2．9　 正弦函数、余弦函数的图象和性质(三) 一、素质教育目标 (一)知识教育点 复习三角函数线，正弦函数和余弦函数的图象和性质．

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1 2．9　 正弦函数、余弦函数的图象和性质(三) 一、素质教育目标 (一)知识教育点 复习三角函数线，正弦函数和余弦函数的图象和性质． (二)能力训练点 三角函数线，正弦函数和余弦函数图象和性质的应用． (三)德育渗透点 通过复习、练习、小结的过程，培养学生认真的学习态度和科学的学习方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：正弦函数和余弦函数的图象和性质及其应用． 2．教学难点：周期函数的概念． 3．教学疑点：周期函数是否一定有最小正周期．

2 三、课时安排 本课题安排1课时． 四、教与学课程设计 (一)复习三角函数线，正弦函数和余弦函数的图象和性质． 师：指出正弦线、余函线、正切线(师用幻灯打出单位圆及三角函数线)． 生：MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线． 师：说出正弦函数和余弦函数的性质(师用幻灯打出正弦函数和余弦函数的图象) 生： (1)定义域都是x∈R， (2)值域都是[-1，1]．

3 函数y=cosx在x=2kπ，k∈Z时取最大值x=1；在x=(2k+1)π，k∈Z时取最小值y=-1．
(3)周期性 正弦函数y=sinx，x∈R和余弦函数y=cosx，x∈R都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都是2π． (4)奇偶性 正弦函数y=sinx，x∈R是奇函数，余弦函数y=cosx，x∈R是偶函数． 正弦曲线关于坐标原点0对称，余弦曲线关于y轴对称． (5)单调性

4 余弦函数y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)上都从-1增大到1，是增函数；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π]，(k∈Z)上都从1减小到-1，是减函数．
师：回答正确，现在请大家做下列练习． (二)练习与讲评 1．求下列各函数的定义域：

5 说明：利用正弦函数的图象求定义域，如有必要，就画出简图．

6 说明：利用余弦函数的值域-1≤cosx≤1，可求出y的取值范围．
3．在一个周期函数的所有周期中，是不是一定存在着一个最小的正数？如果不一定存在，请举一反例；如果一定存在，请证明之． 解：不一定存在．例如，常数函数f(x)=c(c为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是c，即对于函数f(x)定义域中的每一个值x，都有f(x+T)=c，因此f(x)是周期函数．由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．所以不一定存在最小的正数． 说明：本题说明，周期函数不一定有最小正周期． 4．证明函数y=sinx，x∈R的最小正周期是2π． 证明：∵　 sin(x+2π)=sinx，∴　 2π是y=sinx，x∈R的一个正周期． 设0＜T＜2π是y=sinx，x∈R的周期，那么根据周期函数的定

7 即cos T=1．这与T∈(0，2π)时，cosT＜1矛盾，即没有比2π更小的正周期．
∴　 2π是y=sinx，x∈R的最小正周期． 说明：本题用反证法证明y=sinx，x∈R的最小正周期是2π，同理可证，y=cosx，x∈R的最小正周期是2π． (2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个最大值M与一个最小值m．

8 (2)使函数f(x)至少有一个最大值M与一个最小值m的区间是函数f(x)
(2)当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个最大值M与一个最小值m，等价于最小正周期 T≤1． 6．求函数y=sin2x-4sinx的最值，并求出该函数取得最值时所对应的x值． 解：y=(sin2x-4sinx+4)-4=(sinx-2)2-4．

9 说明：(1)本题是正弦函数的最值与二次函数最值的综合，令sinx=t，则变为二次函数y=t2-4t(-1≤t≤1)的最值问题．
(2)若加上条件x∈[0，π]，则变为二次函数y=t2-4t(0≤t≤1)的最值问题． (三)总结 本节课我们重点复习了正弦函数和余弦函数的图象和性质，通过六道练习，由浅入深，培养分析问题和解决问题的能力． 五、作业 P．192中8、9、10、11． 六、板书设计 (一)复习三角函数线，正弦函数和余弦函数的图象和性质 (二)练习与讲评 七、参考资料 《三点一测丛书》