第七章 线性变换 7.1 线性映射 7.2线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量

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1 第七章 线性变换 7.1 线性映射 7.2线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量
7.6 可以对角化矩阵

2 7.1 线性映射 一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义、例. 7.1.2 线性变换的象与核. 二、 教学目的:
1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）． 2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核． 三、 重点难点: 判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核．

3 7.1.1 线性映射的定义、例 设F是一个数域，V和W是F上向量空间.
定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 ②对于任意 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 和任意

4 在②中取 ，对③进行数学归纳，可以得到： （1） （2） 例1 对于 的每一向量 定义 σ是 到 的一个映射，我们证明，σ是一个线性映射. 例2 令H是 中经过原点的一个平面.对于 的每一向量ξ，令 表示向量ξ在平面H上的正射影.根据射影的性质， 是 到 的一个线性映射.

5 例3 令A是数域F上一个m × n矩阵，对于n元列空间的 每一向量
规定： 是一个m×1矩阵，即是空间 的一个向量，σ是 到 的一个线性映射.

6 例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向量ξ令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到W的一个线性映射，叫做零映射.
例5 令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任意 定义 容易验证，σ是V 到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V 的一个位似. 特别，取k = 1，那么对于每一 都有 这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k = 0，那么σ就是V 到V的零映射.

7 例6 取定F的一个n元数列 对于 的每一向量 规定
容易验证，σ是 到F的一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或 上一个线性型. 例7 对于F[x] 的每一多项式 f（x），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是F[x]到自身的一个线性映射.

8 例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所成的R上向量空间，对于每一 规定
仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射.

9 7.1.2 线性变换的象与核 定义2 设σ是向量空间V到W的一个线性映射, (1) 如果 那么 叫做 在σ之下的象.
(1) 如果 那么 叫做 在σ之下的象. (2) 设 那么 叫做 在σ 之下的原象. 定理 设V 和W 是数域F 上向量空间，而 是一个线性映射，那么V 的任意子空间在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空间在σ之下的原象是V 的一个子空间.

10 特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个子空间，叫做σ的象, 记为
即 另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是V 的一个子空间，叫做σ的核， 记为

11 定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性映射，那么
(i) σ是满射 (ii) σ是单射 证明 论断(i)是显然的,我们只证论断(ii) 如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量.反过来设ker(σ) = {0}. 如果 那么 从而 所以 即σ是单射.

12 如果线性映射 有逆映射 ，那么是W 到V 的一个线性映射.

13 7.2 线性变换的运算 一、内容分布 二、 教学目的: 三、 重点难点: 7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积
7.2. 3线性变换的多项式 二、 教学目的: 掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算. 掌握线性变换的多项式, 能够求出给定线性变换的多项式. 三、 重点难点: 会做运算.

14 7.2.1 加法和数乘 令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V 的一个线性变换.
我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设 定义: 加法: 数乘: , 那么是V的一个线性变换. 可以证明: 和 都是V 的一个线性变换. 令 ，那么对于任意 和任意 证明

15 所以 是V的一个线性变换 令 ，那么对于任意 和任意 所以kσ是V的一个线性变换.

16 线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对于任意 ,以下等式成立:
(1) (2) 令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有以下性质：对任意 有： (3) 设 σ的负变换－σ指的是V到V的映射 容易验证，－σ也是V的线性变换，并且 （4）

17 线性变换的数乘满足下列算律： 这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换. 定理 L（V）对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间.

18 7.2.2线性变换的积 设 容易证明合成映射 也是V上的线性变换，即 我们也把合成映射 叫做σ与τ的积，并且简记作στ 。除上面的性质外，还有： 对于任意 成立。

19 证明 我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地验证。设 我们有
因而（9）成立。

20 7.2.3 线性变换的多项式 线性变换的乘法满足结合律： 对于任意 都有 因此,我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次幂 这里n是正整数。
线性变换的乘法满足结合律： 对于任意 都有 因此,我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次幂 这里n是正整数。 我们再定义 这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。

21 进一步，设 是F上一个多项式，而 以σ代替x，以 代替 ，得到V的一个线性变换 这个线性变换叫做当 时f (x)的值，并且记作 （1）因为对于任意 我们也可将 简记作 ，这时可以写

22 （2）带入法：如果 并且 那么根据L(V )中运算所满足的性质,我们有

23 7.3 线性变换和矩阵 一、内容分布 二、教学目的: 三、重点难点: 7.3.2 坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换
7.3.1 线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵 二、教学目的: 1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定n 阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ的线性变换． 2．由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐标． 3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另一个基的矩阵。 三、重点难点: 线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵。

24 7.3.1 线性变换的矩阵 现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一个线性变换，取定V的一个基 令 ………………………………………

25 设 N 阶矩阵A 叫做线性变换σ关于基 的矩阵. 上面的表达常常写出更方便的形式: (1)

26 7.3.2 坐标变换 设V是数域F上一个n 维向量空间, 是它的一个基, ξ关于这个基的坐标是 而σ(ξ)的坐标是 问: 和 之间有什么关系? 设

27 因为σ是线性变换，所以 （2） 将（1）代入（2）得

28 最后，等式表明， 的坐标所组成的列是 综合上面所述, 我们得到坐标变换公式： 定理 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 的矩阵是

29 如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 ，而σ(ξ)的坐标是 ，
那么

30 例1 在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基.令σ是将 的每一向量旋转角θ的一个旋转. σ是 的一个线性变换.我们有
所以σ关于基 的矩阵是 设 ，它关于基 的坐标是 ,而 的坐标是 那么

31 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 引理 设V是数域F上一个n 维向量空间， 是V的一个基，那么对于V 中任意 n个向量 ，有且仅有 V 的一个线性变换σ，使得: 证 设 是V中任意向量.我们如下地定义V到自身的一个映射σ：

32 我们证明，σ是V的一个线性变换。设 那么 于是 设 那么

33 这就证明了σ是V的一个线性变换。线性变换σ显然满足定理所要求的条件：
那么对于任意 从而 ■

34 定理 设V 是数域 F 上一个n 维向量空间， 是V 的一个基，对于V 的每一个线性变换σ，令σ关于基 的矩阵A与它对应，这样就得到V 的全体线性变换所成的集合 L（V）到F上全体n 阶矩阵所成的集合 的一个双射，并且如果 ,而 ， 则 (3) (4) 证 设线性变换σ关于基 的矩阵是A。那么 是 的一个映射。

35 反过来，设 是F上任意一个n阶矩阵。令 由引理7.3.2，存在唯一的 使 显然σ关于基 的矩阵就是A. 这就证明了如上建立的映射是 的双射.

36 设 我们有 由于σ是线性变换, 所以 因此 所以στ关于基 的矩阵就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是显然的。□

37 推论7.3.4 设数域F上n 维向量空间V 的一个线性变换σ关于V 的一个取定的基的矩阵是A，那么σ可逆必要且只要A可逆，并且 关于这个基的矩阵就是 .
证 设σ可逆。令 关于所取定的基的矩阵是B。由（7）， 然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I .所以AB = I . 同理 BA = I . 所以

38 注意到（5），可以看出 同理 所以σ有逆，而 □
反过来，设 而A可逆。由定理7.3.3，有 于是 我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意义加以说明: 1. 取定n 维向量空间V的一个基之后, 在映射: 之下, (作为线性空间)

39 研究一个抽象的线性变换σ, 就可以转化为研究一个具体的矩阵. 也就是说, 线性变换就是矩阵
研究一个抽象的线性变换σ, 就可以转化为研究一个具体的矩阵. 也就是说, 线性变换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵. 2. 我们知道, 数域F上一个n 维向量空间V 同构于 , V上的线性变换 转化为 上一个具体的变换: 也就是说, 线性变换都具有上述形式.

40 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵 ——相似矩阵 定义：设 A，B 是数域 F 上两个 n 阶矩阵. 如果存在F上一个 n 阶可逆矩阵 T 使等式 成立，那么就说B与A相似，记作： n阶矩阵的相似关系具有下列性质： 1. 自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为 2. 对称性：如果 ，那么 ； 因为由

41 3. 传递性：如果 且 那么 事实上，由 得 设线性变换σ关于基 的矩阵是 A , σ关于基 的矩阵是 B , 由基 到基 的过渡矩阵T, 即:

42 定理 在上述假设下, 有: 即: 线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 反过来, 一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的矩阵. 证明留做练习

43 7.4 不变子空间 一、内容分布 7.4.1 定义与基本例子 二、教学目的
7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简 7.4.3 进一步的例子 二、教学目的 1．掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间方法． 2．会求给定线性变换的一些不变子空间． 三、重点难点 验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给定线性变换的一些不变子空间。

44 7.4.1 定义与基本例子 令V是数域F上一个向量空间,σ是V的一个线性变换.
定义 V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变, 如果 如果子空间W在σ之下不变，那么W就叫做σ的一个不变子空间. 注意:子空间W在线性变换σ之下不变,指 , 即: 并不能说:

45 例1 V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变.
例2 令σ是V的一个线性变换，那么σ的核Ker(σ)的像Im(σ)之下不变. 例3 V的任意子空间在任意位似变换之下不变. 例4 令σ是 中以某一过原点的直线L为轴，旋转一个角θ的旋转，那么旋转轴L是σ的一个一维不变子空间，而过原点与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间.

46 例5 令F [x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空间， 是求导数运对于每一自然数n，令 表示一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间. 那么 在σ不变.
设W是线性变换σ的一个不变子空间.只考虑σ在W上的作用，就得到子空间E本身的一个线性变换，称为σ在W上的限制，并且记作 这样，对于任意 然而如果 那么 没有意义。

47 7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简 　　设V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。假设σ有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基 再补充成V的一个基 由于W在σ之下不变，所以 仍在W内，因而可以由W的基 线性表示。我们有：

48 因此，σ关于这个基的矩阵有形状 这里 是 关于W的基 的矩阵， 而A中左下方的O表示一个 零矩阵.

49 由此可见，如果线性变换σ有一个非平凡不变子空间，那么适当选取V的基，可以使与σ对应的矩阵中有一些元素是零。特别，如果V可以写成两个非平凡子空间的 直和： 那么选取 的一个基 和 的一个基 凑成V的一个基 当 都在σ之下不变时，容易看出，σ关于这样选取的基的矩阵是 这里 是一个r阶矩阵,它是 关于基

50 的矩阵，而 是 n–r阶矩阵，它是 关于基 的矩阵。
　　一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间 的直和，并且每一子空间都在线性变换σ之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成V的一个基，σ关于这个基的矩阵就有形状 这里 关于所取的 的基的矩阵.

51 例6 令 σ 是例4所给出的 的线性变换. 显然 是一维子空间L与二维子空间H的直和，而L与H在 σ 之下不变
例6 令 σ 是例4所给出的 的线性变换. 显然 是一维子空间L与二维子空间H的直和，而L与H在 σ 之下不变. 取L的一个非零向量 ，取 H 的两个彼此正交的单位长度向量 那么 是 的一个基，而σ关于这个基的矩阵是

52 7.4.3 进一步的例子 例7 如果 ，那么 证： 1. 任取 2. 任取

53 例8 如果 ，那么对任何 证： ，那么 例9 判定下列子空间在给定的σ 下是否为不变子空间 （1）

54 （2） （3） （4） 解 (1) 是. (2) 否. (3) 是. (4) 否.

55 例10 σ是V上一个线性变换，W 是 生成的子空间： . 则.
证： 必要性：W中不变子空间， 充分性：如果 是包含 的最小子空间，

56 例11 设σ是V上的线性变换，α是V上的非零向量，且
线性无关，但 线性相关. 那么 是包含α的最小不变子空间. 证 (1) 线性表出,因此 这样， 的生成元在σ下的象 全部属 于 所以 是一个σ不变子空间

57 （2）对任何包含α的不变子空间W， 故 ， 即 包含W的一个最小子空间. 例12 设 是V的一给基,σ在 下的矩阵为 求包含 的最小子空间.

58 解 算 的坐标为（用“( )”表示取坐标） 中线性无关

59 的坐标排成的行列式为：

60 因此 是包含 的最小子空间. 注意到 与 是等价向量组，因此

61 7.5 特征值与特征向量

62 一.内容分布 7.5.1 引例 7.5.2 矩阵特征值和特征向量的定义 7.5.3 特征值和特征向量的计算方法 7.5.4 矩阵特征值和特征向量的性质 小结 二.教学目的 1.理解特征值和特征向量的概念 2.熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法 3.掌握特征值与特征向量的一些常用性质 三.重点难点 矩阵的特征值和特征向量的求法及性质

63 7.5.1 引例 在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.
是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位). 例 发展与环境问题已成为21世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设 是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测 量单位)， 若干年后(例如5年后)的污染水平和工业发展水平分别为 和 它们之间的关系为 写成矩阵形式，就是

64 由上例我们发现，矩阵A乘以向量 恰好等于 的4倍，倍数4及向量 即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特征向量.
记 即(2)式可写成 设当前的 ，则 即 ，由此可以预测若干年后的污染水平与工业发 展水平。 由上例我们发现，矩阵A乘以向量 恰好等于 的4倍，倍数4及向量 即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特征向量.

65 7.5.2 特征值和特征向量的定义 定义1：设A是一个n阶矩阵，λ是 F 中的一个数，如果存在 V 中非零向量α ，使得
那么称λ为矩阵A的一个特征值，α称为A属于特征值λ的特征向量. 例 注1：α是A的属于λ的特征向量，则 ，cα也是A的属于λ的特 征向量 因 解: 所以4是 的一个特征值， 是A的属于4的特征向量. 又 故 也是A的属于4的特征向量.

66 √ 练习1 (2) 解： A. C. (1) 如果向量 是矩阵 的特征向量， 则k = __________ B. D. 2 (1) 解：
(2) 解： A. C. (1) 如果向量 是矩阵 的特征向量， 则k = __________ B. D. 2 (1) 解： (2) 设 ，下列向量中可以成为A的 特征向量的是（ ） A. B. C. D. √

67 7.5.3 特征值和特征向量的计算方法 使 λ是A的特征值 有非零解 注2： λ是A的特征值 λ是方程 的根 . α是A属于λ的特征向量 且
的非零解。 注3：α是A属于λ的特征向量 是 的非零解。

68 定义2： 称为A的特征多项式。 称为A的特征方程， 称为A的特征矩阵。

69 例1 设 ，求A的全部特征值、特征的量。 解： A的特征多项式为 A的特征值为 对于 解 即 由于 得基础解系 A的对应于 的全部特征向量为

70 对于 解 即 由于 得基础解系 A的对应于 的全部特征向量为

71 注4：A的特征向量有无穷多个，分为两大类：
一类为 一类为 问题1：同类的两个特征向量的线性相关性如何？ 问题2：不同类的任两个特征向量的线性相关性如何？

72 求A的全部特征值和特征向量的方法： 1. 计算特征多项式 2. 求特征方程 的所有根， 即得A的全部特征值 3. 对于A的每一个特征值
，求相应的齐次线性方程组 的一个基础解系 ，则A的属于 的全部 特征向量为 （ 不全为零 ） 例2：求矩阵 的特征值和特征向量。

73 解 A的特征多项式 A的特征值为 ， 对于 ，解 得基础解系:

74 A的属于特征值1的全部特征向量为 对于 ，解 得基础解为 A的属于特征值 – 1 的全部特征向量为

75 7.5.4 特征向量和特征值的性质 性质1 有相同的特征值 性质2 A的属于不同特征值的特征向量线性无关。 性质3
分析：要证 有相同的特征值 只须证 注意到 性质2 A的属于不同特征值的特征向量线性无关。 性质3 A的主对角线上的元素的和称为A的迹，记作 ，则

76 注意到 （*） （**） 在（*）和（**）中令λ = 0

77 练习：求 的特征值，特征向量。 解： A的特征多项式为 所以A的特征值为 对于 ，解 故A的属于特征值1的全部特征向量为 故A的属于特征值4的全部特征向量为

78 小结 1、定义1：设A是一个n阶矩阵，λ是 F 中的一个数，如果存在 V 中非零向量α ，使得
那么称λ为矩阵A的一个特征值，α称为A属于特征值λ的特征向量. 2、 λ是A的特征值 λ是方程 的根 . 3、 α是A属于λ的特征向量 是 的非零解。 4、求A的全部特征值和特征向量的方法： 1. 计算特征多项式 2. 求特征方程 的所有根， 即得A的全部特征值 3. 对于A的每一个特征值 ，求相应的齐次线性方程组 （ 不全为零 ） 的一个基础解系 ，则A的属于 的全部特征向量 为 5、3个性质。

79 7.6 可以对角化矩阵 一、内容分布 7.6.1 什么是可对角化 7.6.2 本征向量的线性关系 7.6.3 可对角化的判定
矩阵对角化的方法及步骤 二、 教学目的 1．掌握可对角化的定义与判断． 2．熟练掌握矩阵对角化的方法步骤． 三、重点难点 可对角化的判断与计算。

80 7.6.1 什么是可对角化 设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F上一个n阶逆矩阵T，使得 具有对角形式（1） 则说矩阵A可以对角化.

81 　　设σ是数域F上 维向量空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使得σ关于这个基的矩阵具有对角形式(1), 那么说，σ可以对角化.
　　很容易证明, σ可以对角化的充分必要条件是σ有 n个线性无关的本征向量. 这n个线性无关的本征向量显然构成V的基. 因此， 我们需要进一步研究本征向量的线性关系，需要研究在什么条件下σ有 n个线性无关的本征向量.

82 7.6.2 本征向量的线性关系 定理7.6.1 令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果 分别是σ的属于互不相同的特征根 的特征向量，那么 线性无关. 证 我们对n用数学归纳法来证明这个定理 　　当n = 1时，定理成立。因为本征向量不等于零。设n >1并且假设对于n－1来说定理成立。现在设 是σ的两两不同的本征值， 是属于本征值 的本征向量：

83 如果等式 成立，那么以 乘（3）的两端得 另一方面，对（3）式两端施行线性变换σ，注意到等式（2），我们有 （5）式减（4）式得 根据归纳法假设， 线性无关，所以

84 但 两两不同，所以 代入（3），因为 所以 这就证明了 线性无关。□
推论 设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换， 是σ的互不相同的本征值。又设 是属于本征值 的线性无关的本征向量, 那么向量 线性无关. 证 先注意这样一个事实：σ的属于同一本征值λ的本征向量的非零线性组合仍是σ的属于λ的一个本征向量。

85 令 则 现在设存在 F中的数 使得 由上面所说的事实，如果某一 ，则 是σ的属于本征值 的本征向量。因为 互不相同，所以由定理7.6.1，必须所有 即

86 然而 线性无关，所以 即 线性无关。□

87 7.6.3 可对角化的判定 定理 令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如果σ的特征多项式 在F内有n个单根，那么存在V的一个基，使σ就关于这个基的矩阵是对角形式. 证 这时σ的特征多项式 在F [x]内可以分解为线性因式的乘积 ： 且两两不同。对于每一个 选取一个本征向量 由定理7.6.1, 线性无关，因而构成V的一个基, σ关于这个基的矩阵是

88 定理7.6.4 令A是数域F上一个n阶矩阵，如果A的特征多项式 在F内有n个单根，那么存在一个n阶可逆矩阵T， 使
将上面的定理转化成矩阵的语言, 就是: 定理 令A是数域F上一个n阶矩阵，如果A的特征多项式 在F内有n个单根，那么存在一个n阶可逆矩阵T， 使

89 注意：推论7.6.4的条件只是一个n阶矩阵可以对角化的充分条件，但不是必要条件。
定义：设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换，λ是σ的一个特征根，令 　　则有 因而是V的一个子空间. 这个子空间叫做σ的属于特征根λ的特征子空间.

90 现在令V是数域F上一个n维向量空间，而σ是V的一个线性变换，设λ是σ的一个本征值，　是σ的属于本征值λ的本征子空间，取　 的一个基 并且将它扩充为V的基，由7.4，σ关于这个基的矩阵有形如
这里 是一个s阶的单位矩阵。因此，A的特征多项式是

91 由此可见，λ至少是 的一个s重根。 如果线性变换σ的本征值λ是σ的特征多项式 的一个r 重根，那么就说，λ的重数是r 。设λ是σ的一个r 重本征值，而σ的属于本征值λ的本征子空间的维数是s 。由以上的讨论可知： , 即σ的属于本征值λ的本征子空间的维数不能大于λ的重数。

92 定理7.6.5 令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，σ可以用对角化的充分且必要的条件是
(i) σ的特征多项式的根都在F内; (ii) 对于σ的特征多项式的每一根λ ， 特征子空间 的维数等于λ的重数. 证 设条件(i) ，(ii)成立， 令是σ的一切不同的本征值，它们的重数分别是 ，有 在每一个本征子空间 里选取一个基 。

93 由推论7.6.2， 线性无关，因而构成V的一个基，σ关于这个基的矩阵是对角形式：
(6) 反过来，设σ可以对角化，那么V有一个由σ的本征向量所组成的基。适当排列这一组基向量的次序，可以假定这个基是

94 而σ关于这个基的矩阵是对角形（6）。于是σ的特征多项式
因此σ的特征多项式的根 都在F 内，并且 的重数等于 。然而基向量 显然是本征子空间 的线性无关的向量,所以 因此 □

95 将上面的定理转化成矩阵的语言, 就是: 推论 设A是数域F上一个n阶矩阵， A可以对角化的充分必要条件是 (i) A的特征根都在F内; (ii) 对于A的每一特征根λ， 秩 这里S是λ的重数. □ 例 1 矩阵 不能对角化， 因为A的特征根 I 是二重根，而秩（I－A）= 1 .

96 7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤 １．先求出矩阵A的全部特征根. ２．如果A的特征根都在F内，那么对于每一特征根λ，求出齐次线形方程组
矩阵对角化的方法及步骤 １．先求出矩阵A的全部特征根. ２．如果A的特征根都在F内，那么对于每一特征根λ，求出齐次线形方程组 的一个基础解系. ３．如果对于每一特征根 λ 来说，相应的齐次线形方程组的基础解系所含解向量的个数等于λ的

97 重数，那么A可对角化，以这些解向量为列，作一个n 阶矩阵T ，由定理7. 6
重数，那么A可对角化，以这些解向量为列，作一个n 阶矩阵T ，由定理7.6.5的证明可知，T 的列向量线形无关，因而是一个可逆矩阵，并且 是对角形矩阵. 例 2 矩阵 的特征多项式是 特征根是 2，2，－4.

98 对于特征根－4，求出齐次线性方程组 的一个基础系 对于特征根 2，求出齐次线性方程组 的一个基础解系

99 由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特征根的重数，所以A可以对角化. 取
那么