1.2.1排列（第一课时）.

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1 1.2.1排列（第一课时）

2 复习回顾：分类加法计数原理 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．

3 复习回顾：分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．

4 自学书本14页~17页， 完成自学提纲表格中的所有问题：
问题1和问题2中要完成的“一件事”是什么？如何完成？请将具体问题抽象成一般问题. (舍弃具体背景,如何叙述问题1和问题2？) 找出问题1和问题2的共同特点(问题类比，探究共性)，领会排列的概念；归纳排列的特征；理解排列数的概念. 完成排列数公式的推导.

5 检验自学成果 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题1中要完成的“一件事”是指“从3人中选出2人，分上下午参加一项活动”. 问题1分两个步骤完成，第1步，确定上午参加活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定下午参加活动的同学，从剩下的2人中任选1人，有2种方法.根据分步乘法计数原理，按照参加上午活动的同学在前，下午活动的在后的顺序排列的不同方法共有 种.

6 问题1转化 上午 下午 相应的排法 问题1抽象为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙

7 检验自学成果 问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
问题2中要完成的“一件事”是“从4个数字中选3个排成一个三位数”. 问题2分三个步骤完成，第1步，确定百位上的数字，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，有2种方法，于是，每次取出的3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有 种.

8 问题2提炼 问题2抽象为：从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ (不管是同学还是数字，我们所考虑的对象都叫元素)

9 问题2验证 由树形图，列出所有排列方法： a b c d b a c d c a b d d b c a 百位 十位 个位 列举法：abc,abd,acb,acd,adb,adc, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc, cab,cad,cba,cbd,cda,cdb, dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

10 特征总结，概念引入 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. 再次强调，排列与顺序有关.

11 请说说排列与 排列数的区别 排列数概念 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 问题1求选法种数就是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，记为 . 问题2求三位数个数就是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为 . 能否把问题1和问题2求方法种数的问题转化为求排列数的问题？这是关键.

12 例1.下列问题中，哪些属于排列问题？ (1)从２、３、５、７这四个数中，任取出２个不同的数相乘,有多少个不同的积？
(2)从２、３、５、７这四个数中，任取出２个不同的数相除,有多少个不同的商？ (3)从５名学生中选出2人去打扫卫生，有多少种不同选法？ (4)从５名学生中选出2人去打扫卫生，其中一人扫地一人擦窗，有多少种不同选法？

13 例1.下列问题中，哪些属于排列问题？ (5)用２、３、５、７中的数字组成多少个不同的两位数？
(6)从２、３、５、７这四个数字中选出不同的２个数字，可以组成多少个不同的两位数？ (7)有10种不同的生活用品各n件（n≥3），从中取出3件发给3个学生，每人一件，有多少种不同的发放方式？ (8)有10件不同的生活用品，从中取出3件发给3个学生，每人一件，有多少种不同的发放方式？

14 例1小结 鉴别是否为排列问题的标准主要有： (1)所给的n个元素是不是互不相同(即没有重复元素)，也包括取出的m个元素互不相同(即没有重复抽取的元素). (2)取出的m个元素是不是和顺序有关. 一旦确定是排列问题，那么求方法种数的问题就可以转化为求排列数的问题.

15 例1.下列问题中，哪些属于排列问题？ (5)用２、３、５、７中的数字组成多少个不同的两位数？
(6)从２、３、５、７这四个数字中选出不同的２个数字，可以组成多少个不同的两位数？ (7)有10种不同的生活用品各n件（n≥3），从中取出3件发给3个学生，每人一件，有多少种不同的发放方式？ (8)有10件不同的生活用品，从中取出3件发给3个学生，每人一件，有多少种不同的发放方式？

16 排列数公式的推导 求排列数 ，可以按依次填m个空位来考虑，从第1个空位到第m个空位依次有n，n-1，n-2，…，n-m+1种选法，这样我们就得到了排列数的公式. 第1位 第2位 … 第m位 n n-1 n-m+1

17 公式特征 m项 连乘式

18 全排列 特别地，当m=n，也就是 n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.有

19 排列数公式的阶乘形式

20 例2.利用排列数公式计算： 解：

21 例3.求解下列问题：

22 本题说明了“元素”和“位置”的相对性 例4. (1)10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一个人，则共有多少种不同的坐法？ (2)6个人走进有10把不同椅子的屋子，每个人必须且只能坐一把椅子，则共有多少种不同的坐法？

23 例5. 某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是：

24 课堂小结 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
排列数公式：

25 1.2.1排列（第二课时）

26 复习巩固 1 .排列的定义： 从n个不同元素中，任取m( )个元素（m个元素不可重复取）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数的定义： 从n个不同元素中，任取m( )个元素的 所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元 素的排列数

27 4.有关公式： 3.全排列的定义： n个不同元素全部取出的一个排列， 叫做 n个不同元素的一个全排列. （2）排列数公式:
(3)全排列数公式：

28 计算:求 的值.

29 例.求证： 例.解不等式： 化简： 解：

30 例2：(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同送法？
(2)有5种不同的书，要送3本给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

31 （一）特殊优先，一般在后 对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。 对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例3 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数 字的三位数，其中偶数共有（ ） A B C D.60

32 把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理再分段处理.
（二）分排问题用“直排法” 把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理再分段处理. 例4: 6 个不同的元素排成前后两排, 每排 3 个元素, 求不同的排法种数. 720 练 习 （1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、 后排四人，有几种不同排法？ （2）八个人排成两排，有几种不同排法？ （3） 8 个不同的元素排成前后两排, 每排 4 个元素, 其中某 2 个元素要排在前排, 某 1 个元素要排在后排, 有多少种排法？

33 (三）元素相邻，整体处理 （捆绑法） 把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个“大元素”, 然后与其他“普通元素”全排列, 然后再“松绑”,
(三）元素相邻，整体处理　（捆绑法） 把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个“大元素”, 然后与其他“普通元素”全排列, 然后再“松绑”, 将这些特殊元素在这些位置上全排列. 例5、 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻， 分别有多少种站法？ 练：5个男生3个女生排成一列，要求女生排 在一起，共有几种排法？

34 (四)元素间隔，分位插入　（插空法） 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。 例6 :7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，有多少种站法？

35 （五）正难则反，间接处理（间接法） 对于某些排列问题的正面情况较复杂， 而反面情况较简单时，可先考虑无限制条件
的排列，再减去其反面情况的总数，此时应 注意既不能多减又不能少减。 例7 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字 的三位数，其中1不在个位的数共有_______种. 练 习 1、五人从左到右站成一排，其中甲不站排头， 乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ） A B C D.72 2、0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字 且个位数字不是4的五位数？

36 练习：三名女生和五名男生排成一排，问各有多少种不同的排法？
（1）如果女生全排在一起； （2）如果女生全分开； （3）如果两端都不能排女生； （4）如果两端不能都排女生. （1）A66 A33 =4320 （2）A55A63=14400 （3）A52A66=14400 （4）A52A66+2A31A51A66=36000 或A88- A32 A66=36000

37 百位 十位 个位 解法一：对排列方法分步思考。
例8：某信号兵用红，黄，蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 例9：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法一：对排列方法分步思考。 百位 十位 个位 从位置出发

38 解法三：间接法. 解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类： 从元素出发分析 根据加法原理 逆向思维法
百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位 根据加法原理 解法三：间接法. 逆向思维法 从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ， 其中以0为排头的排列数为 ∴ 所求的三位数的个数是

39 有约束条件的排列问题 例10：一天要排语、数、英、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？

40 三、应注意的问题 1、仔细审题，明确题意； 2、明确问题的限制条件，注意特殊元素 和特殊位置； 3、正难则反，等价转化； 4、有时要结合分类计数原理和分步计数 原理来分析，合理地进行分类或分步， 通过讨论来解决问题； 5、要防止重复和遗漏.

41 6．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型:
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； 7．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略

42 （２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略
（３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 不相邻问题插空处理的策略

43 1.2.1排列（第三课时）

44 （六）信投信箱 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能 重复的元素看作“信”，能重复的元素看作“信箱”， 再利用乘法原理直接求解. 例1:七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由 一人获得，获得冠军的可能的种数有多少?

45 （七）特征分析 研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提 供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解. 例2: 由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成 多少个无重复且是6的倍数的五位数？ 练 习 （1）三个男生，四个女生排成一排，甲不能在中间， 也不在两头，有几种不同方法？ （2）三个男生，四个女生排成一排，甲只能在中间或 两头，有几种不同排法？

46 例3、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_____种
（八）实验法 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验 逐步寻求规律有时也是行之有效的方法. 例3、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_____种 １号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填法。１号方格填好后，再填与１号方格内数字相同的号的方格，又有３种填法，其余两个方格只有１种填法. 所以共有3*3*1=9种不同的方法.

47 （九）定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序, 可用缩小倍数的方法.
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序, 可用缩小倍数的方法. 例4 A、B、C、D、E 五个人并排站成一排, 如果 B 必须站在 A 的右边(A、B可不相邻), 求不同的排法种数. 例5 六个人并排站成一排, 乙必须站在甲的右边, 丙必须站在乙的右边, 求不同的排法种数.

48 例6：用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个 区域涂色，规定每个区域只涂一种色，相邻区域 颜色不同，求有多少种不同的涂色方法
（十）涂色问题 例6：用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个 区域涂色，规定每个区域只涂一种色，相邻区域 颜色不同，求有多少种不同的涂色方法 B A C D

49 练习、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同
一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求 不同的染色方法总数. 解 四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染颜色互不相同，它们共有5×4×3=60（种）染色方法. 当S、A、B已染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜5，则D可染颜色3或4，也有2种染法；若C染颜色2，则D可染颜色3或4或5，有3种染法.可见，当S、A、B已染好时，C与D还有7种染法.根据乘法原理，可以有60×7=420种染法.

50 （十一）交叉问题集合法 有些排列组合问题几部分之间有交集, 可用集合中求元素个数公式 n(A∪B)=n(A)+n(B)- n(A∩B).
例7 从 6 名运动员中选出 4 个参加 4×100m 接力赛, 如果甲不跑第一棒, 乙不跑第四棒, 共有多少种不同参赛方法？ n(I)-n(A)-n(B)+n(A∩B)= 例8 将 8 张卡片AABBCDEF排成一列, 相同字母的卡片不相邻的排法有多少种?

51 例9：用0-5这六个数字可以组成没有重复的 （1）四位偶数有多少个？奇数？ （2）能被5整除的四位数有多少？ （3）能被3整除的四位数有多少？ （4）能被25整除的四位数有多少？ （5）十位数比个位数大的三位数？ （6）能组成多少个比240135大的数？若把 所组成的全部六位数从小到大排列起来， 那么240135是第几个数？

52 引申练习 1、八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？
2、八人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，有两人相邻但这三人不同时相邻的排法有多少种？ 3、在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加4x100接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有多少种？ 4、从1~9这九个数字中取出5个不同的数进行排列，求取出的奇数必须排在奇数位置上的五位数的个数。

53 有约束条件的排列问题 例10：某小组6个人排队照相留念．求下列不同的排法 （1）站成前后两排照相，前排2人，后排4人，
（2）若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排， （3）若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起 （4）若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾， （5）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻 （6）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，男女生交叉排列 对于相邻问题，常用“捆绑法” 对于不相邻问题，常用 “插空法”

54 变式：若直线Ax+By+C=0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是（ ）
例11、从数字0，1，3，5，7中取出不同的三位数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个？ 2 变式：若直线Ax+By+C=0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是（ ） A B C D.22 A

55 思考题 解 分三个步骤： 第一步：首位可放8-1=7个数； 第二步：十位可放6个数； 第三步：个位可放4个数.
例12、4张卡片的正、反面分别有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？ 解 分三个步骤： 第一步：首位可放8-1=7个数； 第二步：十位可放6个数； 第三步：个位可放4个数. 根据乘法原理，可以组成N=7×6×4=168个数. 思考题

56 方法总结 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； 2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略 （２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略 （３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理的策略

57 典型排列问题： 1. 7人排成一排，根据下列条件，分别求各有多少种不同的排法？
1)甲只能排中间；2)甲、乙两人必须排两头；3)甲不在两头；4)甲在乙左侧. 2.四男三女排成一排，按下列要求各有多少种不同排法？(1)男女生各排在一起；(2)女生一定不相邻；3)甲、乙两人相邻，其它条件不限.

58 典型排列问题： 3.用0到6七个数字组成没有重复数字的五位数，按下述要求，分别求出其个数：(1)大于25000；(2)能被5整除；(3)偶数. 练：用0到4五个数字组成数字不重复的五位数，从小到大排列起来，第86个是什么？ 4.三男三女相间排列，求排列种数？ 5.a,b,c,d,e规定a,b,c次序一定，求有多少种不同排法？

59 典型排列问题： 6.现有0,3,4,5,6,7六张卡片，由这六张卡片可以组成多少个不同的3位数？(说明)
7.一条铁路原有n个车站，为适应客运需要，新增加m个车站 客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少车站？ 8.八个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有两人相邻但这三人不同时相邻的排列法有多少种？