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暢談圓周率 講者:梁子傑 香港道教聯合會青松中學 演出日期: 1. 2000年4月11日:喇沙書院
年4月11日:喇沙書院 年4月19日:順德聯誼總會譚伯羽中學 年5月16日:何福堂中學 年5月31日:上水官立中學
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甚麼是圓周率? 圓周率是圓周與直徑之比 習慣以 表示圓周率 3.14、3.1416、22/7 圓周率有何重要?
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的應用 圓周公式: C = 2r 圓面積公式: A = r 2
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的應用 球體面積公式: A = 4r 2 球體體積公式: V = r 3
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符號 的起源 1632 年,英國數學家奧特雷德(William Oughtred, 1574 1660)首先以 “/” 來表示圓周率。 希臘文中,圓周為 “”,直徑為 “”。 1736 年以後,瑞士數學家歐拉開始提倡以 “” 表示圓周率。 到了今天, “” 已經成為圓周率的「代號」了。
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實驗及直觀時期 古時,人類對圓周率祇有一個粗略的概念。 值的計算多憑直觀或量度而得。
《舊約聖經.列王紀上卷》第 7 章第 23 節有以下的記載: 「他(指所羅門王)又鑄造了一個銅海,樣式是圓的,高五肘,徑十肘,圍三十肘。」 換句話說,當時的人認為 = 3。 肘:〔音爪〕
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實驗及直觀時期 在中國,在漢代以前,人們亦都認為 = 3。 約於公元前一世紀寫成的《周髀算經》中,就有「圓徑一而周三」的說法。
後漢的天文學家張衡(78 139)認為圓周率為 92/29 。 髀:〔音比〕 同時也用 10 表示圓周率。
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幾何法時期 阿基米德(Archimedes, 287 B.C. 212 B.C.) 阿基米德利用了幾何方法,計算出以下結果:
阿基米德的方法與劉徽的差不多,故在講座上祇介紹劉徽的方法。 即 < < 或 3.14。
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割圓術 劉徽(生於公元三世紀) 三國魏晉時代人。 中國古代傑出的數學家。 魏景元四年(即 263 年)為古籍《九章算術》作注釋。
在書中,他提出了一個計算圓周率的方法。我們稱這方法為「割圓術」。 魏景元為魏朝最後的一個年號,當時的皇帝是曹奐,號魏元帝。
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割圓術 先作一個半徑為 1 單位的圓。 然後作內接正六邊形。
由此逐步算出 2n 6 內接正多邊形的周界。(n = 1 , 2 , 3 , …) 劉徽認為:「割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓合體而無所失矣!」 劉徽的方法(阿基米德的方法亦同,)其實亦有上、下限的概念,但在講座中將不會談及。 彌:〔音尼〕 劉徽一直計算到 96 邊形的周界,得 3.14 的結果。
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祖沖之 祖沖之(429 500) 中國南北朝時代的數學家、天文學家、文學家和工程師。
他應用劉徽的「割圓術」,算出圓周率小數點後七位的正確數值。
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《隋書.律曆志》 「宋末,南徐州從事史祖沖之更開密法,以圓徑一億為一丈,圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正數在盈朒二限之間。密率:圓徑一百一十三,圓周三百五十五。約率:圓徑七,圓周二十二。」 祖沖之的方法已失傳,故無法知道他使用那個內接多邊而求得上述結果。 「宋末」指南朝的宋朝。南朝為「宋齊梁陳」。 朒:〔挪玉切〕〔nuk9〕 參考音:服〔fuk9〕 < < 密率: 約率:
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祖沖之的成就 祖沖之計算出的圓周率精密度相當高,之後的九百多年中,世上再沒有人能夠計算出更佳的圓周率結果。
可惜在《隋書.律曆志》卻有以下記載: 「指要精密,算氏之最者也。所著之書,名為《綴術》,學官莫能究其深奧,是故廢而不理。」 《綴術》一書經已失傳! 有說《綴術》一書可能流傳往日本,或者會從日本的古籍中找到,但希望和機會不大了。
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艾爾卡西 艾爾卡西(Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi, 約 1380 1429)
中亞細亞地區的天文學家、數學家。 於撒馬爾罕天文台工作。 1424 年,發表了圓周率的 17 位準確數字。 他生於卡尚,今伊朗德黑德南部的城巿。 撒馬爾干天文台位於今烏茲別克境內東南部,一個以回教建立的城巿,一個美麗的古城。
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范柯倫 范柯倫(Ludolph van Ceulon, 1540 1610) 德國人,但長期居於荷蘭。
1610 年,算出有 35 位的 值。 德語中,圓周率被為 “Ludolphsche Zahl”。
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分析法時期 1671 年,蘇格蘭數學家格雷哥里(James Gregory, 1638 1675)發表了以下數式:
1674 年,德國數學家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 1716)將 1 代入 x 得: 韋達、華理斯、萊布尼茲三位的數式都有一個共同的缺點:就是收歛的速度非常之慢。 格雷哥里公式的證明可參考《Breakthrough Pure Mathematics Calculus and Coordinate Geometry》2nd Edition, p.415
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一百位小數 1706 年,英國數學家梅欽(John Machin, 1680 1751)建立了一個重要公式:
利用此式,再加上前面的「格雷哥里公式」,他計算出圓周率小數點後一百位的數值。 梅欽的譯音很多,其中有書譯成「馬信」或「馬陵」。 欽:〔音音〕 令 A = tan-1(1/5),從而 tan A = 1/5, 則 tan2A = (2 tan A)/(1 - tan2A) = 5/12。又,類似地,tan4A = 120/119。 設 B = 4A - , 則 tan B = tan(4A - ) = ((120/119) - 1)/(1 + (120/119)) = 1/239。 由此得 = 4A - B = 4 tan-1(1/5) - tan-1(1/239)。 參考自:《數學的猜想與發現》溫光編著,地質出版社 = … …
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歐拉 歐拉(Leonhard Euler, 1707 - 1783) 瑞士數學家。 “” 符號的倡議者。
13歲入大學,17歲取得碩士學位,30歲右眼失明,60歲完全失明。
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歐拉公式 2/6 那公式的證明,可見《天才之旅》一書。 公式參考自《神奇的 》布拉特納著,商周出版
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計算機時期 1949 年 美國 ENIAC 電腦計算 到 2037 位小數
1961 年 IBM 7090 型電腦把 計算到 位小數 1967 年 CDC 6600 型電腦把 計算到 50 萬位小數 1973 年 計算到 100 萬位小數 1983 年 已算到 8,388,608 位小數 1987 年 2936 萬位小數 1990 年 楚諾維斯基兄弟(The Chudnovsky Brothers)計算出 10 億位小數 1997 年 安正金田等人計算至 510 億位小數 今天 計算仍然繼續……
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的一個重要性質 蘭伯特(Johann Heinrich Lambert, 1728 1777) 原籍瑞士的德國數學家
1761 年,他證明了 不能表示成分數,即 不是一個有理數。 是一個無理數。 證明見香港大學入學試1978年題目。 或《Introduction to Elementary Calculus》Third Edition, Hsieh Shin Ru, p.276, Ex9.129
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無處不在的 高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855) 德國數學家。
計算出統計學上「正態分佈」曲線的公式。 公式證明見《Applied Statistical handbook》Second Edition by W.K.Chu, Educational Publishing House Ltd., pp.64-6
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蒲豐拋針 蒲豐(Comte de Buffon, 1707 1788) 法國數學家。
在 1777 年刊行的《或然算術試驗》一書中,導入了一條著名的問題。
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蒲豐拋針 設在一個水平面上,畫一些距離相等的平行線。設該距離為 a。
那麼這根小針能和某一直線相交的概率是多少? 公式證明見《概率萬花筒》蕭文強、林建合著,廣角鏡出版社,46及47頁 或《的今昔》寧挺,福建教育出版社,58至60頁
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蒲豐拋針 資料來自《概率萬花筒》蕭文強、林建合著,廣角鏡出版社,第5頁及《的今昔》寧挺,福建教育出版社,第60頁
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完
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