第四模块　函数的积分学 第三节　第二类换元积分法.

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1 第四模块　函数的积分学 第三节　第二类换元积分法

2 第二换元法定理 定理 2　(第二换元法) 设函数 f (x) 连续， 函数 x = j (t) 单调可微， 且 j (t)  0， 则

3 1.简单根式代换 例 22　求 解　为了去掉被积函数中的根号， 则 dx = 2tdt ， 于是有

4 回代变量， 得

5 例 23　求 解　被积函数含根式 为了去掉根号， 则 dx = 4t3 dt， 于是有

6 回代变量， 得

7 例 24　求 解　为了去掉被积函数中的根号， 于是有

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9 2.三角代换 例 25　求 解 ≤ 则 dx = acost dt， 于是有

10 画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.
把变量 t 换为 x . 为简便起见， a 　画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图. x t 于是有

11 例 26　求 解 则 dx = asec2 tdt ， 于是有

12 　　　　　　　　　作辅助三角形， 得 x t a 其中 C = C1 - lna .

13 例 27　求 解　令 x = a sec t， 则 dx = a sec t tan t dt， 于是有

14 　　　　　　　　　作辅助三角形， a x t 得 其中 C = C1 – lna .

15 作三角代换 x = a sin t 或 x = a cos t；
作三角代换 x = a tan t 或 x = a cot t； 作三角代换 x = a sec t 或 x = a csc t.

16 例 28　求 解法一　三角代换法. 令 x = tan t， 则 dx = sec2 tdt， 于是得

17 1 x t 　　　　　　　　　作辅助三角形， 根据 tan t = x， 得 = ln |csc t – cot t | + C

18 解法二　凑微分法. 于是有

19 解法三　根式代换法. 于是有

20 例 29　求 解