§3.2 导数基本公式与求导运算法则 一、导数基本公式 二、四则运算求导法则 三、反函数的求导法则 四、复合函数求导法则

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1 §3.2 导数基本公式与求导运算法则 一、导数基本公式 二、四则运算求导法则 三、反函数的求导法则 四、复合函数求导法则 五、初等函数的求导问题

2 一、导数基本公式 例1. 求函数 (常数)的导数. 解 常数的导数等于零

3 例2. 求函数 的导数. 解

4 例3. 求指数函数 的导数. 解

5 例4. 设 求 解 特别地,

6 例5. 设 求 解 类似得,

7 二、四则运算的求导法则 [u(x)v(x)]=u(x)v(x)
定理1 如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数 并且 [u(x)v(x)]=u(x)v(x) >>> [u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x) >>> 下页

8 证毕.

9 (uvw) =uvw+uvw+uvw
求导法则 求导法则的推广 (uvw)=uvw (uvw) =uvw+uvw+uvw 特殊情况 (Cu)=Cu 例1 y=2x 3-5x 2+3x-7 求y 解 y=(2x 3-5x 2+3x-7) =(2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7) =2(x 3)-5(x 2)+3(x) =2·3x 2-5·2x+3 =6x 2-10x+3 下页

10 例3 y=ex (sin x+cos x) 求y
求导法则 例2  解 例3 y=ex (sin x+cos x) 求y 解 y=(ex)(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x) = e x (sin x+cos x) +e x (cos x -sin x) =2excos x 下页

11 求导法则 例4 ysec x 求y 解 用类似方法还可求得 (cot x)=-csc2x (csc x)=-csc x cot x 

12 三、反函数的求导法则 定理2 如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f (y)0 那么它的反函数yf 1(x)在对应区间Ixf(Iy)内也可导 并且 由于xf(y)可导(从而连续) 所以xf(y)的反函数yf 1(x)连续 简要证明 当x0时 y0 所以 下页

13 反函数的求导法则: 例5 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以 例6 求(arctan x)及(arccot x) 解 因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以

14 四、复合函数的求导法则 例7. 猜想： 解： 事实上

15 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yf[g(x)]在点x可导 且其导数为
定理3 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yf[g(x)]在点x可导 且其导数为 简要证明 假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数 则Du0 此时有 下页

16 复合函数的求导法则: 例8 解 下页

17 复合函数的求导法则: 例9 解

18 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设yf(u) u(v) v(x) 则
复合函数的求导法则: 例10 解 例11 解 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设yf(u) u(v) v(x) 则 下页

19 复合函数的求导法则: 例12 解 例13 解

20 基本求导法则 函数的和、差、积、商的求导法则 (1) (u  v)=u  v (2) (Cu)=Cu (C是常数) 
(3) (uv)=uv+u v 反函数求导法 复合函数的求导法则 下页

21 五、基本求导法则与导数公式 基本初等函数的导数公式 (1) (C)0 (2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x (8) (csc x)csc xcot x (9) (a x)a x ln a (10) (e x)ex 下页

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23 例15 求双曲正弦sh x与双曲余弦ch x的导数.
解 即 (sh x)ch x 类似地 有 (ch x)sh x 例16 求双曲正切th x的导数. 解 下页

24 例17 求反双曲正弦arsh x的导数. 解 例18 ysin nxsinn x (n为常数) 求y 解 y (sin nx)sinn x +sin nx(sinn x) ncos nx sinn x +sin nx nsinn1x (sin x) ncos nxsinn x+n sinn1xcos x n sinn1xsin(n+1)x