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4 線性模型 與矩陣代數
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線性模型與矩陣代數 4.1 矩陣與向量 4.2 矩陣運算 4.3 向量運算 4.4 交換律、結合律與分配律 4.5 單位矩陣與零矩陣
4.6 轉置矩陣與逆矩陣 5
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然而,矩陣代數只用於直線型方程體系。 (缺點)
使用矩陣代數的好處: 可將相當大的方程體系以簡潔形式寫出 可以行列式判斷並測試解存在與否 可得其解(若解存在) 然而,矩陣代數只用於直線型方程體系。 (缺點) 6
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以直線型方程式描述實際經濟關係妥適嗎? 很多情況下,即使因假定線性關係而犧牲某些實際性,只要所假定的直線型模式極接近非直線型的實際關係,則可矣。 在其他情況下,即使保留模型的非直線性,仍可移轉變數,以得直線型關係來處理。 例如 y = a x b 可以兩邊取對數,轉移函數為 log y = log a + b log x 簡言之,在經濟上常採直線型之假定,在某些情況下昰相當合理且可成立的。
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矩陣與向量:聯立方程式 m個線性方程式、n個變數x1,x2,…,xn所構成的系統 (4-1)
稱為線性系統(linear system)或聯立線性方程式。若x1 = s1, x2 = s2,……, xn = sn能滿足聯立方程式(4-1)時,我們稱(s1, s2,…, sn)為聯立方程式(4-1)的解。
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矩陣與向量 以矩陣表示: A x = d
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矩陣與向量 例 可寫為
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矩陣的定義 凡數字、參數或變數之矩形排列。排列中之各項,稱為矩陣之元素(elements),兩邊常以中括號包圍之,如(4.2)式。
由 mn 個實數所構成的 m 列(row) n 行(column)長方形數列,稱為 m n 階(order)矩陣(matrix) A。
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矩陣每元素之位置可以其下標辨識,每個矩陣為一有序的集合。 矩陣之橫列數與縱行數合成矩陣之大小(dimension)。
為簡便計,m n 矩陣常以符號 A = [aij]mn,或更簡 單的[aij]來表示。在矩陣 A 中第 i 列、第 j 行位置的 aij 稱為矩陣 A 的(i, j)元素(element, or entry)。 矩陣每元素之位置可以其下標辨識,每個矩陣為一有序的集合。 矩陣之橫列數與縱行數合成矩陣之大小(dimension)。 例如,矩陣A含有m橫列與n縱行,稱其為m × n 的矩陣。 當m = n時,矩陣稱為正方矩陣(square matrix)。
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矩陣與向量 某些矩陣指含有一縱行,如(4.2)之x 與d。此稱行向量(column vectors)。
若將變數 x i 排成水平的,則得1 × n 矩陣,稱列向量(row vector)。 4-1作業
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4.2 Matrix Operations 1.若矩陣 A = [aij] 與矩陣 B = [bij] 皆為 m n 矩陣,且aij = bij ,1 i m, 1 j n ,則稱矩陣 A 和矩陣 B 相等(equal)。並寫成 A = B。 例
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4.2 Matrix Operations [a ij] + [b ij] =[c ij]而c ij= a ij + b ij
2. 矩陣之相加與相減(addition and subtraction of matrices) 1)可相加條件:兩矩陣有相同的大小(same dimension) 2) A=[a ij] and B=[b ij]之相加定義為求每一對應元素之和 [a ij] + [b ij] =[c ij]而c ij= a ij + b ij [a ij] - [b ij] =[d ij]而d ij= a ij - b ij
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加法運算(matrix addition)
若 A = [aij], B = [bij] 皆為 m n 矩陣,則 A 與 B的和(sum) C = [cij] 亦為 m n 矩陣,且 即 C 是一個由 A 與 B 中相對應的元素相加而得的 m n 矩陣,或寫成 C = A + B。
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4.2 Matrix Operations 例
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4.2 Matrix Operations 3. 與純量相乘:一矩陣與一數相乘,即乘純量(scalar),為該矩陣每一元素乘該純量。例:
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4.2 Matrix Operations 4. 矩陣相乘: 兩矩陣AB相乘必須滿足一項條件,A之行數=B之列數。
若A之大小為m×n,而B之大小為p×q,若且唯若n=p,則可定義矩陣乘積AB。而且乘積大小為m×q。 例:已知ABC3矩陣如下,請問矩陣乘積AB,BA,AC,CA,BC,CB是否可定義?
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乘法運算(matrix multiplication)
若 A = [aij] 為 m n 矩陣,B = [bij] 為 n p 矩陣,則 A 和 B 的乘積(product) C = [bij] 為 m p 矩陣,其中
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若以符號表示,可寫成 C = AB 第 j 行
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4.2 Matrix Operations 2個向量之內乘積(inner product):
已知兩個分別含有n個元素之向量u與v,如(u1, u2,⋯, un)與(v1, v2,⋯, vn)排乘一橫列,一縱行,其內乘積,寫為uv定義為 uv = u1v1+u2v2+ ⋯ +unvn 此為對應元素之乘積和,因此兩向量之內乘積為一純量。 乘積矩陣C = AB之元素cij即可視為前矩陣A之第i橫列與後矩陣B之第j縱列的內乘積。
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4.2 Matrix Operations 5. 矩陣相除:不能寫成A/B 對任兩數a與b,其商a/b(b≠0)可寫成ab-1或b-1a。
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4.2 Matrix Operations 6.Σ(sigma):表示加總的簡寫。例如
讀作:xj之和,而j由1至3,j為加總指標,且只取整數。Xj代表加總各項,它是j的函數。
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4.2 Matrix Operations 可擴及x項前加一數或相加之各項皆給予某一整數指數。例如
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4.2 Matrix Operations (4.6)乘積矩陣C=AB之每一元素定義為各項和,可重寫如下:
將此推及m×n矩陣A與n×p矩陣B兩者乘積C之元素可寫為
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4-2作業
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4.3 Notes on Vector Operations
向量之相乘: m × 1的行向量u與1 × n的列向量 相乘得m × n之乘積矩陣 。 1 × n的列向量 與 n × 1的行向量v相乘,其乘積 之dimension為1×1。 為u的元素之平方和。例如
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4.3 Notes on Vector Operations
向量運算之幾何意義 行(或列)向量運算之幾何解釋:兩者皆指同一序對。為圖形上之一點或一射線(半徑向量,radius vector)。圖4.3(a) 向量與一純量相乘;同一射線只是箭頭之位置改變,除非k=1。(k>1;k<1;0<k<1)圖4.3(b)
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4.3 Notes on Vector Operations
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4.3 Notes on Vector Operations
線型依存: 若且唯若一組向量集合,其中一個向量可表示為其他向量之線型組合,則稱其為線型依存(linearly dependent);否則為線型獨立(linearly independent)。 例 ⇒
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4.3 Notes on Vector Operations
重新定義 若且唯若有一組純量k1,k2,…,k n(非皆為零),使得 則稱集合中之m個向量為線型依存。若此方程式唯有全部k i=0方成立,則這些向量為線型獨立。
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4.3 Notes on Vector Operations
線型依存的幾何意義: 兩向量線型依存,其射線在同一直線上(圖4.3a或b); 兩向量為線型獨立,其射線不在同一直線上(圖4.3c)。 當考慮二維空間,兩個以上向量時,可得一重要結論:於二維空間內,若我們可以找到兩個線型獨立之向量,則在空間內所有其他向量將可表示為此兩向量之線型組合。因而,任3個或更多個2元素向量之集合必為線型依存。
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4.3 Notes on Vector Operations
向量空間 任何兩個線型獨立的向量u與v可編織出二維空間(vector space) , 此稱為二維空間之基底(basis)。 單位向量,[1 0]其圖形為水平軸上之射線,[0 1]則為垂直軸上的射線,因二者為線型獨立,亦可作為構成二維空間的基礎。 基底並不唯一,用單位向量為基底, 有一個方便的好處 可推廣至三維甚至n維空間。
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4-3作業
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4.4 Commutative, Associative, and Distributive Laws
1.加法交換律:A + B = B + A 證明:A + B =[a ij +b ij]=[b ij +a ij] = B + A 例 :已知 與 A + B = B + A=
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4.4 Commutative, Associative, and Distributive Laws
2.加法結合律:( A + B ) + C = A + ( B + C ) 證明:( A + B ) + C =[aij +bij] + [cij]=[aij +bij+ cij]=[aij ]+[bij+ cij]=A+(B+C) 例 2 : ( A + B ) + C= = A + ( B + C )= = 加法結合律應用到向量的線型組合,表示可先選擇任一對向量相加或相減,而不必循著n項之先後排列次序。
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4.4 Commutative, Associative, and Distributive Laws
3.乘法交換律:矩陣相乘不合交換律 AB ≠ BA 例3 例外: 1.當A為方陣,B為單位矩陣 ⇒ AB=AI=A=IA=BA 2.當A為B之逆矩陣 ⇒ AB=B-1B=I=BB-1=BA
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4.4 Commutative, Associative, and Distributive Laws
4.乘法結合律:(AB)C = A(BC) =ABC 每一對相鄰的矩陣必須滿足可乘性條件 例 5.乘法分配律: A(B+C)=AB+AC [前乘A] (B+C)A=BA+CA [後乘以A]
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4-4作業
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4.5 Identity Matrices and Null Matrices
單位矩陣定義 為一正方矩陣,其主要對角線上元素為1,其他元素為0。以符號 I 或 In 表之,其下標n表示其列數。 單位矩陣的特性 對任何矩陣A而言,可得IA=AI=A 在A為方陣下,此矩陣相乘合於交換律的一種例外情形。(當A為方陣,B為單位矩陣 ⇒ AB=AI=A=IA=BA ) 單位矩陣為自乘不變矩陣(idempotent matrix)AA=A
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4.5 Identity Matrices and Null Matrices
單位矩陣擔任數字1的角色,零矩陣擔任數字0的角色。 零矩陣定義 為所有元素皆為零的矩陣。 零矩陣的特性 零矩陣不限於方陣矩陣。 類似純量0 ; A+0=A ; A × 0 = 0 正方的零矩陣為自乘不變矩陣,但非正方者不是。(為什麼?)
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4.5 Identity Matrices and Null Matrices
矩陣代數的兩個重要特性 數字的情況下,a b=0表示a或b為0,但在矩陣相乘的情況下便不然。例 A B= 或 C D=? C E=? 此種結果唯有在某些特殊的矩陣方成立,稱之為奇異矩陣(singular matrices),上述之A、B與C矩陣即屬之。(粗略言之,凡矩陣某橫列元素為另一橫列者之倍數者,即稱之。)
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4-5作業
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4.6 Transposes and Inverses
1.轉置(transpose):若將矩陣A的橫列與縱欄互相交換,則得A的轉置矩陣,表示為 或AT。 例 與 與 求其轉置矩陣 若矩陣A為m×n,則其轉置矩陣必為n×m 對稱矩陣(symmetric matrices),對角線兩旁元素對稱。對稱矩陣的轉置矩陣等於自己。例I,D。
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4.6 Transposes and Inverses
轉置矩陣的性質
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4.6 Transposes and Inverses
2.逆矩陣與其性質 定義:唯若A為正方矩陣,則其逆矩陣逆矩陣滿足如下條件AA-1=A-1A=I 並非每個方陣都有逆矩陣。若方陣A有逆矩陣,則稱A為非奇異(nonsingular)矩陣;若A沒有逆矩陣,則稱A為奇異(singular)矩陣。 A與A-1互為逆矩陣。 若A為n×n,則A-1也必為n×n。 若逆矩陣存在,則其為唯一的。
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4.6 Transposes and Inverses
逆矩陣具如下三種性質:
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4.6 Transposes and Inverses
逆矩陣與直線方乘體系解 兩邊前乘A-1,可得
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4-6作業
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