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18.2.3正方形的性质(1) 达连河镇第一中学：汪多敏
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创设情景一 菱形 有一个角是 直角 正方形 正方形 ★正方形是特殊的菱形
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★ 正方形是特殊的矩形 问题: 情景二 图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD A B C D C D A B 问题: 图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？ 当CD移动到CD位置，此时AD＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？ ★ 正方形是特殊的矩形
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一、正方形的定义： 由正方形的定义可知： 有一个角是直角 _______________的菱形是正方形 有一组邻边相等
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 由正方形的定义可知： 有一个角是直角 _______________的菱形是正方形 有一组邻边相等 _______________的矩形是正方形
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完成下图： 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
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二、正方形的性质: 四条边都相等且对边平行; 1、边： 2. 角: 四个角都是直角;
特殊的平行四边形 特殊的矩形 特殊的菱形 四条边都相等且对边平行; 1、边： 2. 角: 四个角都是直角; 两条对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角. 3.对角线:
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(C) O A B C D (B) (D) (A) 4、既是轴对称图形也是中心对称图形 有四条对称轴
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归纳： 对称性 特征 (C) O A B C D (B) 正方形是中心对称图形,对称中心为点O 它也是轴对称图形,有4条对称轴 (D)
(1)它具有平行四边形的一切性质 两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分 (2)具有矩形的一切性质 四个角都是直角，对角线相等 (3)具有菱形的一切性质 四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
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已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗?
例4 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. A D C B O 已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗? 求证:△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形. 第一步:根据题意画出图形 第二步:写出已知 第三步：写出求证 第四步:进行证明 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO 分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.
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尝试练习： 1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分 C、对角互补. D、对角线相等.
1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分 C、对角互补. D、对角线相等. 2、正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等. D
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4 2 3.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为 4、正方形对角线长6 ，则它的面积为 ，周长为 。 36 24
4、正方形对角线长6 ，则它的面积为 ，周长为 。 36 24 5、正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，则DE的长为 2 A B C D O E
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A B C D F E 6.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE， 则∠DEC= 度。 30
7.如图，已知正方形ABCD内有一个△BEF，AB=6，AF︰FD=1︰2，E为DC的中点，则△BEF的面积= 。 15 A B C D F E ⑹ （7)
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8.如图，正方形ABCD的对角线的长为10，M是AB边上的一点，且ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF= .
5 9、正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF =8cm，则AC=________. 16cm M A B C D E F O F E M C B A D O
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10.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是多少？
E 证△D0E≌△C0F(ASA) F
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11.已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，M、N在OB和OC上，且MN∥BC，连结DN、MC，试猜想DN与MC有什么关系？并证明你的猜想。
证明： ∵四边形ABCD是正方形 ∴OC＝OD , ∠COD=∠COB=90° ∠1＝∠BCO＝45° ⌒ 2 （2）由△COM≌△DON得∠2=∠3 3 1 ⌒ ⌒ H 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝ ∠BCO＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON 又∠3+∠CMO=90° ∴∠2+∠CMO=90° ∴∠DHM=90° ∴△COM≌△DON(SAS) ∴DN⊥MC ∴DN＝MC
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12、如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG。 （1）求证：AE=CG （2）观察图形，猜想AE与CG的位置
关系，并证明你的猜想。 A B D E C G F (1)证△ADE≌△CDG(SAS) (2)AE⊥CG
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13.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EF
证明： 连接PB ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=90°,AD=AB, ∠DAP=∠BAP=45° 又∵AP=AP ∴∠PEB=∠PFB=90° ∴△ADE≌△CDG(SAS) ∴四边形PECF是矩形 ∴PD=PB ∴PB=EF 又∵PE⊥AB ， PF⊥BC ∴PD=EF
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14.在正方形ABCD中，P为BC边上一点，Q为CD边上一点，如果PQ=BP+DQ，求∠PAQ的度数.
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15.如图，四边形ABCD为正方形,EB∥AC，EC=AC，E在FB上，求∠ECB的度数。
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3n-1 长见识 多 多 多 数一数图中正方形的个数，你发现了什么？ 第n个图中正方形有 个 第十九章 四边形
第十九章 四边形 长见识 数一数图中正方形的个数，你发现了什么？ （ ）个（ ）个 （ ）个 （ ）个 多 多 多 3n-1 第n个图中正方形有 个
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19.2.3正方形 【例1】已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O.
（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F.求证：OE=OF. （2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. 图1 A B C D 图2
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19.2.3正方形 【解析】（1）要证明OE=OF，只需证明△BOE≌△AOF，要证△BOE≌△AOF，利用正方形性质即可；
第（2）问和第（1）问图形虽然有所变化，但实质一样，也可通过证△BOE≌△AOF，从而得到OE=OF. 图3 【例2】已知：如图3，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点 求证：四边形PQMN是正方形.
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19.2.3正方形 【答案】证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1， ∴PN∥QM，∠PNM=90° ∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角） ∴∠1+∠2=90°，又∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3 ∴△ABM≌△DAN ∴AM=DN 同理 AN=DP ∴AM+AN=DN+DP 即MN=PN. ∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）
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