積分的商業應用 不定積分的商業應用 1. 邊際成本函數  2. 邊際收益函數  3. 邊際利潤函數  4. 若已知 

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1 積分的商業應用 不定積分的商業應用 1. 邊際成本函數  2. 邊際收益函數  3. 邊際利潤函數  4. 若已知 

2 積分的商業應用 例題 1. 求成本 設某產品的邊際成本為 ，若已知生產1件產品的成本是50元，求生產100件時的成本。

3 例題 2. 求收益函數 若銷售某產品的邊際收益函數為 試求(1)總收益函數。 (2)銷售200個單位時的總收入。
積分的商業應用 例題 2. 求收益函數 若銷售某產品的邊際收益函數為 試求(1)總收益函數。 (2)銷售200個單位時的總收入。 (3)銷售從200個到300個單位時增加 的收入 。

4 積分的商業應用 例題 3. 求消費函數 設邊際消費傾向為 且國民所得 時的消費為 ， 求消費函數。

5 定積分的商業應用 1. 消費者剩餘 ： demand function (需求函數)
：the current selling price(目前銷售的價格). the consumer surplus (消費者剩餘,C.S.) ：

6 2. 生產者剩餘 ： supply function (供給函數) ： the current price (目前的價格)
積分的商業應用 2. 生產者剩餘 ： supply function (供給函數) ： the current price (目前的價格) the producer surplus (生產者剩餘, P.S.)

7 積分的商業應用 3. 市場均衡點 Market equilibrium point (市場均衡點): 需求曲線與供給曲線的交點 。

8 積分的商業應用 例題 1. 消費者與生產者剩餘 某商品之需求函數與供給函數分別定義如 下： 當市場供需均衡時，試求消費者與生產者剩餘。

9 積分的商業應用 例題 2. 消費者剩餘 某產品的需求函數為 求需求量為20個單位時的消費者剩餘？

10 積分的商業應用 4. 羅蘭茲曲線與所得分配 經濟學家用來探討社會中所得分配(income distribution)的方法，其理論依據為羅蘭茲曲線(Lorentz curve)。 羅蘭茲曲線： -軸代表累積所得人口的百分比，由最低 所得的人口排列到最高所得的人口 。 -軸代表所得累計之百分比。 設羅蘭茲曲線所對應之函數為 ，則

11 積分的商業應用 羅蘭茲曲線

12 積分的商業應用 羅蘭茲曲線的性質 的定義域為 。 的值域為 。 且 。 對每一個 ， 。 為遞增函數。

13 例題 3. 羅蘭茲曲線 某開發中國家的所得分配以函數表示如下： (1) 試繪出此所得分配函數的羅蘭茲曲線。 (2) 計算 及 並解釋其結果。
積分的商業應用 例題 3. 羅蘭茲曲線 某開發中國家的所得分配以函數表示如下： (1) 試繪出此所得分配函數的羅蘭茲曲線。 (2) 計算 及 並解釋其結果。 解：

14 5. 吉尼集中係數 當羅蘭茲曲線 時，稱為絕對均等線(absolute equality) 。
積分的商業應用 5. 吉尼集中係數 當羅蘭茲曲線 時，稱為絕對均等線(absolute equality) 。 羅蘭茲曲線之不均等係數，或吉尼集中係數(Ginis concentration coefficient) ：均等線與羅蘭茲曲線之間的面積除以均等線下的三角形面積。 當係數愈大，表示所得分配愈不均。

15 例題 4. 羅蘭茲曲線不均等係數 某國家經發會發現該國醫師及電影演員之所得分配以函數表之，分別如下：
積分的商業應用 例題 4. 羅蘭茲曲線不均等係數 某國家經發會發現該國醫師及電影演員之所得分配以函數表之，分別如下： 試計算每一種職業之羅蘭茲曲線不均等係數，又何種職業的所得分配較不均等?

16 機率的應用 1. 機率密度函數 積分的商業應用 ：連續隨機變數(continuous random variable)
為 的機率密度函數(probability density function,p.d.f.) ，若 (1) (2) 在 之間的發生機率為

17 積分的商業應用 機率密度函數

18 積分的商業應用 例題 1. 求機率 令 (1) 證明 是p.d.f. (2) 求

19 積分的商業應用 例題 2. 機率密度函數 若 為一連續隨機變數，且其機率密度函數為 試求 值。

20 2. 累積分配函數 若 為一連續隨機變數，則累積分配函數(cumulative distribution function)定義為
積分的商業應用 2. 累積分配函數 若 為一連續隨機變數，則累積分配函數(cumulative distribution function)定義為 (1) 恆成立。 (2) 為遞增函數。 (3) 且 (4) 為右連續函數，亦即

21 例題3. 均勻分配的累積分配函數 若 為一均勻分配隨機變數(uniform distribution)，則其機率密度函數為 求累積分配函數。
積分的商業應用 例題3. 均勻分配的累積分配函數 若 為一均勻分配隨機變數(uniform distribution)，則其機率密度函數為 求累積分配函數。

22 例題 4. 指數分配的累積分配函數 若 為一指數分配隨機變數(exponential distribution)，則其機率密度函數為
積分的商業應用 例題 4. 指數分配的累積分配函數 若 為一指數分配隨機變數(exponential distribution)，則其機率密度函數為 求累積分配函數。

23 積分的商業應用 3. 期望值 令 為具有機率密度函數 的連續隨機變數，則 的期望值(expected value)或平均數(mean) 為

24 積分的商業應用 例題 5. 均勻分配的期望值 若連續變數 在區間 為一均勻分配隨機變數，則其期望值為何？

25 積分的商業應用 例題 6. 指數分配的期望值 若 為一指數分配隨機變數，且其參數為 ，則其期望值為何？

26 4. 變異數 令 為具有機率密度函數 的連續隨機變數，則 的標準差(standard derivative)或變異數(variance)為
積分的商業應用 4. 變異數 令 為具有機率密度函數 的連續隨機變數，則 的標準差(standard derivative)或變異數(variance)為 註：

27 積分的商業應用 例題 7. 均勻分配的變異數 若連續變數 在區間 為一均勻分配隨機變數，則其變異數為何？

28 積分的商業應用 例題 8. 指數分配的變異數 若 為一指數分配隨機變數，且其參數為 ，則其變異數為何？