勾股定理 指導老師: 黃國斌 老師 學生: 許暐祥.

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1 勾股定理 指導老師: 黃國斌 老師 學生: 許暐祥

2 勾股定理的介紹 勾股弦定理或勾股定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢 氏定理。是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由 古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明 了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱 「百牛定理」。在中國，《周髀算經》記載了勾股 弦定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現， 故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀 算經》內的勾股弦定理作出了詳細注釋，又給出了 另外一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及 稱為埃及三角形。 直角邊的平方和等於斜邊的平方和

3 勾股定理的定理 勾股弦定理指出： 直角三角形兩直角邊（即「勾」、「股邊 平方和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。
也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜 邊為c，那麼a2 + b2 = c2只要知道直角三角形 的任意兩條邊，便可計算出第三條邊。 勾股弦定理同時是餘弦定理中的一個特例。 勾股弦定理現約有400種證明方法，是數學定 理中證明方法最多的定理之一。 c a b

4 勾股數組 3.4.5 是一個勾股數組 32 + 42 = 52 ＋144 ＝ ＋576 ＝625 ＋225 ＝289 ＋1600 ＝1681 1.1.22(45度.45度.90度) 2 3

5 勾股定理的證明(1) 有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數 的泰勒級數）來證明勾股弦定理，但是，因為所有 的基本三角恆等式都是建基於勾股弦定理，所以不 能作為勾股弦定理的證明（參見循環論證）。 圖形重新排列法 此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆 為(a + b)2。把四個相等的三角形移除後，左方餘下 面積為a2 + b2，右方餘下面積為c2，兩者相等。證畢。

6 勾股定理的證明(2) 利用相似三角形的證法 勾股弦定理的證明方式，都基於相似三角形中兩邊長的比例。
設ABC為一直角三角形, 直角於角C（看附圖）. 從點C畫上三角 形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和 原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角 （這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A這個共同 角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和 三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係： 因為 所以 可以寫成 綜合兩個方程式，得到 換句話說:

7 勾股定理的證明(3) 歐幾里得的証法 在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股弦定理的以下証明。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊， 使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面 積分別與其餘兩個正方形相等。 在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理： 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩 三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理 3）。 正方形的面積等於其二邊長的乘積。 證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形， 以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

8 勾股定理的證明(3-2) 設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、 L。 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證 B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。因為 AB 和 BD 分別 等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L在同一直線上，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於 △ABD。 因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB²。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC²。 把這兩個結果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC

9 資料來源 維基百科

10 謝謝大家