Dynamic Games of Incomplete Information -- Chapter 4

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1 Dynamic Games of Incomplete Information -- Chapter 4
Lecture 24 June 23, 2003 Dynamic Games of Incomplete Information Chapter 4 Perfect Bayesian Equilibrium Game Theory--chapter4

2 Outline of Dynamic Games of Incomplete Information
Lecture 24 June 23, 2003 Outline of Dynamic Games of Incomplete Information Introduction to Perfect Bayesian Equilibrium Signaling games Perfect Bayesian Equilibrium in Signaling games Job-Market Signaling Corporate investment and Capital Structure Monetary Policy Other Application of Perfect Bayesian Equilibrium Refinements of Perfect Bayesian Equilibrium Game Theory--chapter4

3 4.1. Introduction to Perfect Bayesian Equilibrium.
Four equilibrium concepts: Nash equilibrium (NE) Subgame perfect Nash equilibrium (SPNE) Bayesian Nash equilibrium (BNE) Perfect Bayesian Equilibrium (PBE). difference relate relate difference difference relate Game Theory--chapter4

4 Perfect Bayesian Equilibrium
Subgame concept continuation game (后续博弈) SPNE The More general idea PBE Game Theory--chapter4

5 Example 1 - SPNE 我们的例子是完全信息的. 惟一的SPNE 是 (R,B). 1 L R 2 2 A B 1 3
Game Theory--chapter4

6 Example 2 -dynamic game of complete but imperfect information
这里SPNE等同于 NE，因为这个博弈没有子博弈. 2 L’ R’ 1 2 L R L’ R’ (2,1) (0,0) (0,2) (0,1) (1,3) M 1 L M R 2,1 0,0 0,2 0,1 1,3 注意：(L,L’) 和 (R,R’) 既是 SPNE, 又是 NE . 但 (R,R’) 是不可置信的威胁 Game Theory--chapter4

7 Requirement 1 要求 1. 在每一信息集中, 应该行动的参与人必须对博弈进行到该信息集中的哪个节有一个推断.
注意 : (1) 对于非单节信息集, 推断是在信息集中不同节点的一个概率分布; (2) 对于单节信息集, 参与人的推断就是到达此单一决策节的概率为1. Game Theory—chapter 4

8 Example 3 - SPNE 剔除难以置信（implausible ）的均衡 (R,R’) 加入推断 1 2 L R L’ R’
(2,1) (0,0) (0,2) (0,1) (1,3) M p 1-p Game Theory--chapter4

9 Requirement 2 要求 2. 给定参与人的推断, 参与人的策略必须是序贯理性的（sequentially rational ）.
给定player2的推断, 选择R’ 的期望收益是p.0+(1-p).1=1-p. 而 L’: p.1+(1-p).2=2-p>1-p 所以,剔除不可置信的均衡 (R,R’) Game Theory--chapter4

10 Definition: on the equilibrium path
要求1和要求2保证了参与人持有推断，并对给定的推断选择最优行动,但并没有明确这些推断是否是合理的（reasonable ）. 为了进一步约束参与人的推断, 我们需要区分处于均衡路径上的信息集和不处于均衡路径上的信息集. 定义 对于一个给定的扩展式博弈中给定的均衡, 如果博弈根据均衡策略进行时将以正的概率达到某信息集，我们称此信息集处于均衡路径之上（on the equilibrium path ）, 否则，我们称为处于均衡路径之外（off the equilibrium path ） (其中均衡可以是NE, SPNE 及 PBE) Game Theory--chapter4

11 Requirement 3 要求 3 在处于均衡路径之上的信息集中, 推断由贝叶斯法则（Bayes’ rule ）和参与人的均衡策略给出.
1 2 L R L’ R’ (2,1) (0,0) (0,2) (0,1) (1,3) M 1 2 L R L’ R’ (2,1) (0,0) (0,2) (0,1) (1,3) M p 1-p Game Theory--chapter4

12 Bayes’ rule 贝叶斯法则: Game Theory--chapter4

13 Requirement 4 要求 4. 给定策略，推断满足一致性 (consistency)：存在一个完全混合的策略序列，使得这一序列收敛于给定策略，且对应的（通过贝叶斯法则得到的）推断序列也收敛于给定推断。 定义 .满足要求1、2、3的策略和推断构成博弈的完美贝叶斯均衡（PBE ）. 定义 .满足要求1、2、4的策略和推断构成博弈的序贯均衡（sequential equilibrium）. 注意：序贯均衡是在完美贝叶斯均衡基础上的精炼（要求4涵盖了要求3）。 Game Theory--chapter4

14 To illustrate requirement 4
Lecture 24 June 23, 2003 To illustrate requirement 4 策略 (D,L,R’)和 player 3的推断 p=1是一个PBE和序贯均衡 策略 (A,L,L’)和 player 3的推断 p=0是PBE，不是序贯均衡 Game Theory--chapter4

15 Perfect Bayesian equilibrium
为了说明要求4的必要性, 我们把图 修改为 图 Game Theory--chapter4

16 This section’s conclusion
1. 完美贝叶斯均衡和前几章介绍的均衡概念之间的关系 完美贝叶斯均衡: 参与人不能威胁使用始于任何处于均衡路径之外的信息集的严格劣势策略. 2. 序贯均衡在完美贝叶斯均衡基础之上进一步剔除掉一些看起来不合理的结果。 Game Theory--chapter4

17 4.2 Signaling Games 4.2. A. 信号博弈的完美贝叶斯均衡 信号博弈是一个不完全信息动态博弈
两个参与人: 信号发送者( Sender, S) 和信号接收者 ( Receiver, R) 博弈的时间顺序如下. 1. 自然根据特定的概率分布 ，从可行的类型集 中赋予发送者某种类型 ，这里对所有的 ， 并且 2. 发送者观测到 ，然后从可行的行动集 中选择一个行动 Game Theory--chapter4

18 Signaling game 3. 接收者观测到 (但不能观测到 ) 然后从可行的行动集 中选择一个行动 4. 双方收益分别由 和 给出
3. 接收者观测到 (但不能观测到 ) 然后从可行的行动集 中选择一个行动 4. 双方收益分别由 和 给出 主要到这信号博弈中, sender 的一个纯策略是一个函数 receiver 的一个纯策略是 Game Theory—chapter 4

19 Signaling game 图 4.2.1 a1 S m1 m2 t1 a2 [p] R N [1-p] t2
Game Theory--chapter4

20 Signaling game 扩展式 N t2 ,1-p t1 ,p S m1 m2 R a1 a2
Game Theory--chapter4

21 Signaling game Sender和 Receiver 都有四个纯策略. Sender的纯策略： receiver的纯策略：
(m1,m1), (m1,m2), (m2,m1), (m2,m2) (m1,m1), (m2,m2)：混同(pooling strategies)策略 (m1,m2), (m2,m1)：分离(separating strategies)策略 (m1, with r plays m1 1-r play m2 ): 杂合(hybrid strategies)策略 receiver的纯策略： (a1,a1), (a1,a2), (a2,a1), (a2,a2) Sender的类型推断:p(t1)=p, p(t2)=1-p Game Theory--chapter4

22 Signaling game 把要求1-4 应用到信号博弈，得到:
信号要求1. 在观测到M 中的任何信号 之后, receiver必须对哪些类型可能会发送 持有一个推断. 这一推断用概率分布 表示,其中对所求T中的 , 且 Game Theory--chapter4

23 Signaling game 信号要求 2R. 对M 中的每一 , 并在给定哪些类型可能发送 的推断 的条件下, Receiver的行动 必须使Sender的期望效用最大化. 亦即 是下式的解 Game Theory--chapter4

24 Signaling game 信号要求 2S 对T中的每一 , 在给定Receiver策略 的条件下, Sender选择的信号 必须使Sender的效用最大化. 亦即 是下式的解 Game Theory--chapter4

25 Signaling game 信号要求 3. 对每一M中的 ,如果在T中存在 使得 ,则Receiver在对应于 的信息集中所持有推断必须决定于贝叶斯法则和Sender的策略 : Game Theory--chapter4

26 Signaling game 定义 信号博弈中一个纯策略完美贝叶斯均衡为一对策略 和 以及推断 ,满足信号要求 (1), (2R),(2S), 及 (3). 如果Sender的策略是混同的或分离的,我们就称均衡分别为混同的或分离的（equilibrium pooling or separating ）. Game Theory--chapter4

27 Signaling game 现在我们计算图4.2.2中两类型博弈的纯策略完美贝叶斯均衡. Game Theory--chapter4

28 Signaling game (see text book 149-150) 四个可能的纯策略完美贝叶斯均衡: (1) 混同于L;
(2) 混同于 R; (3) 分离： 选择L ， 选择R (4) 分离： 选择R， 选择L 得到 [(L,L),(u,d),p=0.5, q ]，对任意 是一个混同完美贝叶斯均衡(pooling PBE) [(R,L), (u,u), p=0,q=1]是一个分离完美贝叶斯均衡(separating PBE) (see text book ) Game Theory--chapter4

29 Example 1-厂商的分离均衡纯策略 (保修,不保修)
. 厂商 自然 [0.5] H L N Y 保修 不保修 客户 (1,0.5) (0,0) (-1,-0.5) (-1,1) [1] [0] Game Theory--chapter4

30 SR(1) . (-1,1) Y (1,0.5) 厂商 [1] 保修 不保修 H (0,0) N [0.5] 自然 客户 (-1,-0.5)
L N Y 保修 不保修 客户 (1,0.5) (0,0) (-1,-0.5) (-1,1) [1] [0] Game Theory--chapter4

31 SR(2R) . (-1,1) Y (1,0.5) 厂商 [1] 保修 不保修 H (0,0) N [0.5] 自然 客户
L N Y 保修 不保修 客户 (1,0.5) (0,0) (-1,-0.5) (-1,1) [1] [0] . Game Theory--chapter4

32 SR(2S) . (-1,1) Y (1,0.5) 厂商 [1] 保修 不保修 H (0,0) N [0.5] 自然 客户
L N Y 保修 不保修 客户 (1,0.5) (0,0) (-1,-0.5) (-1,1) [1] [0] . Game Theory--chapter4

33 均衡路径 . (-1,1) Y (1,0.5) 厂商 [1] 保修 不保修 H (0,0) N [0.5] 自然 客户 (-1,-0.5)
L N Y 保修 不保修 客户 (1,0.5) (0,0) (-1,-0.5) (-1,1) [1] [0] . Game Theory--chapter4

34 SR(3) . (-1,1) Y (1,0.5) 厂商 [1] 保修 不保修 H (0,0) N [0.5] 自然 客户 (-1,-0.5)
L N Y 保修 不保修 客户 (1,0.5) (0,0) (-1,-0.5) (-1,1) [1] [0] 结论：[(保修,不保修)，（Y,Y）,p=1,q=0]是博弈的分离完美贝叶斯均衡。 Game Theory--chapter4

35 Example 2-啤酒或热狗（Beer&Quiche） 信号博弈
发送者 自然 [0.1] [0.9] 软弱 粗暴 不 冲突 热狗 啤酒 接受者 (1,1) (3,0) (0,-1) (2,0) (0,1) (1,-1) [p] [1-p] [q] [1-q] . Game Theory--chapter4

36 啤酒或热狗（Beer&Quiche） 信号博弈
. 类型空间：T=(软弱,粗暴)；信念：p(软弱)=0.1，p(粗暴)=0.9 信号空间：M=(热狗,啤酒)； 行动空间：A=(冲突,不冲突) SR(1)：μ(软弱/热狗)=p；μ(粗暴/热狗)=1-p；μ(软弱/啤酒)=q；μ(粗暴/啤酒)=1-q 发送者的纯策略：(热狗,热狗), (热狗,啤酒), (啤酒,热狗), (啤酒,啤酒) 接收者的纯策略：(冲突,冲突), (冲突,不冲突), (不冲突,冲突), (不冲突,不冲突) Game Theory--chapter4

37 1、发送者的分离均衡纯策略(热狗,啤酒) . 发送者 自然 [0.1] [0.9] 软弱 粗暴 不 冲突 热狗 啤酒 接受者 (1,1)
(3,0) (0,-1) (2,0) (0,1) (1,-1) [1] [0] . 结论： [(热狗, 啤酒), (冲突，不冲突), p=1, q=0]不是分离 完美贝叶斯均衡。 Game Theory--chapter4

38 2、发送者的分离均衡纯策略(啤酒,热狗) . 发送者 自然 [0.1] [0.9] 软弱 粗暴 不 冲突 热狗 啤酒 接受者 (1,1)
(3,0) (0,-1) (2,0) (0,1) (1,-1) [0] [1] . 结论： [(啤酒,热狗), (不冲突，冲突), p=0, q=1]不是分离完美贝叶斯均衡。 Game Theory--chapter4

39 3、发送者的混同热狗均衡纯策略 . 发送者 自然 [0.1] [0.9] 软弱 粗暴 不 冲突 热狗 啤酒 接受者 (1,1) (3,0)
(0,-1) (2,0) (0,1) (1,-1) [q] [1-q] . 结论： [(热狗, 热狗), (不冲突，冲突), p=0.1, q>=0.5)]是博弈的混同 完美贝叶斯均衡。 Game Theory--chapter4

40 4、发送者的混同啤酒均衡纯策略 . 发送者 自然 [0.1] [0.9] 软弱 粗暴 不 冲突 热狗 啤酒 接受者 (1,1) (3,0)
(0,-1) (2,0) (0,1) (1,-1) [p] [1-p] . 结论： [(啤酒, 啤酒), (冲突，不冲突), p>=0.5, q=0.1)] 是混同完美贝叶斯均衡。 Game Theory--chapter4

41 Example 2-啤酒或热狗（Beer&Quiche） 信号博弈
Game Theory--chapter4

42 A Pooling equilibrium Game Theory--chapter4

43 A Separating equilibrium
Game Theory--chapter4

44 A hybrid equilibrium Game Theory--chapter4

45 Job Market Signaling Game Theory--chapter4

46 Equilibrium (when mixed strategies are allowed) Game Theory--chapter4

47 If t were common knowledge
Game Theory--chapter4

48 No need to imitate Game Theory--chapter4

49 Want to imitate Game Theory--chapter4

50 A pooling equilibrium (e*(L), e*(H) are the first best levels)
Game Theory--chapter4

51 A separating equilibrium
Game Theory--chapter4

52 An intuitive separating equilibrium (Cho-Kreps, 1987)
Game Theory--chapter4

53 Costless signaling: cheap talk
Heuristics: for cheap talk to be informative: Different sender-types have different preferences Receiver’s preference depends on sender’s types Receiver’s preferences are not completely opposed to sender’s Used broadly in political economy and politics Usually monetary transfer are not allowed People (senders) are more heterogeneous How to make yourself influential? Doing good rather than doing well Game Theory--chapter4

54 Discussion The refinement of PBEs
The importance of beliefs and correlating devices You are what you believe What is dynamics, anyway? Game Theory--chapter4

55 Course review Static Game of complete information
Dominant Strategy Equilibrium Nash Equilibrium Pure strategy Mixed strategy Dynamic game of complete information Extensive representation Game tree and subgame Subgame perfection Backward induction and limitations Game Theory--chapter4

56 Course review Static game of incomplete information
Incomplete information and imperfect information Harsanyi transformation (nature and types) Bayesian Nash Equilibrium Mechanism design (*) Revelation principle screening Game Theory--chapter4

57 Course review Dynamic game of incomplete information
Perfect Bayesian Equilibrium Requirements and definition Continuation equilibrium The importance of beliefs Pooling, separating, hybrid equilibrium Signaling game Costly signaling (job market signaling) Cheap talk (*) Game Theory--chapter4

58 Course over Good Luck! Game Theory--chapter4