Ch1空間向量 1-1空間概念.

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1 Ch1空間向量 1-1空間概念

2 甲、直線與直線的關係 空間中兩直線L1與L2的相交情形﹐可分兩類﹐ 共有4種可能﹒ (一)當L1與L2 在同一平面時：
課本頁次：2

3 甲、直線與直線的關係 空間中兩直線L1與L2的相交情形﹐可分兩類﹐ 共有4種可能﹒ (一)當L1與L2 在同一平面時：
(2) L1與L2 恰交於一點P L1 L2 P L1與L2 恰交於一點P 課本頁次：2

4 甲、直線與直線的關係 空間中兩直線L1與L2的相交情形﹐可分兩類﹐ 共有4種可能﹒ (一)當L1與L2 在同一平面時：
課本頁次：2

5 甲、直線與直線的關係 空間中兩直線L1與L2的相交情形﹐可分兩類﹐ 共有4種可能﹒ (二)當L1與L2 不在同一平面時：
課本頁次：3

6 甲、直線與直線的關係 歪斜線 當空間中兩相異直線L1與L2既不相交也不平行時﹐ 稱此二直線L1 ﹐L2 為歪斜線﹒ 課本頁次：3

7 例1 ∴選(3)(4) 右圖是一個長方體﹐下列哪些直線與直線AE 歪斜？ (1)直線AB (2)直線DH (3)直線FG (4)直線FH
C B A E D F (1)直線AB (2)直線DH (3)直線FG (4)直線FH 解： (1) ×： 直線AB與直線AE相交於A點 (2) ×： 直線DH與直線AE平行 (3) ○： 直線FG和直線AE歪斜 (4) ○：直線FH和直線AE歪斜 ∴選(3)(4) 課本頁次：3

8 練1 右圖是一個八面體﹐ABCD為一正方形 問：下列哪些直線與直線AD歪斜？ (1)直線 CD (2)直線 BC (3)直線 CF
(4)直線 FB 解： (1) × ：直線CD與直線AD交於D點 (2) × ：直線 BC與直線AD平行 (3) ○：直線 CF與直線AD歪斜 (4) ○：直線 FB與直線AD歪斜 ∴選(3)(4) 課本頁次：3

9 乙、直線與平面的關係 決定一平面的條件： (1) 不共線三點 A C B 不共線三點 A, B, C 課本頁次：4

10 乙、直線與平面的關係 決定一平面的條件： (2)一直線與線外一點 E P L 一直線L與線外一點P 課本頁次：4

11 乙、直線與平面的關係 決定一平面的條件： (3)兩相交直線 E L2 L1 兩相交直線L1與L2 課本頁次：4

12 乙、直線與平面的關係 決定一平面的條件： (4)兩平行直線 E L1 L2 兩平行直線L1與L2 課本頁次：4

13 乙、直線與平面的關係 空間中一直線L與一平面E的相交情形： (1)L與E不相交,我們稱L與E平行 L E L與E平行 課本頁次：4

14 乙、直線與平面的關係 空間中一直線L與一平面E的相交情形： (2)L與E恰交於一點P L E P L與E恰交於一點P 課本頁次：4

15 乙、直線與平面的關係 空間中一直線L與一平面E的相交情形： (3)L落在E上 E L L落在E上 課本頁次：4

16 直線與平面垂直的定義 當直線L與平面E相交於P點﹐而且E上通過P點 的每一條直線均與L垂直時﹐稱L與E垂直﹐ 並以L  E表示﹒ L E
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17 直線與平面垂直 若平面E 上兩相異直線L1, L2均與L垂直﹐則平面E上 其他通過P點的直線就會與L垂直﹐即L與E垂直﹒ L L1 E L2
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18 例2 右圖是一個長立方體, , , 求 的長﹒ 解： 課本頁次：5

19 練2 ∵ 右圖是一個邊長為 2 的正立方體﹐ 的長﹒ O 是底面的中心﹐A 為頂點﹐求 解： 且 是直角三角形  2 又 得 是直角三角形
∴ 課本頁次：6

20 丙、平面與平面的關係 空間中兩個平面E1與E2有以下3種相交的情形： (1)E1與E2不相交﹐我們稱平面E1與E2平行 E2 E1
課本頁次：6

21 丙、平面與平面的關係 空間中兩個平面E1與E2有以下3種相交的情形： (2)E1與E2交於一直線L ﹐我們稱L為E1與E2的交線 L
課本頁次：6

22 丙、平面與平面的關係 空間中兩個平面E1與E2有以下3種相交的情形： (3)E1與E2重合 E1 E2 E1與E2重合 課本頁次：6

23 丙、平面與平面的關係 二面角： 在空間中兩個相異平面E1與E2交於一直線L時 E1 E2 L 課本頁次：7

24 丙、平面與平面的關係 二面角： 在空間中兩個相異平面E1與E2交於一直線L時 以L為分界截取圖形 E1 E2 L 課本頁次：7

25 丙、平面與平面的關係 二面角： 在L上任取一點P ﹐並由P點分別在E1與E2上作兩條 和L垂直的射線PQ,PR ﹐QPR的大小為
（0o<  < 180o）為此二面角的大小﹒ 註： QPR的大小不因為P點的選取位置而有所不同 E1 Q L E2 R P 課本頁次：7

26 丙、平面與平面的關係 二面角： 交於一直線之兩平面有兩個不同大小的二面角﹐ 這兩個夾角互為補角
當兩平面E1與E2的夾角為直角時﹐稱E1與E2互相垂直﹐ 以E1⊥E2表示 課本頁次：7

27 丙、平面與平面的關係 四面體 當一個立體圖形有四個面﹐且每一個面都是 三角形時﹐我們稱此立體圖形為四面體﹒ 課本頁次：7

28 丙、平面與平面的關係 正四面體 若四面體的每一個面都是正三角形時﹐則 稱此四面體為正四面體﹒ 課本頁次：7

29 丙、平面與平面的關係 正四面體 沿著虛線折起 課本頁次：7

30 丙、平面與平面的關係 正四面體 ABCD為一個正四面體﹐當從頂點A對底面BCD作 垂線 交底面於H點時﹐稱 為正四面體的高 沿著虛線折起
課本頁次：7

31 例3 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： 課本頁次：8

32 例3 ∵△BCD是正三角形H亦為△BCD的重心 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解：
正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： H為△BCD的外心 ∵△BCD是正三角形H亦為△BCD的重心 課本頁次：8

33 例3 ∵△BCD是正三角形H亦為△BCD的重心 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解：
正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： H為△BCD的外心 ∵△BCD是正三角形H亦為△BCD的重心 設M為 中點 課本頁次：8

34 例3 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： (1) 正四面體的高 課本頁次：8

35 例3 正四面體的邊長為2﹐任兩面所夾的二面角為 ﹐ 求 (1) 正四面體的高 (2) 的值 解： (2) 的值 ∴ 課本頁次：8

36 練3 右圖是一個各邊長皆為2的四角錐﹐ ABCD是一個正方形 (1)求高 的長 解： H為正方形的中心 ∴高 課本頁次：9

37 練3 ∴ 右圖是一個各邊長皆為2的四角錐﹐ ABCD是一個正方形 (2)二側面ABE與ADE所夾的 兩面角為 ﹐求cos 的值 解： 取
M (2)二側面ABE與ADE所夾的  兩面角為 ﹐求cos 的值 解： 的中點M  取 △BMD中 且 ∵∠BMD = ∴ 課本頁次：9

38 丁、三垂線定理 設直線AB垂直平面E於B點﹐且L是平面E上一條直線 課本頁次：9

39 丁、三垂線定理 設直線AB垂直平面E於B點﹐且L是平面E上一條直線 若直線BC垂直L於C點﹐則直線AC也垂直L於C點 課本頁次：9

40 丁、三垂線定理 ∴△ACP是一個直角三角形﹐即直線AC垂直L於C點 證： 在L上取異於C的一點P
∠ABC =∠ABP =∠BCP = 90o ∴△ACP是一個直角三角形﹐即直線AC垂直L於C點 課本頁次：9

41 D是L上一點﹐如圖所示﹒ 若直線 BC垂直 L於 C點﹐ 且 ﹐ 則 的長度為何？
例4 設直線AB 垂直平面E 於點B﹐ 且 L是平面 E上一條直線﹐ D是L上一點﹐如圖所示﹒ 若直線 BC垂直 L於 C點﹐ 且 ﹐ 則 的長度為何？ 解： 由三垂線定理﹐得直線 AC垂直 L於 C點﹐ △ACD是一個直角三角形 ∴ 課本頁次：10

42 練4 ∴ 設直線AB垂直平面E於B點﹐ L是平面E 上一條直線﹐且D是L上一點﹐如圖所示﹒若直線BC垂直L於C點﹐且 ,則 的長度為何﹖
,則 的長度為何﹖ 解： 由三垂線定理得直線AC垂直L於C點﹐ ∴ 課本頁次：10

43 長度分別為15與20公尺的兩面圍牆立於地面上﹐它們的高度都是5公尺﹐而且互相垂直﹐如下圖 所示：
例5 長度分別為15與20公尺的兩面圍牆立於地面上﹐它們的高度都是5公尺﹐而且互相垂直﹐如下圖 所示： C B A 有一隻貓咪趴在兩牆相交的頂點 C處﹐注視著 從一牆之牆角A沿著直線跑到另一牆之牆角B的 老鼠﹒問： (1)在整個注視的過程中﹐貓咪與老鼠的最近距離 是幾公尺？ (2)已知通過A,B,C三點的面與地面的夾角為 ﹐ 求sin的值﹒ 課本頁次：11

44 例5 C 解： D A H B 從兩牆相交的底點D作AB的垂線DH﹐ 連接CH 三垂線定理可知：直線CH垂直於直線AB
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45 例5 解： 直角三角形ADB 面積 課本頁次：11

46 例5 解： 在直角三角形CHD中﹐ ∴(1) 貓咪與老鼠的最近距離為13(公尺) 課本頁次：11

47 例5 解：  (2) ∵ 及 通過A, B, C三 點的面與地面的夾角 =∠CHD ∴ 課本頁次：11

48 練5 ∴塔頂到河流的最短距離為17公尺 如圖﹐在8公尺高的塔頂上﹐俯望成直線狀 的河流﹒已知塔底中心到河流的最近點是15公尺﹐
求塔頂到河流的最短距離﹒ 設河流所在的直線為L 解： P ⊥L ∵ 且  ⊥L ﹐ L Q ∴塔頂到河流的最短距離為17公尺 課本頁次：12

49 離開確認 你確定要離開嗎？