大綱: 列式問題 代入消去法 加減消去法 根的相關問題 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司

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1 大綱: 列式問題 代入消去法 加減消去法 根的相關問題 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司
二元一次聯立方程式 (題型解析) 大綱: 列式問題 代入消去法 加減消去法 根的相關問題 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司 這個單元老師要以各種題型帶著各位同學熟練二元一次聯立方程式的解題觀念和技巧，其中包括了方程組的列式問題、解方程組的兩種消去法---代入消去法、加減消去法，以及方程組解的相關問題。

2 例題 1. (列式-年齡問題) 二元一次聯立方程式 - 題型解析 已知兄弟兩人相差 4 歲，且 3 年前哥哥年齡的 4 倍比弟弟年齡的 倍少 13 歲，若假設哥哥現年 x 歲，弟弟現年 y 歲， 請列出符合題意的二元一次聯立方程式。 首先我們就先來看列式問題，方程式列式問題的關鍵是尋找題目中的等式，也就是說，我們再看題目時，要注意題目中有關等式的敘述。 已知兄弟兩人相差4歲，這句話可以列出一個等式：兄的年齡減弟的年齡等於4， 第二句話：3年前哥哥年齡的4倍比弟弟年齡的5倍少13歲， 三年前兄弟的年齡是現在年齡減3，所以我們可以列出第二個式子， 兄現年年齡減3的4倍會和弟現年年齡減3的5倍再減13 後相等。 若假設哥哥現年 x 歲，弟弟現年 y 歲，則我們把兄的位置用 x 換掉，弟的位置用 y 換掉， 如此的話就得到我們要求的方程組了 [解答] 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 例題 2. (列式-追趕問題) 二元一次聯立方程式 - 題型解析 甲、乙兩人比賽跑步，已知乙的速度是甲的 1.2 倍。 若甲先跑 50 公尺，乙再追趕甲，乙出發後 30 秒追上甲， 若假設甲的速度為每秒 x 公尺，乙的速度為每秒 y 公尺， 請列出符合題意的二元一次聯立方程式。 甲 30 秒的距離 50 m 距離＝速度x 時間 乙 30 秒的距離 乙速＝1.2 x 甲速 乙距＝50 ＋甲距 第 2 個例子比較複雜，我們來看題目，甲、乙兩人比賽跑步， 已知乙的速度是甲的1.2倍，這句話可以提供我們一個等式：乙的速度等於甲速度乘以 1.2 第二句話，若甲先跑 50 公尺，乙再追趕甲，乙出發後 30 秒追上甲， 我們可以用 圖解 來看，題目說甲先跑 50 公尺，我們就想像甲站在乙的前方 50 公尺兩人一起開始跑 跑了 30 秒後在這個地方乙追上甲，所以圖形可畫成這樣，那從這個圖中怎麼把等式列出來呢？ 可以注意到圖中，乙跑的距離等於甲跑的距離加上一開始領先的 50 公尺，而我們又已知 距離＝速度乘以時間 所以等式可列為 乙速乘30 = 50 + 甲速乘30，如此我們再將題目所說的甲速的位置換為 x ，乙速的位置換為 y 即可得到所求得方程組。 這個單元，老師只以這兩個列式問題說明了列式的精神，其餘題型的列式問題，老師將在下一個單元講應用問題時 一併講解，接下來的例題，我們將進入解說解聯立方程式的方法及技巧。 [解答] 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 例題 3. (代入消去法) 利用代入消去法解聯立方程式 代入消去法 1. 選擇要消去的變數，例如 x
二元一次聯立方程式 - 題型解析 利用代入消去法解聯立方程式 代入消去法 1. 選擇要消去的變數，例如 x 2. 將 x 用 y 的算式代入，消去 x 3. 求 y 的值 4. 將 y 值代入任一式子，求 x 的值 利用代入消去法解聯立方程式 x=14y+4 及 3x=44y+4 代入消去法的步驟我們複習一下，第一步，選擇要消去的變數，然後第二步，將 x 用 y 的算式代入，題目中的第一個式子 已經將 x 寫成的 y 的式子，就可以將第二個式子中 x 的位置換成 14y+4 ，如此就會得到 3(14y+4)=44y+4， 這時就變成了一元一次方程式，然後就可用解一元一次方程式的方式去括號，移項後會得到 2y=8 可得 y=4， 最後，再將 y=4帶回第一式就可得到 x=56+4=60。 [解答] x＝60，y＝4 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 例題 4. (加減消去法) 利用加減消去法解聯立方程式 加減消去法 1. 選擇要消去的變數，例如 x 2. 使 x 項的係數相同
二元一次聯立方程式 - 題型解析 利用加減消去法解聯立方程式 加減消去法 1. 選擇要消去的變數，例如 x 2. 使 x 項的係數相同 3. 將等號兩邊分別相加 or 相減，消去 x 4. 求 y 的值 5. 將 y 的值代入任一式子，求 x 的值 例題 4 ，利用加減消去法解方程組 6x-7y=18 及 3x+y=27，加減消去法的的第一步先選擇要消去的變數，這題老師選擇 x ，各位同學可以自己試試消去 y ，要消去 x，那麼就要先將 x 的係數變成一樣，所以第二式利用等量乘法左右都乘以 2，就可得到 6x+2y=54，然後第三式和第一式相減，就可以把 6x 都消掉，左邊剩下 2y 減負 7 y 得 9y，等號右邊為 54 減 18 得 36，所以 y=4，然後再將 y=4 代入第二式 得到 3y+4=27 ，可得 y=三分之 23。 [解答] ， 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 例題 5. (先整理再解) 解二元一次聯立方程式 加減消去法 1. 選擇要消去的變數，例如 x 2. 使 x 項的係數相同
二元一次聯立方程式 - 題型解析 解二元一次聯立方程式 加減消去法 1. 選擇要消去的變數，例如 x 2. 使 x 項的係數相同 3. 將等號兩邊分別相加 or 相減，消去 x 4. 求 y 的值 5. 將 y 的值代入任一式子，求 x 的值 第五個例子，解方程組 y+3x=7x+8y-2 及 3(2x-y)=x-(y+19) 看到尚未化成最簡形式的方程式，要先利用去括號和移項法則化為最簡的形式， 第一個式子將 x 項和 y 項都移到右邊，常數項 -2 移到左邊，可得 4x+7y=2 第二個式子去括號後可得 6x-3y=x-y-19 移項後可得 5x-2y=-19 接著再選擇代入消去法或是加減消去法求解，老師這題用加減消去法來解， 將上面的式子左右同乘以 5 得 20x+35y=10 下面的式子左右同乘以 4 得20x-8y=-76 兩式相減就可以得到 43 y=86 可知 y=2 代入 4x+7y=2 得到 x=-3 [解答] ， 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 例題 6. (分數) 解二元一次聯立方程式 等量乘法公理 等號 兩邊同時乘一個數 其結果不變 代入消去法 1. 選擇要消去的變數，例如 x
二元一次聯立方程式 - 題型解析 解二元一次聯立方程式 等量乘法公理 等號 兩邊同時乘一個數 其結果不變 代入消去法 第六個題，解聯立方程式 x 減二分之y 等於1 及 二分之 x+1 減 三分之 y-2 等於 0。 看到方程式中有分數，我們可以先利用等量乘法公理左右兩邊同乘分母的最小公倍數，將分母去掉， 第一個式子分母為 2 ，左右兩邊同乘 2 可得 2x-y=2 第二個式子分母有 2 和 3 ，最小公倍數＝6，所以左右兩邊同乘 6 ，可得 3(x+1)-2(y-2)=0 注意當分母去掉後，分子要加上括號。 整理一下就可得到 y=2x-2 及 3x-2y=-7 此處老師使用代入消去法將上式代入第二式， 得到 3x-2(2x-2)=-7，去括號整理得 –x+4=-7 知 x=11，然後再代回 y=2x-2 就可得到 y=20。 1. 選擇要消去的變數，例如 x 2. 將 x 用 y 的算式代入，消去 x 3. 求 y 的值 4. 將 y 值代入任一式子，求 x 的值 [解答] x ＝11，y ＝20 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 例題 7. (對稱型係數) 解二元一次聯立方程式 加減消去法 1. 選擇要消去的變數，例如 x 2. 使 x 項的係數相同
二元一次聯立方程式 - 題型解析 解二元一次聯立方程式 加減消去法 第七題，解聯立方程式 11x+2y=24 及 2x+11y=15 我們注意到這題兩個式子的係數是交錯的，第一個式子 x 項係數是第二個式子的 y 項係數，第一個式子的 y 項係數是第二個式子的 x 項係數， 遇到這種題型時，我們可以先觀察兩式相加、相減後係數之間是否有倍數關係，進而先將係數縮小，這題中，若是兩式先相加，則會得到13x+13y=39 可以同除 13 變為 x+y=3， 若是兩式相減，則會得到 9x-9y=9 可以同除 9 變為 x-y=1 這樣的話係數就變得比較小比較好算，接著我們利用加減消去法，兩式相加可以消掉 y 得到 2x=4 則 x=2 再代回 x+y=3 後可得 y=3-2=1 1. 選擇要消去的變數，例如 x 2. 使 x 項的係數相同 3. 將等號兩邊分別相加 or 相減，消去 x 4. 求 y 的值 5. 將 y 的值代入任一式子，求 x 的值 [解答] x ＝2，y ＝1 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 例題 8. (大係數方程組) 解二元一次聯立方程式 心得筆記 對稱型或大係數方程組 可先將兩式相加、相減 將係數縮小再使用消去法
二元一次聯立方程式 - 題型解析 解二元一次聯立方程式 心得筆記 對稱型或大係數方程組 可先將兩式相加、相減 將係數縮小再使用消去法 第八題，解方程組 321x+121y=563 及 101x+301y=703 這題我們注意到係數都很大，而且沒有辦法先用等量除法先約分成較小係數，不論要用加減消去法還是代入消去法都相對麻煩，前一題的經驗告訴我們可以先觀察兩式直接相加、相減之後係數是否有倍數關係，所以我們先觀察兩式相加，會得到 422x+422y=1266 可以左右同除 422 得到 x+y=3，再觀察兩式相減得到 220x-180y=-140，左右同除 20 得 11x-9y=-7， 如此得到的兩個式子係數比較小，解題就會相對容易，我們將上式左右同乘 9 得 9x+9y=27 ，使用加減消去法可得 20x=20 所以 x=1 再代回 x+y=3 得到 y=3-1=2 由這兩題的解題過程中，我們可以知道當遇到大的係數或是對稱型式的方程組時，可以先觀察相加、相減後的係數看看是否會有倍數關係能夠讓我們先利用等量除法將係數變小，方便計算。 [解答] x ＝1，y ＝2 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

10 例題 9. ( A＝B＝C 型式 ) 解 A＝B＝C 型式 若 A＝B＝C 則 [解答] x ＝3，y ＝2
二元一次聯立方程式 - 題型解析 解 A＝B＝C 型式 若 A＝B＝C 則 第九題，解方程式 3x+4y=4x+5y-5=5x-2y+6 遇到這種 A=B=C 的三個式子相等得形式，可以將他拆開，變成 A=B 及 B=C 解聯立，當然也可用 A=C 所以拆開後得到 3x+4y=4x+5y-5 和 4x+5y-5=5x-2y+6 聯立方程式， 看到尚未化為最簡形式時當然就先利用移項化為最簡，得到 x+y=5 以及 x-7y=-11 接著就可用加減消去法上式減下式得到 8y=16 知 y=2 再代入 x+y=5 得 x=5-2=3 [解答] x ＝3，y ＝2 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

11 例題 10. (非負數) 若 ，求 x、y 之值。 心得筆記
二元一次聯立方程式 - 題型解析 若 ，求 x、y 之值。 例題 10.　若方程式為 x+y-25 的平方加上 3x-2y-5 的平方等於 0，要求 x、y的值。 我們知道任何數平方後一定大於或等於 0，則兩個大於或等於 0 的數相加後等於 0，如果其中有一個不是 0 ， 譬如若是 3x-2y-5 的平方不等於 0 ，則一定為正數，那麼 x+y-25 的平方就一定是負數，相加才會是 0， 但是 x+y-25 的平方不會是負數，所以代表 3x-2y-5的平方 一定等於 0 ，則我們就知道 x+y-25=0 且 3x-2y-5=0， 可得聯立方程式 x+y=25 及3x-2y=5，上式乘以 2 後得 2x+2y=50 利用加減消去法可消去 y 得到 5x=55 知 x=11　代回 x+y=25 可知 y=25-11=14。 上述分析方法，除了平方相加等於 0 以外，絕對值相加等於 0 也是一樣的分析法，也會得到一樣的結論，所以 我們可以知道兩個以上的平方式相加或是兩個以上的絕對值相加等於 0 ，則平方內或是絕對值內的式子一定都是 0。 心得筆記 兩個以上的平方式相加或兩個以上的絕對值相加 等於 0 ，則個別平方式(絕對值內式子)皆為 0 [解答] x ＝11，y ＝14 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

12 例題 11. (已知解求係數) 若 與 均為 的解，求 a、b 之值。 聯立方程式的解 在聯立方程式中，x, y 的值 同時滿足每一個方程式
二元一次聯立方程式 - 題型解析 若 與 均為 的解，求 a、b 之值。 聯立方程式的解 在聯立方程式中，x, y 的值 同時滿足每一個方程式 這題開始我們開始來看有關方程組的解的問題，首先來複習一下定義，方程組的解為兩個數字代入方程組後能夠同時滿足每個方程式的那種數字稱為方程組的解。 第 11 題，若 x=-3 、 y=-4 與 x=1 、 y=6 均為二元一次方程式 ax+by=14 的解，那麼由解的定義可知兩組解代入後會使得方程式等號成立，即 x=-3、y=-4代入得 -3a-4b=14，1、6代入得a+6b=14 將下式移項為 a=14-6b 代入上式可得-3(14-6b)-4b=14 展開整理後得到 14b=56 知 b=4 再代回 a=14-6b 得 a=14-24=-10 [解答] a＝-10，b ＝4 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

13 例題 12. (相同解方程組) 若 與 有相同的解，求 x、y 及 a、b 之值 聯立方程式的解 在聯立方程式中，x, y 的值
二元一次聯立方程式 - 題型解析 若 與 有相同的解，求 x、y 及 a、b 之值 聯立方程式的解 在聯立方程式中，x, y 的值 同時滿足每一個方程式 第 12 題，若 ax-by=-1 、11x-3y=2 與3x+y=6、ax+by=5 兩個聯立方程式有相同的解，依照解的定義知，有一組 x、y 同時是這四個二元一次方程式的解，所以我們可以先拿兩個沒有未知係數的方程式來聯立求解，求到解後再代入到另兩個式子求係數。 所以先利用 3x+y=6、11x-3y=2 聯立，上式左右同乘 3 得 9x+3y=18 與下式相加可得 20x=20 知 x=1代回 3x+y=6 可得 y=6-3=3 最後再將得到的解 x=1,y=3代入兩個有未知係數的式子得 a-3b=-1,a+3b=5 解a、b的聯立方程式，則兩式相加得 2a=4 , a=2 代入a+3b=5 知 b=1 [解答] x＝1，y＝3，a＝ 2，b ＝1 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

14 例題 13. (看錯係數) 甲、乙兩人同解方程組 ，甲正確的解出 ， 而乙因為粗心將 c 看錯了，解得 ，求 a、b、c 之值。
二元一次聯立方程式 - 題型解析 甲、乙兩人同解方程組 ，甲正確的解出 ， 而乙因為粗心將 c 看錯了，解得 ，求 a、b、c 之值。 聯立方程式的解 在聯立方程式中，x, y 的值 同時滿足每一個方程式 第13題，甲、乙兩人同解一個方程組 ax+by=2、cx-7y=8 ，甲正確的解出了 x=3、y=-2 所以將甲求出的解代回方程組可得 3a-2b=2 3c+14=8，如此的話可得 c=-2， 另外乙看錯了 c，代表他a、b那個式子沒看錯，所以將乙所得到的解 x=-2、y=2代到ax+by=2 中，得 -2a+2b=2 如此兩個 a、b的二元一次方程式就可以利用消去法求a、b。 兩式相加可得 a=4，代入上式得 12-2b=2 知 b=5 有關這類看錯係數問題是常常出現在各考卷的問題，解題的觀念就是將解代入沒有看錯的方程式中去找正確的係數。 心得筆記 看錯係數問題，將解代入到沒看錯的方程式中。 [解答] a＝4，b ＝5，c＝-2 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

15 例題 14. (方程組無解條件) 當 k 為何值時，方程組 無解 ? 解聯立方程式 1. 代入消去法 2. 加減消去法 [解答]
二元一次聯立方程式 - 題型解析 當 k 為何值時，方程組 無解 ? 解聯立方程式 1. 代入消去法 2. 加減消去法 例題14. 當 k 為多少時，方程組 kx+2y=2、3x-5y=2 沒有解？ 先不管沒有解，拿到方程組想求解就想到消去法，我用加減消去法試著去求看看解長怎樣， 第一個式子左右乘以 5 得 5kx+10y=10 第二個式子左右乘以 2 得 6x-10y=4 兩式相加消去 y ，得 (5k+6)x=14 這時思考，方程組無解代表沒有 x 可以滿足這個方程式，即只要 5k+6=0 就會形成 0乘以 x=14 ， 不可能找得到一個數乘以 0 以後會等於 14，所以當 5k+6=0 ，k=負五分之六 時，方程組無解。 [解答] 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

16 例題 15. (方程組解的情形) 試就 m、n 的限制範圍討論方程組 解的個數。 解聯立方程式 1. 代入消去法 2. 加減消去法 一組解
二元一次聯立方程式 - 題型解析 試就 m、n 的限制範圍討論方程組 解的個數。 解聯立方程式 1. 代入消去法 2. 加減消去法 第15題，老師用一題比較複雜的題目結束這個單元，試就 m、n的限制範圍討論方程組 2x+3y=n 、x-my=2　解的個數。 我們一樣先去使用消去法試著去將二元一次變成一元一次，下式移項為 x=2+my 帶到上式消去 x， 則2(2+my)+3y=n 展開化簡 (2m+3)y=n-4，此時 若是 2m+3=0且 n-4=0，那麼式子將變為 0乘以y等於0，所以此時 y 任意數代入均會讓等號成立，故為無限多解，即當 m=負2分之3　且 n=4 時，方程組有無限多解　 若是2m+3=0但n-4不等於0，那麼式子將變為 0乘以 y 不等於0 ，這是不可能發生的，所以為無解，即當 m＝負二分之三，但n不等於4時，方程組無解 若是2m+3不等於0 的時候，那麼不論n-4 是否等於0，我們均可得到解 2m+3　分之 n-4 ，所以當 m 不等於負二分之三時，方程組恰有一組解。 一組解 無限多解 無解 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

17 加減消去法的技巧練習 利用加減消去法解下列聯立方程式 3x + 3y = 6 5x – 3y = 2 2x + y = 4
二元一次聯立方程式-題型解析 利用加減消去法解下列聯立方程式 3x + 3y = 6 5x – 3y = 2 2x + y = 4 2x + 3y = 8 1 2 3x + 2y = 5 2x + 3y = 5 3 4 6x + 4y = 10 6x + 9y = 15 利用加減消去法解下列聯立方程式 第一題 因為兩個式子都有 3y，而且一正一負 所以將兩個式子相加，就可以消去 3y 左邊得到 3x + 5x = 8x，右邊 = 8 得到 x = 1，將這個值代入第一個式子就可以得到 x 的值 計算細節的部分就請同學自己練習囉 第二題 發現兩個式子都有 2x，我們將 第一個式子 減去 第二個式子 就可以消去 2x y – 3y = -2y，右邊 4 – 8 = -4，就可以得到 y – 2 有時候我們會比較不習慣 負 的計算 我們就可以將下面的式子 減掉 上面的，得到 正的 2y = 4，一樣可以求得 x, y 的值 第三題 因為沒有共同的係數，不可以直接消去 如果我們選擇消去 x，就可以將 上面的是子 x 2，下面 x 3，讓 x 項的係數湊成 6 乘開來以後就會變成下面的式子 利用前面的技巧， 將第二個式子 減去 第一個式子就可以得到 9y – 4y = 5y 會等於 5 得到 y = 1，再將這個值代入任何式子就可以得到 x 第四題 因為分數不好計算，通常我們都會通分後處理 觀察這兩個式子，因為其他的都是分數，消去 4y 應該會比較簡單 上面 2y / 3 要得到 4y 就必須乘上 6 所以將第一個式子乘以 6 以後就變成 x – 4y = 0 接著同學應該就會計算了 1. 選擇要消去的變數，例如 x 2. 使 x 項的係數相同 3. 將等號兩邊分別相加 or 相減，消去 x 4. 求 y 的值 5. 將 y 的值代入任一式子，求 x 的值 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

18 聯立方程式的解 (一組解、無解、無限多組解)
二元一次聯立方程式-題型解析 解下列聯立方程式 在二元一次方程式 ax + by + c = 0 中 給任一個 x 的值，都可以得到一個 y 的值 二元一次方程式有無限多解 x + y = x + 2y = 4 2x + 2y = 4 1 無限多解 x + y = 4 x + y = 8 2 無解 ? ? 多少解 ? ? ? 這節的主題，我們依然透過例子來探討聯立方程式解的情形 第一題 將第一個式子 x 2 以後可以得到 2x + 2y = 4 和第二個式子一樣 因為在二元一次方程式的解有有無限多解 而這兩個方程式是一樣的 滿足這個方程的的解，也會滿足第二個方程式的解 所以，這組聯立方程式有無限多組解 第二題 因為不可能有 x, y 的值加起來 = 4 又等於 8 所以這組方程式無解 第三題 這是前面的例子，經過化簡後可以得到 x = 1, y = 1 3x + 2y = 5 2x + 3y = 5 一組解 3 6x + 4y = 10 6x + 9y = x = 1, y = 1 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

19 重點整理 已知 x, y 的和為 6，且 x 的 2 倍比 y 的 3 倍多 2，求 x, y x + y = 6 …….. (1)
二元一次聯立方程式-題型解析 已知 x, y 的和為 6，且 x 的 2 倍比 y 的 3 倍多 2，求 x, y x + y = 6 …….. (1) 2x = 3y + 2 ….. (2) 聯立方程式的解 在聯立方程式中，x, y 的值 同時滿足每一個方程式的解 解聯立方程式 將兩個變數化簡成一元一次式後 求得其中一個變數的值 1. 代入消去法 2. 加減消去法 解的情形 一組解、無解 or 無限多組解 x - 2y = 1 x + y = 13 x = 2y + 1 -) 2y y = 13 -3y = -12 x + y = 2 2x + 2y = 4 x + y = 4 x + y = 8 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司