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3.1.3 空间向量的数量积运算
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学习目标 1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.
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3.1.3 空 间 向 量 的 数 积 运 算 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
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温故夯基 夹角 〈a,b〉 |a||b|cos 〈a,b〉 数量积 a·(b+c) =a·b+a·c a·b=b·a λ(a·b)
课前自主学案 温故夯基 夹角 〈a,b〉 |a||b|cos 〈a,b〉 数量积 a·(b+c) =a·b+a·c a·b=b·a λ(a·b) a·(λb)
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知新益能 〈a,b〉 [0,π] a⊥b
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2.空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b. (2)数量积的运算律: 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b=_______ 交换律 a·b=_____ 分配律 a·(b+c)=__________ λ(a·b) b·a a·b+a·c
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问题探究 1.〈a,b〉与〈b,a〉的关系是怎样的?〈a,b〉与〈a,-b〉的关系呢? 提示:〈a,b〉=〈b,a〉;〈a,-b〉=π-〈a,b〉. 2.(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a·b=0,对吗? (2)若a·b=0,则a=0或b=0,对吗? 提示:(1)不对;(2)不对.
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课堂互动讲练 考点突破 空间向量数量积的运算 在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用几何性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.在解题过程中注意适当地设向量,以简化步骤.
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例1 【思路点拨】
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用数量积解决夹角问题
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已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求异面直线OE与BF所成角的余弦值.
例2
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互动探究2 在上面的空间四边形中,求OA与BC所成的角.
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用数量积解决两点间的距离问题
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已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都是a,点M、N分别是边AB、CD的中点,求MN的长.
例3
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利用向量解决垂直问题 证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直,将两个方向向量表示为几个已知向量a,b,c的线性形式,然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直,进而转化为直线垂直.
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在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
例4 【思路点拨】 设法证明A1O与平面GBD内的两相交直线垂直.
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变式训练3 在三棱锥SABC中,SA⊥BC,SB⊥AC,求证:SC⊥AB.
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方法感悟 1.对向量数量积的理解 (1)a·b是数量而不是向量,a·b的正负由cos〈a,b〉确定. (2)a·b是两向量之间的一种乘法,与数的乘法不同.书写时应写成a·b,而不能写成ab. (3)a·b的几何意义为:a·b等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cos〈a,b〉的乘积,也等于向量b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos〈a,b〉的乘积. (4)零向量与任何向量的数量积都为0,即0·a=0.
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知能优化训练
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