第7章 機率分配 離散型機率分配 連續型機率分配.

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1 第7章 機率分配 離散型機率分配 連續型機率分配

2 例題(離散均勻分配)

3 離散均勻分配 離散均勻分配 (discrete uniform distribution) :機率分配函數 定理:
若隨機變數X服從離散均勻分配

4 離散均勻分配

5 例題(伯努利分配)

6 伯努利分配 定理：若隨機變數服從伯努利分配，則 伯努利分配 (Bernolli distribution)
一隨機試驗只有成功和失敗兩種結果。令隨機變數X=1代表成功的事件，X=0代表失敗的事件，又成功事件發生的機率為p，失敗發生的機率為1-p 定理：若隨機變數服從伯努利分配，則

7 例題(二項分配) 出現正面之機率分配 正面數× 機率 P(×) 1/8= 1 3/8= 2 3 合計

8 二項實驗具有以下的特性 二項實驗具有以下的特性： 實驗由n次試驗構成 每次試驗僅有成功或失敗兩種結果，又可稱為伯努利試驗
每次試驗成功的機率都相等 n次試驗彼此間皆獨立

9 二項分配 二項分配 (binomial distribution) ：
若執行n次的伯努利實驗，設每次成功的機率為p，且每次實驗互相獨立。令X表ｎ次實驗中成功次數的隨機變數，則稱X服從二項分配，通常以 X~B(n , p)以表示。 機率分配函數(機率質量函數) 期望值 變異數

10 例題(二項分配)

11 例題(二項分配)

12

13 例題(多項分配)

14 負二項分配例說 舉例說，若我們擲骰子，擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是1/6。要擲出三次一，所需的擲骰次數屬於集合 { 3, 4, 5, 6, ... } 。擲到三次一的擲骰次數是負二項分布的隨機變數。 要在第三次擲骰時，擲到第三次一，則之前兩次都要擲到一，其機率為 。注意擲骰是伯努利試驗，之前的結果不影響隨後的結果。 若要在第四次擲骰時，擲到第三次一，則之前三次之中要有剛好兩次擲到一機率為 。第四次擲骰要擲到第三次一，所以機率為 。

15 負二項分配 負二項分布表示，已知一個事件在伯努利試驗中每次的出現機率是 ，在一連串伯努利試驗中，一件事件剛好在第 次試驗出現第 次成功的機率。即令隨機變數 表第 次成功發生的總試驗次數，則 服從負二項分布，其 機率分配函數(機率質量函數) 期望值 變異數

16 例題(負二項分配)

17 幾何分配 負二項分布中取 ，則負二項分布等於幾何分布。即令隨機變數 表第1 次成功發生的總試驗次數，則 服從幾何分布，其
負二項分布中取 ，則負二項分布等於幾何分布。即令隨機變數 表第1 次成功發生的總試驗次數，則 服從幾何分布，其 機率分配函數(機率質量函數) 期望值 變異數

18 例題(幾何分配)

19 超幾何分配 超幾何分布它描述了由有限個物件中抽出n個物件，成功抽出指定種類的物件的個數（不歸還）。例如在有N個樣本，其中m個是不及格的。超幾何分布描述了在該N個樣本中抽出n個，其中k個是不及格的機率： 上式可如此理解：表示所有在N個樣本中抽出n個的方法數目。 表示在m個樣本中，抽出k個的方法數目。剩下來的樣本都是及格的，而及格的樣本有N-m個，剩下的抽法便有種。 若n=1，超幾何分布還原為伯努利分布。 若N接近∞，超幾何分布可視為二項分布。

20 超幾何分配 在有N個元素的母體，且分為成功與失敗兩類。其中M個元素為成功，N-M個元素為失敗。今以抽出不放回的方式，自母體抽出n個元素，令隨機變數 X 表n個元素中屬於成功的個數，則 X 服從超幾何分布，其 上式可如此理解： 表示在所有N個元素中抽出n個的方法數目。  表示在M個成功元素中，抽出x個成功的方法數目。N-M個失敗的元素中，抽出n-x個失敗的方法數目有 種。 機率分配函數 期望值 變異數

21 例題(超幾何分配)

22 超幾何分布與伯努利分布 若n=1，超幾何分布還原為伯努利分布。

23 超幾何分配與二項分配 當N很大時，發現超幾何分配可視為二項分配。利用下表來比較超幾何分配與二項分配的機率值。
當(n/N)≦0.05時，超幾何分配近似二項分配。

24 例題(超幾何分配逼近二項分配)

25 卜瓦松分配的性質 若一實驗是求某特定事件在一段時間或一特定區域內發生的次數，通常稱為卜瓦松實驗。
每一個時間或區域內事件的發生皆是互相獨立的。 在一固定的時間或區域內，事件發生的機率均相等。 事件發生次數的期望值與時間或區域的大小成正比，即時間或區域愈大，期望值μ愈高。 在一極短的時間或區域內，僅有兩種情況，即發生一次或不發生，而發生兩次或以上的情形不予考慮。 Poisson分佈（Poisson distribution）卜瓦松分佈適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的機率分佈。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數，電話交換機接到呼叫的次數、汽車站台的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA序列的變異數、放射性原子核的衰變數等等。

26 卜瓦松分配 隨機變數 表在所設定的一段時間或區域內某特定事件發生的數目，則 服從卜瓦松分配，通常以 表示， 機率分配函數(機率質量函數)
隨機變數 表在所設定的一段時間或區域內某特定事件發生的數目，則 服從卜瓦松分配，通常以 表示， 其中 為時間或區域內某特定事件發生的數目平均數 機率分配函數(機率質量函數) 期望值 變異數

27 例題(卜瓦松分配)

28

29 例題(卜瓦松分配)

30 例題(卜瓦松分配)

31 二項分配近似卜瓦松分配 若隨機變數表為整個時間或區域內事件發生的次數，則可視為二項分配次試驗事件發生的次數，即
也就是說當n夠大時，二項分配近似卜瓦松分配。 而在實務上，只要n≧ 100，p≦0.01或n ≧ 20， p≦0.05即可適用。

32 二項分配近似卜瓦松分配

33 二項分配近似卜瓦松分配

34 例題(卜瓦松分配)

35 例題(卜瓦松分配)

36 利用Excel求二項機率分配

37 利用Excel求超幾何機率分配

38 利用Excel求卜瓦松機率分配

39 習 題