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概率论 Probability
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第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 二维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征
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随机事件及其概率 第一章 随机事件 随机事件的概率 随机事件的公理化定义及其性质 条件概率和乘法公式 全概率公式与Bayes公式
试验的独立性与独立试验概型
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什么是概率论 确定性现象 Certainty phenomena 随机现象 Random phenomena
100℃时必然沸腾 垂直上抛一重物，该重物会垂直下落 随机现象 Random phenomena 掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点 抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上 两种不同的结果 概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科
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随机试验 Random Experiments
试验在相同的条件下可重复进行 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可 以确定试验的所有可能结果 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果． 实例 上抛一枚硬币 在一条生产线上，检测产品的等级情况 向一目标射击
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随机事件 random Events 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(random Events )，简称事件（Events)． 随机事件通常用大写英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示． 例如： 在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一 个随机事件，可用Ａ＝｛正面向上｝表示． 掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，试验结果为2，4或6点，都导致“出现偶数点”发生。
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基本事件与样本空间 样本点 Sample Point 随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个 样本点 ，记作 ．
随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个 样本点 ，记作 ． 样本空间 Sample Space 全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作Ω．即 基本事件 仅含一个样本点的随机事件称为基本事件． 含有多个样本点的随机事件称为复合事件．
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写出下列试验的样本空间 E1: 掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数 E2: 射手向一目标射击，直到击中目标为止
Ω={1，2，3，4，5，6} 点数：一维离散型随机变量 E2: 射手向一目标射击，直到击中目标为止 Ω={1,2,…} 射击次数：一维离散型随机变量 E3: 从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张。 Ω={(J,Q),…(Q,A)} 二维离散型随机变量 E4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命 Ω={ｔ| 0≤ｔ≤ T} 寿命：一维连续型随机变量
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随机事件（Random Events) 在随机试验中，随机事件一般是由若干个基本事件组成的．
例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现1点”、“出现2点”、...、“出现6 点”为该试验的基本事件． A =｛出现奇数点｝是由三个基本事件 “出现1点”、“出现3点” 、 “出现5 点” 组合而成的随机事件． 样本空间Ω的任一子集A称为随机事件 属于事件A的样本点出现，则称事件A发生。
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特例—必然事件Certainty Events
——记作Ω 样本空间Ω也是其自身的一个子集 Ω也是一个“随机”事件 每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现 必然发生 例 “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为 必然事件。
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特例—不可能事件Impossible Event
——记作Φ 空集Φ也是样本空间的一个子集 Φ也是一个特殊的“随机”事件 不包含任何样本点 不可能发生 例 “抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”是 不可能事件
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随机试验：抛掷硬币 Tossing a coin 随机试验 掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况 试验的样本点和基本事件
H：“正面向上” T ：“反面向上” 样本空间 Ω={H，T}．
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随机事件 试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况 Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} A=“正面出现两次” ={HHT,HTH,THH} B=“反面出现三次” ={TTT} C=“正反次数相等” = Φ D=“正反次数不等” =Ω
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随机试验：抛掷两颗骰子 Rolling two die 随机试验 抛掷两颗骰子，观察出现的点数 试验的样本点和基本事件 样本空间
Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．
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随机事件 试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数 A=“点数之和等于3” ={（1，2），（2，1）} B=“点数之和大于11” ={6，6} C=“点数之和不小于2” =Ω = Φ D=“点数之和大于12”
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事件的关系与运算 给定一个随机试验，设Ω为其样本空间，事件Ａ，Ｂ，Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是Ω的子集． 事件
事件之间的关系与事件的运算 集合 集合之间的关系与集合的运算 给定一个随机试验，设Ω为其样本空间，事件Ａ，Ｂ，Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是Ω的子集．
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子事件 (事件的包含Contain ） 事件Ａ是事件Ｂ的子事件 事件Ａ发生必然导致事件Ｂ发生 事件Ａ的样本点都是事件Ｂ的样本点 B A 记作
例如 抛掷两颗骰子，观察出现的点数 A={出现1点} B={出现奇数点}
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相等事件（Equal） A=B B A 事件A与事件B含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”
与事件“出现2，4或6点”是相等事件。
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和事件 Union 和事件A∪B发生 A发生或B发生 事件A与事件B至少有一个发生 由事件A与事件B所有样本点组成 多个事件的和
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积事件Intersection 积事件AB发生 事件Ａ和事件Ｂ同时发生 由事件Ａ和事件Ｂ的公共样本点组成 ＡＢ Ａ∩Ｂ 多个事件的积
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互斥事件 (互不相容事件) Exclusive
事件A与事件B互斥 AB=Φ 事件A与事件B不能同时发生 事件A与事件B没有公共的样本点
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对立事件 Contrary 事件A不发生 是由所有不属于A的样本点组成 记作 性质
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差事件 Difference 差事件A-B发生 事件A发生且事件B不发生 由属于事件A但不属于事件B的样本点组成 Ａ－Ｂ 性质
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完备事件组 完备事件组
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小 结 概率论 集合论 样本空间（必然事件） Ω 全集 不可能事件 Φ 空集Φ 子事件 A⊂B 子集A⊂B 和事件 A∪B 并集A∪B
小 结 概率论 集合论 样本空间（必然事件） Ω 全集 不可能事件 Φ 空集Φ 子事件 A⊂B 子集A⊂B 和事件 A∪B 并集A∪B 积事件 A∩B 交集A∩B 差事件 A-B 差集A-B 对立事件 补集
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事件之间的运算律 交换律 结合律 分配律 摩根律 Venn图演示集合的关系与运算
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例：复合事件的表示 某射手向目标射击三次，用 表示第 次击中目标 试用 及其运算符表示下列事件： （1） 三次都击中目标：
某射手向目标射击三次，用 表示第 次击中目标 试用 及其运算符表示下列事件： （1） 三次都击中目标： （2） 至少有一次击中目标： （3） 恰好有两次击中目标： （4） 最多击中一次： （5）至少有一次没有击中目标： （6）三次都没有击中目标：
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练一练 A,B,C为同一样本空间的随机事件， 试用A，B，C的运算表示下列事件 1） A，B，C 都不发生 2） A与B发生，C不发生
6） 事件3）的对立事件
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