数学实验 Experiments in Mathematics 实验6. 非线性方程的近似解 江西财经大学 数学与决策科学系 制作：华长生

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1 数学实验 Experiments in Mathematics 实验6. 非线性方程的近似解 江西财经大学 数学与决策科学系 制作：华长生
实验6. 非线性方程的近似解 江西财经大学 数学与决策科学系 制作：华长生 华长生制作

2 实验6. 非线性方程的近似解 一、实例: 疾病的传播 在传染病的蔓延过程中,当已感染者(病人)与易感
实验6. 非线性方程的近似解 一、实例: 疾病的传播 在传染病的蔓延过程中,当已感染者(病人)与易感 染者(健康人)进行接触时,健康人会变为病人 假设在一个封闭的环境中总人数N 不变,记时刻t健 康人和病人在总人数中的比例分别为x(t) 和y(t). (1) 健康人总数 病人总数 华长生制作

3 每个病人可使健康人变为病人的数量为 每天变为病人的健康人数量为 所以健康人的数目比例应满足微分方程 负号表示减少 ---------(2)
感染率 每个病人可使健康人变为病人的数量为 每天变为病人的健康人数量为 所以健康人的数目比例应满足微分方程 负号表示减少 (2) 于是每天被治愈的病人总数为 所以每天病人的变化数(增加)为 华长生制作

4 因此病人的数量比例也应满足微分方程 ---------(3) 病人被治愈后有两种可能 非终身免疫 治愈后仍有可能成为被感染者
此时方程(1)将会化为 参见P179[3] 终身免疫 治愈后不再成为易感染者 此时 华长生制作

5 于是得到微分方程组 无解析解 (4) 表示传染期的平均天数 一个传染期内每个病人接触到 的平均人数,称为接触数 华长生制作

6 求解方程(4),得 (5) 若取一组值 (5)的图象 但人们关心的是 传染病疫情结束后, 还有多少人没被感染? 华长生制作

7 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法
二、非线性方程组的近似解法 方程是在科学研究中不可缺少的工具 方程求解是科学计算中一个重要的研究对象 几百年前就已经找到 了代数方程中二次至 五次方程的求解公式 但是,对于更高次数 的代数方程目前仍 无有效的精确解法 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法 因此,研究非线性方程的数值解法成为必然 华长生制作

8 设非线性方程 (6) 简单介绍单根区间上的求解方法 华长生制作

9 1.根的隔离—二分法 华长生制作

10 依此类推 可以得到一系列的区间和中点 华长生制作

11 理论上 构造简单 收敛速度很慢 就可以达到满意的精度 Shiyan61.m 二分法 华长生制作

12 称(8)式为求解非线性方程(7)的简单迭代法
2.迭代法 将非线性方程(6) 化为 (7) 继续 (8) 称(8)式为求解非线性方程(7)的简单迭代法 华长生制作

13 (9) 则称迭代法(8)收敛,否则称为发散 如果将(7)式表示为 与方程(7)同解 收敛 华长生制作

14 发散 例1. 解: (1) 如果将原方程化为等价方程 华长生制作

15 显然迭代法发散 (2) 如果将原方程化为等价方程 仍取初值 华长生制作

16 依此类推,得 同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果 与迭代函数的构造有关 已经收敛,故原方程的解为 什么形式的迭代法 能够收敛呢?
x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = 同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果 与迭代函数的构造有关 已经收敛,故原方程的解为 什么形式的迭代法 能够收敛呢? 华长生制作

17 经过分析可知 (10) 且 (11) (12) 华长生制作

18 3.Newton迭代法 如果将非线性方程 化为等价方程 令 如果 令 即 则 华长生制作

19 于是取 (13) (14) (14)式称为Newton迭代法 华长生制作

20 Newton迭代法, 需要求每个迭代点处的导数 复杂！ 这种格式称为简化Newton迭代法 --------(15)
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21 这种格式称为弦截法或割线法 (16) 几何意义 华长生制作

22 因此在使用MATLAB时需编写两个函数文件
对于Newton迭代法 涉及到两个函数 因此在使用MATLAB时需编写两个函数文件 原函数文件Fun.m和导数文件dfun.m 然后使用Newton迭代法 华长生制作

23 注意:此程序也适用于非线性方程组的求解 [x,k]=newtonddf('fun','dfun',x0,EPS) %newtonddf.m
function [x,k]=newtonddf(fun,dfun,x0,EPS) if nargin<4,EPS=1e-4;end x1=x0-feval(dfun,x0)\feval(fun,x0); k=1; while (norm(x1-x0)>=EPS)&(k<=1000) x0=x1; k=k+1; end x=x1; 注意:此程序也适用于非线性方程组的求解 华长生制作

24 四、迭代法的应用 回到疾病的传播模型 解方程 先编写函数和导函数文件 ill.m function y=ill(x)
a=1;b=0.3;x0=0.98;y0=1-x0; sigma=a/b; y=log(x/x0)/sigma-x+x0+y0; dill.m function y=dill(x) a=1;b=0.3; sigma=a/b; y=[1/(x*sigma)-1]; 华长生制作

25 说明最终只有约4%的 没有被感染 若改变相关参数 说明最终有约81.22%的 没有被感染
[x,k]=newtonddf('ill','dill',0.01) x = k = 5 [x,k]=newtonddf('ill','dill',0.09) x = k = 6 说明最终只有约4%的 没有被感染 [x,k]=newtonddf('ill','dill',0.01) x = k = 9 若改变相关参数 说明最终有约81.22%的 没有被感染 华长生制作

26 隔离病人可使日接触率降低,从而防止疾病的蔓延 日治愈率提高
日接触率减少 隔离病人可使日接触率降低,从而防止疾病的蔓延 日治愈率提高 医疗条件的改善可使日治愈率提高,被感染人数减少 若再改变参数 [x,k]=newtonddf('ill','dill',0.01) x = k = 8 接种疫苗可以使初始 易感染人数降低 最后仍有65.77%的人没有被感染 华长生制作

27 比较以下不同情形下的未感染人数比例 结果发现 为什么？ 另外有28%的人 具有免疫能力 由于 实际上未感染比例更高
x0= y0=0.02 a=1 b=0.3 x = a=0.5 b=0.3 x = a=0.5 b=0.5 x = 结果发现 升高 为什么？ 升高 x0= y0=0.02 a=1 b= x = a=0.5 b= x = a=0.5 b= x = 另外有28%的人 具有免疫能力 降低 由于 实际上未感染比例更高 华长生制作

28 起点 局部放大图 华长生制作

29 实验内容 1. 用MATLAB软件掌握求解非线性 方程的迭代法和Newton迭代法,并对 结果作初步分析；
目的 实验内容 1. 用MATLAB软件掌握求解非线性 方程的迭代法和Newton迭代法,并对 结果作初步分析； 2.通过实例学习用非线性方程解决实 际问题. 内容 《数学实验》第172页. 4.2实验内容 1) ; 7） 华长生制作