線 性 代 數 第 3 章 行列式.

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1 線 性 代 數 第 3 章 行列式

2 本章內容 3.1 行列式之介紹 3.2 行列式之性質 3.3 行列式之數值解 3.4 行列式、反矩陣及線性方程式系統

3 3.1 行列式之介紹 行列式(determinant)註記為|A| 例題1: 求A 之行列式 解:

4 3.1 行列式之介紹 元素aij之子行列式(minor)，註記為Mij，定義為方陣A刪去第i列第j行後留存矩陣之行列式。
元素aij之餘因子(cofactor)，註記為Cij，定義為Cij = (1)i+jMij

5 3.1 行列式之介紹 例題2:元素a11與a32之子行列式及餘因子

6 3.1 行列式之介紹 餘因子展開(cofactor expansion)

7 3.1 行列式之介紹 例題3: 求下列矩陣A之行列式值 解:

8 3.1 行列式之介紹 例題4: 試利用第二列之餘因子展開，求取下列矩陣A之行列式值 解:

9 3.1 行列式之介紹 例題4: 求取下列矩陣之行列式值 解:

10 3.1 行列式之介紹 例題5: 求x的解 解:

11 3.2 行列式之性質 性質 令A為一n × n方陣，c為一非0純量， (1)若矩陣B係由矩陣A某列（行）等乘以c而得，則|B| = c|A|
(2)若矩陣B係由矩陣A任意交換二列（行）而得，則|B| =  |A| (3)若矩陣B係由矩陣A任意一列（行）之倍數加總至另一列（行）而得，則|B| = |A|

12 3.2 行列式之性質 例題1:求取下列行列式值 解:

13 3.2 行列式之性質 一方陣A為奇異(singular)矩陣，若 |A| = 0；為非奇異矩陣(nonsingular)， |A|  0
例題3: 證明下列矩陣為奇異 解:

14 3.2 行列式之性質 令A, B均為n × n方陣，c為一非0純量， 純量乘積之行列式值： |cA| = cn|A|.
矩陣乘積之行列式值： |AB| = |A||B|. 轉置矩陣之行列式值： |At| = |A|. 反矩陣之行列式值： (假設 A–1存在 )

15 3.2 行列式之性質 例題4:若A為一2 × 2方陣，試計算下列行列式值 解:
(a) |3A| (b) |A2| (c) |5AtA–1|, 假設 A–1存在 解:

16 3.3 行列式之數值解 一個方陣被稱為上三角矩陣(upper triangular matrix)，若其主對角線以下元素全部為0；而若該矩陣主對角線以上元素全部為0，則稱之為下三角矩陣(lower triangular matrix) 三角矩陣之行列式值等於其對角線元素之乘積。 例題1:

17 3.3 行列式之數值解 例題2: 求下列矩陣之行列式值 解:

18 3.3 行列式之數值解 例題3: 求下列行列式值 解:

19 3.3 行列式之數值解 例題4: 求下列行列式值 解:

20 3.3 行列式之數值解 例題5: 求下列行列式值 解:

21 3.4 行列式、反矩陣及線性方程式系統 令A為一n × n矩陣，且為之餘因子。則以為元素(i, j)的矩陣稱為矩陣A之餘因子矩陣(matrix of cofactors)，而其轉置矩陣稱為矩陣A之伴隨矩陣(the adjoint of A)，註記為adj(A)。

22 3.4 行列式、反矩陣及線性方程式系統 例題1: 試求下列矩陣之餘因子矩陣及伴隨矩陣 解:

23 3.4 行列式、反矩陣及線性方程式系統 令A為一方陣， |A|  0，則A為可逆，則
一方陣A為可逆，若且唯若 |A|  0. (A–1存在，若且唯若 |A|  0)

24 3.4 行列式、反矩陣及線性方程式系統 例題2: 方陣A是否可逆 解: |A| = 5  0. A為可逆

25 3.4 行列式、反矩陣及線性方程式系統 例題3: 利用反矩陣公式求解下列矩陣之反矩陣 解:

26 3.4 行列式、反矩陣及線性方程式系統 例題4:下列線性方程式系統是否具有唯一解 解: 無唯一解。

27 3.4 行列式、反矩陣及線性方程式系統 克拉瑪法則
令 AX = B為一n個方程式、n個未知數之線性方程式系統，且 |A|  0，則系統具唯一解，且可寫成 其中Ai為將常數行矩陣B取代矩陣A第i列後所得之矩陣。

28 3.4 行列式、反矩陣及線性方程式系統 例題5: 試利用克拉瑪法則求解下列線性方程式系統 解:

29 3.4 行列式、反矩陣及線性方程式系統 例題6: 試求解可使下列線性齊次方程式系統有非0解之 值 解:

30 習題: 綜合習題 1,2,3,4,5,6,7,8,12,13 本 章 結 束 !