4.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。
图 FIR直接型网络结构 25

26 2. 级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 例 设FIR网络系统函数H(z)如下式： H(z)= z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 26

27 其直接型结构和级联型结构如图所示。 解：将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
图 例4.4.1图 特点比较： （1）级联型的每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点 （2）系数比直接型多，所需的乘法运算多 27

28 4.5 线性相位FIR数字滤波器 什么是线性相位FIR？ 考虑长度为N的h(n)，系统函数为： 频率响应函数为： (4.5.1)
(4.5.2) Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。 28

29 严格地说， (4.5.4) 中θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即
H(ejω)线性相位是指： θ(ω)是ω的线性函数，即 τ为常数 (4.5.3)   或θ(ω)满足下式： ,θ0是起始相位 (4.5.4) 严格地说， (4.5.4) 中θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即 第一类线性相位 第二类线性相位 29

30 线性相位条件： 注意：充分条件 第一类线性相位： h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即 第二类线性相位：
(4.5.5) 第二类线性相位： h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即 (4.5.6) 30

31 第一类线性相位条件证明： 令m=N-n-1 31

32 z=ejω 32

33 第二类线性相位条件证明： 令m=N-n-1 33

34 34

35 幅度特性Hg(ω)的特点 Case 1：第一类线性相位、N为奇数
h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2 35

36 可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器
cosω(n-τ)对ω=0,π,2π皆为偶对称 因此Hg(ω) 也对ω=0,π,2π是偶对称的。 可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器 36

37 幅度特性Hg(ω)的特点 Case 2：第一类线性相位、N为偶数
与N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(ω)中没有单独项，相等的项合并成N/2项。 37

38 因此Hg(π)=0， Hg(ω)关于ω=π是奇对称，关于ω=0, 2π偶对称
因为N是偶数，所以当ω=π时有： cosω(n-τ)对ω=π为奇对称 对ω=0, 2π皆为偶对称 因此Hg(π)=0， Hg(ω)关于ω=π是奇对称，关于ω=0, 2π偶对称 可以实现低通和带通 不能实现高通和带阻滤波器 38

39 39

40 幅度特性Hg(ω)的特点 Case 3：第二类线性相位、N为奇数 h(n)奇对称，因此 40

41 因为N是奇数，所以τ=(N-1)/2是整数。
当ω=0,π,2π 时，sinω(n-τ)=0 且sinω(n-τ)对过零点奇对称 因此，Hg(ω)关于ω=0,π,2π是奇对称 只能实现带通滤波器 不能实现低通、高通和带阻 41

42 幅度特性Hg(ω)的特点 Case 4：第二类线性相位、N为偶数 因为N是偶数，所以τ=(N-1)/2=N/2-1/2。
当ω=0, 2π 时，sinω(n-τ)=0；当ω=0, 2π 时，sinω(n-τ)=±1，为峰值点 sinω(n-τ)对过零点奇对称，对峰值点偶对称 因此，Hg(ω)关于ω=0, 2π是奇对称，关于ω=π偶对称 可以实现高通和带通 不能实现低通和带阻 42

43 43

44 线性相位FIR滤波器零点分布特点 在第一类和第二类线性相位系统的证明中用到： 第一类取‘+’第二类取‘－’ 如果zi为H(z)的零点：
由于h(n)为实序列，零点共轭成对： zi*和(zi*)-1也是零点 44

45 线性相位FIR滤波器零点分布特点 图 线性相位FIR滤波器零点分布 45

46 回顾线性相位FIR滤波器网络结构： N为偶数： N为奇数，则将中间项h[(N-1)/2]单独列出: 第一类取‘+’第二类取‘－’ 46

47 图 第一类线性相位网络结构 47

48 图 第二类线性相位网络结构 48

49 4.6 FIR系统的频率采样结构 由DFT可知，H(z)与频域采样值H(k)满足 （4.6.1）
条件：满足频率域采样定理，即频率域采样点数N大于等于原序列的长度M 推论：M有限，因此频率采样结构只使用于FIR，不适用于IIR 49

50 将(4.6.1)式写成下式： (4.6.2) 式中 Hc(z)是一个梳状滤波网络，其零点为 Hc(z) 零点与Hk(z)极点对消 50

51 图 FIR滤波器频率采样结构 51

52 (1)便于调整：在频率采样点ωk， ，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性
优点： (1)便于调整：在频率采样点ωk， ，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性 (2)便于标准化、模块化：只要h(n)长度N相同，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同 缺点： (1)系统稳定性脆弱：位于单位圆上的N个零极点对消 (2)硬件实现不方便：H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算 52

53 (1) 将单位圆上的零极点向单位圆内收缩到半径为r的圆上，取r<1且r≈1。此时H(z)为
修正： (1) 将单位圆上的零极点向单位圆内收缩到半径为r的圆上，取r<1且r≈1。此时H(z)为 (4.6.3) 53

54 (2) 将Hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络，记为Hk(z)
由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)；且WN-(N-k)=WNk=(WN-k)* (2) 将Hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络，记为Hk(z) 其中，实系数为： 54

55 其中，H(0)和H(N/2)为实数。 当N为偶数时，H(z)可表示为 (4.6.4)
55

56 当N为奇数时，H(0)为实数，H(z)可表示为
(4.6.5) 56

57 4.7 数字信号处理中的量化效应 信号x(n)值量化后用Q[x(n)]表示， 量化误差用e(n)表示，
4.7 数字信号处理中的量化效应 信号x(n)值量化后用Q[x(n)]表示， 量化误差用e(n)表示，  e(n)=Q[x(n)]-x(n) 图 量化噪声e(n)的概率密度曲线 (a) 截尾法； (b) 舍入法 57

58 A/D变换器的功能原理图如图 4.7.2(a)所示， 图中
是量化编码后的输出， 如果未量化的二进制编码用x(n)表示， 那么量化噪声为e(n) = x(n)， 因此A/D变换器的输出 为 (4.7.1) 那么考虑A/D变换器的量化效应， 其方框图如图 4.7.2(b)所示。 这样， 由于e(n)的存在而降低了输出端 的信噪比。 58

59 (a) A/DC变换器功能原理图； (b) 考虑量化效应的方框图
59

60 假设A/D变换器输入信号xa(t)不含噪声， 输出
中仅考虑量化噪声e(n)，信号xa(t)平均功率用 表示， e(n)的平均功率用 表示， 输出信噪比用S/N表示， 或者用dB数表示 (4.7.2) A/D变换器采用定点舍入法， e(n)的统计平均值 me=0， 方差 60

61 为充分利用其动态范围， 取 ，代入(4.7.3)式， 得
将 代入(4.7.2)式， 得到: (4.7.3) 为充分利用其动态范围， 取 ，代入(4.7.3)式， 得 61

62 数字网络或者数字滤波器的系统函数用下式表示：
2. 数字网络中系数的量化效应 数字网络或者数字滤波器的系统函数用下式表示： 式中的系数br和ar必须用有限位二进制数进行量化， 存贮在有限长的寄存器中,经过量化后的系数用 和 表示，量化误差用Δbr和Δar表示，   62

63 (4.7.4) 对于N阶系统函数的N个系数ar，都会产生量化误差Δar，每一个系数的量化误差都会影响第i个极点Pi的偏移。可以推导出第i个极点的偏移ΔPi服从下面公式： (4.7.5) 63

64 推导过程 64

65 (3) 极点的偏移与滤波器的阶数N有关，阶数愈高， 系数量化效应的影响愈大， 因而极点偏移愈大。
上式表明极点偏移的大小与以下因素有关： (1) 极点偏移和系数量化误差大小有关。 (2) 极点偏移与系统极点的密集程度有关。 (3) 极点的偏移与滤波器的阶数N有关，阶数愈高， 系数量化效应的影响愈大， 因而极点偏移愈大。 系统的结构最好不要用高阶的直接型结构，而将其分解成一阶或者二阶系统，再将它们进行并联或者串联，以减小极点偏移量。 65

66 例：设计一带通滤波器，并对其系数用16位字长量化，其中尾数15位。
66

67 3. 数字网络中的运算量化效应 1) 运算量化效应 考虑定点乘法运算： 67

68 在图 4.7.3 中，有两个乘法支路，采用定点制时共引入两个噪声源，即e1(n)和e2(n)，噪声e2(n)直接输出， 噪声e1(n)经过网络h(n)输出，输出噪声ef(n)为
图 考虑运算量化效应的一阶网络结构 68

69 ef(n)=e1(n)*h(n)+e2(n) 如果尾数处理采用定点舍入法， 则输出端噪声平均值为 
 如果尾数处理采用定点舍入法， 则输出端噪声平均值为  上式中E[ ]表示求统计平均值， m1和m2分别 表示两个噪声源的统计平均值， 这里m1=m2=0， 因 此， 69

70 由于e1(n)和e2(n)互不相关，求输出端噪声方差时， 可分别求其在输出端的方差，再相加。这里，每个噪声源的方差均为
输出端的噪声ef(n)的方差为 70

71 式中，ef1(n)和ef2(n)分别表示e1(n)和e2(n)在输出端的输出；
71

72 根据帕斯维尔定理， 也可以用下式计算： 72

73 网络采用定点补码制， 尾数处理采用舍入法。 试 分别计算直接型、 级联型和并联型结构输出噪声功率。
2) 网络结构对输出噪声的影响 例 已知网络系统函数为 网络采用定点补码制， 尾数处理采用舍入法。 试 分别计算直接型、 级联型和并联型结构输出噪声功率。 解 73

74 图 例 的网络结构图 74

75 (1) 直接型。 式中 75

76 2) 级联型。 式中 76

77 3) 并联型。 77

78 输入信号x(n)方差为 ，均值mx=0，输出端信号功率用 表示，
输出信噪比S/N用信号和噪声的功率比计算 输出信噪比随量化位数b增加而增加 并联型网络结构输出信噪比最大，直接型最差 78