第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 4.1.2 圆的一般方程.

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1 第四章 圆与方程 圆的标准方程 圆的一般方程

2 问题提出 1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？ 圆心和半径 2.直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题.

3 圆的标准方程

4 平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
知识探究一：圆的标准方程 思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中,圆是怎样定义的？如何用集合语言描述以点A为圆心,r为半径的圆？ A M r P={M||MA|=r}. 平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.

5 P={M||MA|=r}. (x-a)2+(y-b)2=r2 思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3:设圆心坐标为A(a,b),圆半径为r,M(x,y)为圆上任意一点,根据圆的定义x,y应满足什么关系？ P={M||MA|=r}. A M r x o y (x-a)2+(y-b)2=r2

6 思考4:对于以点A(a,b)为圆心,r为半径的圆,由上可知,若点M(x,y)在圆上,则点M的坐标满足方程
(x-a)2+(y-b)2=r2 ；反之,若点M(x,y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ,那么点M一定在这个圆上吗？ A M r x o y 圆心C(a,b),半径r

7 思考5:我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程，那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？
思考6:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆，那么单位圆的方程是什么？ x2+y2=1 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：

8 练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径 (1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1 X Y -1 C(-1、0) r=1 X y
-1 C(-1、0) r=1 X y +2 -2 C(0、0) r=2

9 练习 2、写出下列圆的方程 （1）、圆心在原点，半径为3； （2）、圆心在(-3、4),半径为 . (1) x2+y2=9
（2）、圆心在(-3、4),半径为 . (1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5

10 练习 3、圆心在（-1,2）,与y轴相切 X Y c -1 C(-1、2) r=1 (x+1)2+(y-2)2=1

11 4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
练习 4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2. 2 C(2,2) C(-2,-2) X Y -2 Y=X (x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4

12 5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.
练习 5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程. X Y C（8、3） P（5、1） (x-8)2+(y-3)2=13

13 练习 6、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程. X C(1、3) 3x-4y-6=0 Y

14 (x-1)2+(y-3)2=9 ) 4 ( 3 - + 解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 已知a=1,b=3
因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距离， 所以 |3×1-4 ×3-6| 所以圆的方程为 r= = = 3 5 2 ) 4 ( 3 - + (x-1)2+(y-3)2=9

15 7、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直径的圆的方程.
练习 7、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直径的圆的方程. A(4、9) B(6、3) X Y 提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2

16 思考7:方程 ， ， 是圆方程吗？ 思考8:方程 与 表示的曲线分别是什么？

17 知识探究二：点与圆的位置关系 A O A O A O OA=r OA<r OA>r
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？ 思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？ A O A O A O OA=r OA<r OA>r

18 思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

19 思考4:经过一个点、两个点、三个点分别可以作多少个圆？
思考5:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么？ A r x o y

20 方程,并判断点M1(5,-7),M2(- ,-1)是否在这个 圆上.
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的 方程,并判断点M1(5,-7),M2(- ,-1)是否在这个 圆上. 解: 所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 y 方法一: 利用点的坐标代入方程 是否满足方程去判断; O x M2 方法二:若点到圆心的距离为d， d>r时，点在圆外； d=r时，点在圆上； d<r时，点在圆内; A M1

21 例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程. 解：设所求圆的方程为：
待定系数法 所求圆的方程为

22 例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3), C(2,-8),求它的外接圆的方程.
x o y A C

23 例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
O x B(2,-2) C 圆心：两条直线的交点 半径：圆心到圆上一点

24 (1)圆的标准方程的结构特点. (2)点与圆的位置关系的判定. 小结作业 (3)求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②数形结合法
明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (2)点与圆的位置关系的判定. (3)求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②数形结合法 ③代入法.

25 作业： 124习题4.1A组：2，3，4.

26 圆的一般方程

27 问题提出 特征： 直接看出圆心与半径 1.圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是什么？
2.直线方程有多种形式,圆的方程是否还可以表示成其他形式？这是一个需要探讨的问题.

28 圆的一般方程

29 知识探究一：圆的一般方程 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 - 2 = + r b a by ax y x
思考1:圆的标准方程 展开可得到一个什么式子? - 2 = + r b a by ax y x 由于a,b,r均为常数 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式： x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0

30 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式： x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示 的曲线是圆呢？
思考2: ：是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示 的曲线是圆呢？

31 思考3:方程 可化 为 ， 它在什么条件下表示圆？ （1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ ） 为圆心，以( ) 为半径的圆
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 配方可得： 思考3:方程 可化 为 ， 它在什么条件下表示圆？ （1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ ） 为圆心，以( ) 为半径的圆

32 思考4:当 或 时，方程 表示什么图形？ （2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2 y=-E/2，表示一个点（ ）
思考4:当 或 时，方程 表示什么图形？ （2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2 y=-E/2，表示一个点（ ） （3）当D2+E2-4F＜0时,方程（1）无实数解,所以 不表示任何图形。 所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程

33 思考5:方程 叫做圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？ 圆心为 ，半径为

34 圆的一般方程： x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
圆的一般方程与标准方程的关系： a=-D/2，b=-E/2，r= 一般式有那些特点 ？ (1) 的系数相同，且不等于零； (2) 没有 xy 项； (3) 圆的标准方程与一般方程各有什么优点？ 标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用

35 思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆 的位置分别有什么特点？ C x o y C x o y C x o y F=0 D=0 E=0

36 练习:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.
圆心: 半径: 圆心: 点( 0 , 0 ) 半径:

37 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
知识探究二：圆的直径方程 思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如何求以线段AB为直径的圆方程？ 思考2:一般地,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆方程如何？ A x o y B P (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

38 理论迁移 解:设圆的方程为: 例1:求过点 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心. 因为 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即
例1:求过点 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心. 解:设圆的方程为: 因为 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即 所以,圆的方程为:

39 例2 方程 表示的图形是一个圆，求a的取值范围. 用待定系数法求圆的方程的步骤： 1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；
2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程； 3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程． 根据题目条件,恰当选择圆方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 例2 方程 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.

40 例3 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
o

41 例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以 即: 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:

42 求动点轨迹的步骤: 1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); 2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状. 求轨迹方程的方法: 若生成轨迹的动点 随另一动点 的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程 关键:列出P,Q两点的关系式.

43 例4 已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.
C P M x o A B

44 小结作业 1.任一圆的方程可写成 的形式，但方程 表示的曲线不一定是圆,当 时，方程表示圆心为 ， 半径为 的圆.
1.任一圆的方程可写成 的形式，但方程 表示的曲线不一定是圆,当 时，方程表示圆心为 ， 半径为 的圆. (2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 一般方程 标准方程(圆心,半径)

45 用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结. 4.求轨迹方程的基本思想：
(3)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结. 4.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.

46 作业： P123练习：1，2，3.

47 练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.
圆心: 半径: 圆心: 点( 0 , 0 ) 半径:

48 圆心: 半径: 圆心: 半径: 当 时, 圆心: 半径: 当 时, 表示点:

49 练习3:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长.
解:设圆的方程为: 因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即 圆的方程: 即: 圆心: 半径: