(SHM Simple Harmonic Motion)

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1 (SHM Simple Harmonic Motion)
等速圓周運動與簡諧運動 (SHM Simple Harmonic Motion) 以直角座標系描述等速圓周運動，則其位移為 而其速度與加速度為

2 T為該運動的週期(period)。上述運動的週期為（繞一圈或角位移為2所需時間）T=2/。習慣上，我們常以頻率(frequency) f來描述此週期性運動，f =1/ T = /2，而稱之為該運動的角頻率(angular frequency)。頻率的單位為s-1或hertz (Hz)。 正弦（或餘弦）函數中的變數值(t+)被稱為該運動的相位(phase)，所以對圓周運動而言，速度與位移的相位差為90o或/2，而加速度與位移的相位差為180o或。

3 以動力學的觀點來看，圓周運動投射於一維座標上所遵守的運動定律為
所以簡諧運動的形成主要為物體受到一恢復力(restoring force)的影響，亦即受力的方向與偏離平衡點（受力為零之處）的位移方向相反，且此力的大小線性正比於其偏移量的大小。 由此敘述我們知道，符合此狀況的最直接例子為彈簧系統。

4 考慮彈性係數為k的彈簧系統中，一質量為m的物體連結於此彈簧上，當彈簧壓縮量為x時，物體所受的力為
這顯示此物體的位移滿足微分方程 滿足此微分方程之解的一般形式為

5 此為前面所敘述的簡諧運動，而其週期與頻率為
例題一：一質量為1300kg車子的避震器彈性係數為20,000N/m。當它乘載兩個人總質量為160kg時，路經一坑洞使得車子上下震動，問其振動頻率為何？

6 單擺(Simple Pendulum)與物理擺(Physical Pendulum)
由牛頓定律我們有 當角度不大時，sin  。再將弧長s = L代入，單擺的運動方程可重新寫為

7 此運動方程與由彈簧系統所得到的微分方程一樣，所以符合此運動方程的解為
角位移對時間為一簡諧運動，擺動週期與頻率為 思考問題：若將繩子改為彈簧，彈簧掛上物體後的平衡長度為L，問此擺的週期會大於、小於或等於繩子擺？

8 假若擺的質量並非集中於擺長的另一端，而是須要考慮質量於空間的分佈（如圖所示），則我們稱此為物理擺(physical pendulum)。
因重力對此系統所施的力矩而產生的運動為滿足： 考慮當擺動的角度不是很大時：

9 此擺動對角度值而言為一簡諧運動。其週期為
A uniform rod of mass M and length L is pivoted about one end and oscillates in a vertical plane. Find the period of the oscillation if the amplitude of the motion is small.

10 扭擺(Torsional Pendulum)
繩索因此角度扭轉而施予此物體一力矩，其大小與扭轉角度成正比，方向為減小此扭轉角度的方向。由此我們可以寫出此系統的運動方程 所以，扭擺亦為一簡諧運動。其頻率為

11 阻尼諧振子(Damped Oscillators)
考慮一系統的阻力(retarding force)為R=-bv，恢復力(restoring force)為-kx，則由牛頓運動定律可得 此運動方程與所熟悉的簡諧運動微分方程差異於多出一次微分項。在此微分方程中，對函數x而言為齊次方程，故在解此類型的微分方程時，我們可以複數形式當成微分方程一般解的形式。

12 首先將微分方程整理成 再將此一般解形式代入方程中可得特徵方程 此特徵方程的兩個解為

13 過阻尼情況(overdamped oscillator)
臨界阻尼情況(critical damped oscillator) 阻尼不足情況(underdamped oscillator)

14 臨界阻尼情況(critical damped oscillator)
此時特徵方程的兩個解相等 阻尼不足情況(underdamped oscillator) 運動通解為一般解的實數部分

15

16 受迫諧振子(Forced Oscillator)
阻尼振盪子受到一週期函數形式的外力驅動，譬如 F = Fo cost, 其中為外力週期之角頻率，而Fo為常數。所以受迫諧振子的運動方程為 為計算方便起見，我們將之改寫為

17 為方便求得特解，我們先求此方程的複數形式
由此我們解得

18 取其實數部分即為此方程的特殊解，加上齊次方程的通解後，可得一般解形式為

19 （一）當=0時， 。此時外力為常數，故最終結果為位移對平衡位置產生一靜偏移。
(二）當 時，響應振幅c隨的增加而遞增。 (三) 當時 ，響應振幅c隨的增加而遞減，並在頻率趨近於無窮大時，振幅變為零。

20 (四) 當時 ，響應振幅 達到最大。我們稱此頻率為共振頻率(resonance frequency)，而此時系統處於共振(resonance)狀態。

21 共振吸收及Q值 對於一受迫諧振子而言，能觀察或測量到的物理量，常常不是振幅，而是維持穩定振動所需的能量。考慮系統外力對系統所作之功率為

22 第一項為振子之力學能變化，當振動進入穩定態之後，其週期平均值應為零，
所以在振動進入穩定態之後週期平均消耗功率為 利用數學結果 =1/2

23 這結果表示，系統對能量的吸收與頻率有關。習慣上，我們稱之為色散型(dispersive)的。由其函數形式可知，當時 ，平均吸收功率到達最大。
當 時，平均吸收功率到達最大的一半。若阻尼不大 ，則與o非常接近，所以可得

24 為了表示一振動系統的吸收特性，或所含的阻尼程度，一般常用品質因素(quality factor)Q來描述，它定義為振子平均能量與於一個週期內所耗散的能量之比乘上2

25 故欲增加系統吸收的選擇性時，則需減少阻尼，亦即提升Q值。然而由其通解的形式得知，阻尼小時瞬間變化項衰減越慢，使振子對驅迫力之響應得於較長時間之後方為主導，故常常得於選擇性與反應外力變化之忠實性之間取得協調。舉幾個例子：一般揚聲器的Q值約在10到100左右，水晶振盪約為104，光譜線約為109，而雷射共振可達1014！