第二部分 代数引论.

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1 第二部分 代数引论

2 要求掌握的内容 群 环的概念 域的概念 会判断 子群、陪集的概念 线性空间的概念

3 欧几里德除法 设b是正整数，则任意正整数a > b皆可唯一地表示成 a = qb + r 0≤ r < b

4 最大公约数、欧几里德算法、最小公倍数 同时除尽a,b,…,l(不全为0)的正整数，称为a,b,…,l的公约数，其中最大者称为最大公约数，用(a,b,…,l)或者GCD(a,b,…l)表示。若(a,b,…,l)=1,则称a,b,…,l互素。 给定两正整数a, b, 且a>b，若a=bq+r，则(a, b)=(b, r)——根据该定理可以求2个数的最大公约数 欧几里德算法：给定任意正整数a,b，必存在有整数A，B使 (a, b) = Aa+Bb 最小公倍数：设a,b为任意两个正整数，若有一整数M使a|M, b|M，则称M是a,b的公倍数，其中最小的正公倍数称为最小公倍数，记为[a, b]或LCM(a, b)。

5 同余和剩余类 同余：若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则称a、b关于模m同余，记为
剩余类(Residue)：给定正整数m，可将全体整数按余数相同进行分类，可获得m个剩余类，分别用

6 群(Group)的定义 设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 “ 。”，若满足： ，恒有 1) 封闭性。对任意
2) 结合律。对任意 ，恒有 3) G中存在一恒等元e,对任意 ，使 4) 对任意 ，存在a的逆元 ，使 则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示， 若为乘法，恒等元称为单位元

7 Examples: 1、全体整数 对加法构成群 对乘法不构成群 2、全体偶数 对加法构成群 对加法构成群 3、全体实数 对加法构成群 除0元素外，对乘法构成群 4、全体复数 对加法构成群 除0元素外，对乘法构成群 对加法构成群 5、全体有理数 除0元素外，对乘法构成群 6、模m的全体剩余类, 对模m加法构成群 对模m乘法，除0外， 根据m值不同

8 有关群的几个概念 群的阶(Order of a Group) 有限群(Finite Group)、无限群(Infinite Group)
加群、乘群 阿贝尔群(Abel Group) 半群、若群

9 群 群G的单位元是唯一的 群中每个元素的逆元是唯一的 若a,b∈G，则(a*b)-1=b-1*a-1
给定G中任意两个元素a和b，方程a*x=b和y*a=b在G中有唯一解 令G为二元运算*下的一个群，H为G的一个非空子集，若 i) H在二元运算*下封闭，ii）H中任意元素a，a的逆元仍在H中，则H是G的一个子群。

10 四、环(Ring)的定义 非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足： 1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 2) 乘法有封闭性
3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律

11 Examples: 1、全体整数 构成环 2、全体偶数 3、全体实数 4、全体复数 5、全体有理数 6、模m的全体剩余类,

12 五、有关环的几个概念 有单位元环（对于乘法而言） 可换环(Commutative Ring) 有零因子环 整环(Domain)，既无零因子环
除环(有单位元、每个非零元素有逆元，非可换的环)

13 六、域(Field)的定义 非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且满足： 1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0
3) 加法和乘法之间满足分配律

14 Examples: 构成环，不构成域 1、全体整数 2、全体偶数 构成环，不构成域 构成域 3、全体实数 构成域 4、全体复数 5、全体有理数 构成域 6、模m的全体剩余类, 设q为素数，则整数全体关于模q的剩余类 在模q的运算下(模q加和乘)构成q阶有限域GF(q)

15 子群的定义 子群：若群G的非空子集H对于G中定义的代数运算也构成群，称H为G的子群
群G的非空子集H为G的子群的充要条件：1）若a∈H, b∈H,则ab∈H；2）若a∈H，则a-1∈H H是G的子群的充要条件：对任何a，b∈H，恒有ab-1∈H

16 陪集的概念 定义：H是群G的一个子群，g是G中的任意一个元素，将g左（右）乘H中的每一个元素，得到一个集合，记为gH（Hg），该集合为子群H的一个左（右）陪集，g为该陪集的陪集首。 Examples: 对整数全体，以3为倍数的整数全体是一个 子群，可按此子群对全体整数划分陪集

17 陪集的概念 若H是G的子群，则可利用H把G划分等价类 用g1, g2,…表示群G中的元素，用h1, h2表示子群H中的元素 子群H 左陪集
陪集首

18 陪集的性质 令H为群G在二元运算*下的一个子群，则H的陪集中任意两个元素互不相同 对群G的子群H，其任意两个不同的陪集之间没有相同的元素
拉格朗日定理：设G为一个n阶群，H为一个m阶子群。 则m可以整除n且划分G/H由n/m个H的陪集构成。 （有限群的子群的阶数，一定是整个群的阶数的因子）

19 线性空间 如果域F上的n重元素集合V满足下述条件： 则称V是域F上的一个n维线性空间或矢量空间， 一般用VnF表示。
2、对对V中任何元素v和F中任何元素c， cv∈V。 我们称V中元素v为矢量(向量)， F中元素c为纯量或标量， 称乘c运算为数乘。 3、分配律成立， 对任何u， v∈V， c， d∈F恒有： c(u+v)=cu+cv ， (c+d)v=cv+dv 4、若c, d∈F , v∈V, 有: (cd)v=c(dv), 1·v=v, 1∈F 则称V是域F上的一个n维线性空间或矢量空间， 一般用VnF表示。 几个概念：线性子空间，线性组合，线性相关，线性独立，张成，基底，维数

20 线性结合代数 域F上的有限维线性空间A，若元素之间定义了乘法， 且有如下性质： (1) 乘法封闭。 对每一个a, b∈A， 恒有ab∈A。
(2) 乘法结合律成立: 对每一个a, b, c∈A恒有 (ab)c=a(bc)。 (3) 分配律成立 ① a(ab+bc)=a(ab)+b(ac) ② (ab+bc)a=a (ba)+b (ca) a,b∈F， a, b, c∈A 则称A是一个线性结合代数。 它的阶数定义为它作为线性空间时的维数。 如果A关于乘法有逆元(0元除外)， 则称A为可除代数。

21 矩 阵 置换，相等，相加，相乘 矩阵相乘不满足交换律 矩阵的分块，矩阵的秩 矩阵的初等运算，等价矩阵，梯形标准阵
非奇异矩阵，奇异矩阵零化空间 范德蒙矩阵