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敏感度與參數分析 Sensitivity and Parametric Analyses
第六章 敏感度與參數分析 Sensitivity and Parametric Analyses 作業研究 二版 2009 © 廖慶榮
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章節大綱 前言 敏感度分析 參數分析 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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6.1 前言 敏感度分析(sensitivity analysis) 參數分析(parametric analysis)
6.1 前言 敏感度分析(sensitivity analysis) 探討當一個問題的各項係數改變時,對於最佳解的影響 參數分析(parametric analysis) 當LP模式的同類別參數同時改變時,對於最佳解之影響的分析 如當原料價格(石油、塑膠、木材、麵粉等)改變時 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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6.2 敏感度分析 本節將以典型範例為例: 最佳單形表: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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6.2 敏感度分析 探討六種情況(對max問題): 改變目標函數係數 新增一個變數 改變右手邊常數 改變非基變數限制式係數
6.2 敏感度分析 探討六種情況(對max問題): 改變目標函數係數 新增一個變數 改變右手邊常數 改變非基變數限制式係數 改變基變數限制式係數 新增一個限制式 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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1. 改變目標函數係數 /NBV 範例6.1 NBV:僅該NBV的Z列係數會改變 作法
假設 :0→2 解答: 因Z列係數為非負值,故最佳解不變 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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1. 改變目標函數係數 /NBV 範例6.1 NBV目標函數係數的變動在什麼範圍內,最佳解不會改變?
因NBV的 僅會影響該變數的Z列係數,所以僅需讓 ,即可決定的允許變動範圍 範例6.1 的允許變動範圍為何? 解答: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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1. 改變目標函數係數 /BV BV 作法 範例6.2 須重新計算所有NBV的Z列係數
假設目標函數改變為:Max 解答: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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1. 改變目標函數係數 /BV 解答(續): 因仍均為非負值,故最佳解不變,惟新的最佳Z值為 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.3 在最佳解不變的情況下, 允許變動範圍為何? 解答:為使最佳解不變,必須維持NBV的Z列係數為非負值:
在最佳解不變的情況下, 允許變動範圍為何? 解答:為使最佳解不變,必須維持NBV的Z列係數為非負值: 因此,只要滿足 ,則最佳解不變(惟Z 值會改變) 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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係數同時改變 當兩個以上 同時改變時,可利用100%最佳性法則(100% optimality rule)確認是否最佳解不變 作法
分別計算各之變動佔其所允許增加或減少量的% 若%的總和不超過100%,則最佳解不變;若超過,則無法確定是否會改變 範例6.4 假設改為Max ,則最佳解是否會受到影響? 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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係數同時改變 解答:目標函數係數允許變動範圍 變動百分比: 因變動百分比的總和66.6%小於100%,所以最佳解不 變(惟Z值會改變)
作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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2. 新增一個變數 例如 作法 範例6.5 若有另一項新產品P3要列入考慮,則LP模式需增加一個代表P3生產數量的變數
計算 其Z列係數。若為非負值,則最佳解不變;若為負值,則須將 的係數還原並新增至最佳單形表中,繼續以主要單形法求解 範例6.5 假設另有一項新產品P3,其生產1單位需2小時的M1、4小時的M2,單位利潤為12 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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2. 新增一個變數 解答: 讓 代表生產P3的數量,其Z列係數為: 由於Z列係數是負值,破壞對偶可行性,因此我們將 的限制式係數還原如下:
將還原後的係數新增至最佳單形表中,繼續以單形 法求解,可得最佳解 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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2. 新增一個變數 解答(續): 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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3. 改變右手邊常數 作法 範例6.6 解答: 重新計算新的RHS。若仍均為非負值,則最佳基底不變;若有負值,則以對偶單形法繼續求解
最佳基底不變是指構成最佳單形表的BV不會改變,但BV的值及最佳Z值均允許改變 範例6.6 解答: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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3. 改變右手邊常數 解答(續): 因有負值,故最佳基底改變。新Z值為: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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3. 改變右手邊常數 解答(續): 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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bi的允許變動範圍 在最佳基底不變情況下,bi的允許變動範圍? 由此可決定bi的允許變動範圍 為使基底不變,RHS須均為非負值,即
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bi的允許變動範圍 範例6.7 的允許變動範圍為何? 解答 因此,允許變動範圍為: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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bi係數同時改變 100%可行性法則 當兩個以上bi同時改變時,可利用100%可行性法則(100% feasibility rule)確認是否最佳基解不變 作法: 分別計算各bi之變動佔其所允許增加或減少量的% 若變動%的總和不超過100%,則最佳基底不變;若超過100%,則無法確定是否會改變 範例6.8 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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bi 係數同時改變 解答: 因變動百分比的總和87.5%小於100%,所以最佳基底不受影響(但最佳解會改變)
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4. 改變非基變數限制式係數 作法 範例6.9 假設 的限制式係數改變為:
重新計算該NBV新的Z列係數。若為非負值,則最佳解不變;若為負值,則將係數還原,並新增至最佳單形表,再繼續以主要單形法求解 範例6.9 假設 的限制式係數改變為: 解答: 因是非負值,所以最佳解不變 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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5. 改變基變數限制式係數 想法 作法 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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5. 改變基變數限制式係數 作法(續) 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.10 假設 : 解答: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.10 解答(續) (表6.7的第一個表): 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.10 解答(續) (表6.7的第二與第三個表): 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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6. 新增限制式 作法 確認最佳解是否滿足新增的限制式。若滿足,則最佳解不變;若不滿足,則最佳解會改變,應執行以下步驟: 對於新增限制式,加上所需寬鬆、剩餘或人工變數 以高斯消去法還原係數,並填入最佳單形表 以對偶單形法求解 範例6.12 (a)新增: (b)新增: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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6. 新增限制式 解答 (a): 因最佳解滿足此限制式,所以最佳解不變 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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6. 新增限制式 解答 (b): 因最佳解不滿足此限制式,故最佳解改變 加上寬鬆變數: 係數還原後,新增至表中,再以對偶單形法求解
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6. 新增限制式 解答 (b): 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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6.3 參數分析 改變目標函數係數 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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1. 改變目標函數係數 可推導出: 由上式可得最佳解的條件: 若有任何NBV為負值,則讓其進入 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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1. 改變目標函數係數 彙整 最佳解: 最佳解條件: 由最佳解條件可得適用的 範圍 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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1. 改變目標函數係數 步驟: 以單形法求解原問題,直至得到最佳解 還原Z’列,並新增至最佳單形表
由Z與Z’列,計算滿足最佳解條件的 範圍: 以主要單形法求得其餘可能範圍內的最佳解 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.13 假設P1使用木材的比例較P2多一倍。木材成本變動時,P1與P2單位利潤會成2:1比例變動。因此,
解答:先還原Z’列。由Z與Z’列,可計算: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.13 (解答(續) λ >10) 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.13 (解答(續) /表1 ) 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.13 (解答(續) /表2-3 ) 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.13 彙總表 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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2. 改變右手邊常數 可推導出 由 的公式,可決定 最佳解適用的範圍: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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2. 改變右手邊常數 彙整: 最佳解: 最佳解條件: 由最佳解條件,可產生該最佳解適用的 範圍 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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2. 改變右手邊常數 步驟: 以單形法求解原問題,直至得到最佳解 還原RHS’,並新增至最佳單形表
由RHS與RHS’兩欄,計算最佳解條件的 範圍: 以對偶單形法陸續求得其餘 可能範圍內的最佳解 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.14 假設M1與M2用於生產既有產品的時間比為1:2: 解答:得到最佳單形表後,還原RHS’如下:
作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.14 解答(續): 由RHS與RHS’兩欄,計算的範圍如下: 因此, 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.14 (解答(續)): 當 ,因離開變數列無負的係數,故為無窮解 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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範例6.14 (解答(續)): 彙總表: 作業研究 二版 Ch.6 敏感度與參數分析
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