角 动 量 继续寻找运动状态中的不变量.

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1 角 动 量 继续寻找运动状态中的不变量

2 课程回顾 角动量概念的引入 质点系角动量定理 角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和为零时，体系的角动量守恒。

3 课程回顾 牛顿力学初试牛刀：开普勒三定律和万有引力定律的相互推导。牛顿力学推导出的引力定律比开普勒三定律更丰富。

4 Oct. 25, 2017 NASA / Jet Propulsion Laboratory - Caltech A/2017 U1:有观测记录以来第一个太阳系以外的天外来客 小行星(Asteroid)？ 彗星(Comet)？

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6 E>0: 表明在无穷远处该物体已经具有一部分能量，在太阳的引力范围之外仍然具有不为零的速度，这个初始速度很有可能是它在之前的母星周围，遭到引力弹射获得的。 所以，我们认为它很有可能来自太阳系以外，是一个“星际来客”

7 奥尔特星云 (Oort cloud) 在偏心率为1的地方，有一些数据点摆成了一个竖线：它们偏心率为1，意味着它们在抛物轨道上运动。抛物轨道的意思是，在无穷远处，它们的速度几乎为零。 这些天体本来存在于太阳系边缘的奥尔特云中，在极缓慢的运动中偶然受到一些扰动，掉入内太阳系。由于奥尔特云呈球形分布，它们可以从各个方向掉进来，所以轨道倾角也从0到180度均有分布。

8 重提引力的几何性 引力和惯性力都是万有的，引力只与引力质量有关，惯性力只与惯性质量有关。它们与物质的其它特性（如电荷、磁荷）均无关。引力质量与惯性质量的严格相等暗示我们，这两种质量是同一个东西。马赫原理与等效原理又告诉我们，引力与惯性力本质上相同。等效原理还进一步告诉我们，当只有引力场与惯性场存在时，任何质点，不论质量大小，在时空中都会描出同样的曲线。这就是说，质点在纯引力和惯性力作用下的运动，与它的质量无关。 于是，爱因斯坦推测，引力效应可能是一种几何效应。万有引力不是一般的力，而是时空弯曲的表现。由于引力和惯性起源于质量，爱因斯坦认为时空弯曲起源于物质的存在和运动。

9 重提引力的几何性 伽利略认为惯性运动是一种自由运动。静止和匀速直线运动均属于惯性运动。这一观点毫无疑问是正确的。但伽利略又认为匀速圆周运动也属于惯性运动。行星之所以能围绕太阳不停地转动，就是因为行星的运动是匀速圆周运动，因而也就是不需要外力的惯性运动。 长期以来，人们一直认为这是伽利略的一个失误。然而从广义相对论的角度看，伽利略把行星绕日运动看作惯性运动的观点其实是正确的。

10 重提引力的几何性 行星绕日运动，就是弯曲时空中的自由运动（即惯性运动）。它们在四维时空中描出的轨道是测地线（即短程线）。测地线就是直线在弯曲时空中的推广，或者说测地线就是广义的“直线”。这种弯曲由物质的存在和运动造成。质点在万有引力场中的运动实质上是一种没有受到力的惯性运动。 在平直时空中，惯性运动是直线运动。弯曲时空中没有直线，但有短程线。爱因斯坦认为，质点在万有引力场中的运动，既然是弯曲时空中的惯性运动，就应沿弯曲时空中的“直线”（短程线）进行。广义相对论的基本方程有两个，一个是描述物质如何造成时空弯曲的，称为场方程；另一个是描述质点如何在弯曲时空中运动的，称为运动方程。

11 物质告诉时空：如何弯曲 时空告诉物质：如何运动

12 例题：试由地球向火星发射人造天体的发射速度。
解：采用双切轨道方案（霍曼轨道方案） 设地球轨道和火星轨道半径分别为re、rm，则飞船运行的双切椭圆轨道半长轴a是re、rm的平均值，即

13 M和m分别为太阳和飞船质量；E为飞船摆脱地球引力束缚后的总能量，此时，飞船与太阳的距离仍然为re，则此时飞船的动能为：
由此解得飞船相对太阳的速度为： 相对于地球，飞船摆脱地球引力后的速度为：

14 设飞船相对于地球的发射速度为v’，由机械能守恒可得到
于是可得 最后可得由地球向火星发射人造天体的发射速度为：

15 对称性与守恒定律 物理学的规律是有层次的，层次越深，则规律越基本、越简单，其适用性也越广泛，但是也越不容易被揭示出来。

16 自然界中的对称性 对称是自然界固有的一种属性 1 具有对称结构的树叶 2 从离土星3400万公里的太空拍摄到的土星照片 3 古罗马风格的建筑
4 NaCl晶体结构

17 对称性的有关概念 系统：研究物体或对象 状态：系统的性质稳定不变时，称系统处于某种状态；不同的状态可以是“等价的”，也可以是“不等价的”；
变换：使系统从一个状态变到另一个状态的过程，或称为给了系统一个操作； 对称性：在一个操作下，系统从一个状态变化到另一个与之等价的状态，称系统在这个操作下是对称的；这个操作叫做该系统的一个对称操作。

18 对称性的种类 镜像对称：如果将中心线设想为一个垂直于图面的平面镜与图面的交线，则中心线两边的每一半都分别是另一半在平面镜内的像。镜象对称又称为左右对称，镜象对称操作称为空间反演操作。 转动对称:如果使一个系统绕某一固定轴转动一个角度，它又和原来一模一样。如果一个形体对通过某一定点的任意轴都具有转动对称性，此系统就具有球对称性，这个定点是对称中心。具有球对称的系统， 从对称中心出发， 具有各向同性。 平移对称:如果一个系统发生一平移后，它也和原来一模一样那么该系统具有空间平移对称性。

19 物理定律的对称性 时空操作： 物理定律的对称性与空间平移对称性、时间平移对称性、空间转动对称性、镜象对称性等密切相关。
空间操作：平移、转动、镜象反射、空间反演等； 时间操作：时间平移、时间反演等。 相应的对称性称为时空对称性。 物理定律的对称性与空间平移对称性、时间平移对称性、空间转动对称性、镜象对称性等密切相关。 物理定律的空间平移不变性 在空间某处做一个物理实验，然后将该套实验仪器（连同影响实险的一切外部因素）平移到另一处，给予同样的起始条件，实验将会以完全相同的形式进行，这就是物理定律的空间平移不变性， 又叫空间的均匀性。

20 物理定律时间平移不变性 物理定律的空间转动不变性
一个实验只要不改变原始的条件和所使用的仪器，不管是今天去做还是明天去做。都会得到相同的结果。这事实称为物理定律的时间平移不变性，又称为时间的均匀性。 物理定律的空间转动不变性 物理实验仪器不管在空间如何转向，只要实验条件相同，那未物理实验会以完全相同的方式进行，其物理实体在空间所有方向上都是相同的，这称为物理定律的空间转动不变性，又叫空间的各向同性。

21 物理定律的镜像不变性 假定一只钟在滴答滴答的走着。现在从一面镜子中来看这只钟，镜子中出现一只与原来钟左右对调过来的钟。若能实际制造出同镜子中钟的像完全相同的钟，这样就制成了两只实际存在的钟，而且一只钟是另一只钟的“像”。如果两只钟发条上得一样紧，并在相同的条件下开始走动。那么事实会证明这两只钟将永远以相同的速率走动，亦即它们遵从相同的力学定律. 物理定律的对称性有着深刻的含义。通常我们从运动方程出发讨论守恒律，然后说明对称性。而在理论物理中，往往以对称性为出发点。1905年人们理解了麦克斯韦方程中的对称性，1909年爱因斯坦就设想：“为什么我们不能将这样的过程倒过来，为什么我们不能从对称性出发建立符合对称性原则的基本方程，并由此得到和方程符合的实验结果？”1954年杨—米尔斯(Yang — Mills)提出的非阿贝耳规范对称理论是这方面的典范。

22 对称性与守恒定律 诺特定理：对应于每一种对称性，都存在一个守恒定律。 对称性（不变性） 守恒律 空间平移 动量 时间平移 能量 转动 角动量
空间反演 宇称 时间反演 -- 电荷规范变换 电荷 重子规范变换 重子数 轻子规范变换 轻子数 电荷共轭 电荷宇称

23 例：空间对称性与动量守恒定律 为简单起见，假设一个体系由两个相互作用的粒子组成，他们只限于在具有平移对称性的x轴上运动，如图所示。设两粒子的坐标分别为x1, x2，体系的势能为： 当体系发生一平移Dx时，两粒子的坐标分别为： 但是两粒子间距离未变，即

24 空间平移对称性意味着势能与之无关，即空间平移操作下势能保持不变，即：
在这样的条件下，在坐标1和坐标2所受的力分别为: 按照力的定义，则有 这就是动量守恒定律。

25 动量定理、动能定理和角动量定理的比较