第1章 信号与系统 1.1 信号与系统概述 1.2 信号及其分类 1.3 典型信号 1.4 连续信号的运算 1.5 连续信号的分解

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1 第1章 信号与系统 1.1 信号与系统概述 1.2 信号及其分类 1.3 典型信号 1.4 连续信号的运算 1.5 连续信号的分解
第1章 信号与系统 1.1 信号与系统概述 1.2 信号及其分类 1.3 典型信号 1.4 连续信号的运算 1.5 连续信号的分解 1.6 系统及其响应 1.7 系统的分类 1.8 LTI系统分析方法

2 1.1 信号与系统概述 现代社会的人们每天都会与各种各样载有信息的信号密切接触， 例如, 听广播、 看电视是接收带有信息的消息； 发短信、 打电话是为了把带有信息的消息借助一定形式的信号传送出去。 信号是各类消息的运载工具， 是某种变化的物理量， 如电话铃声、 交通红绿灯， 收音机、 电视机、 手机收到的电磁波等， 并称之为声信号、 光信号、 电信号。

3 不同的声、 光、 电信号都包含有一定的意义， 这些意义统称为信息， 消息中有意义或实质性的内容可用信息量度量。
在自然、 物理、 社会等诸多领域中， 系统的概念与方法被广泛应用。 系统泛指由若干相互作用， 相互关联的事物组合而成的， 具有特定功能的整体。 通信、 控制系统是信息科学与技术领域的重要组成部分， 它们还可以组合成更复杂的系统。

4 图 信号与系统分析框图

5 本书所涉及的是研究信号通过系统进行传输、 处理的基本理论和基本分析方法， 通常可由图1.1-1所示的方框图表示。
其中f(·)是系统的输入（激励）， y(·)是系统的输出（响应）， h(·)是系统特性的一种描述。 “·”是信号的自变量， 可以是连续变量t， 也可以是离散变量n。 描述信号与系统有时域、 频域、 复频域三种方法。 研究各变量的各种不同描述方法之间的转换关系以及三个变量之间的关系（已知其中两个求解出第三个）， 是“信号与系统”课程研究的主要问题。

6 1.2 信号及其分类 人们用来传递信息的信号主要是电信号。 电信号有许多众所周知的优点， 传播速度快、 传播方式多(有线、 无线、 微波、 卫星等)。 日常许多非电的物理量如压力、 流速、 声音、 图像等都可以利用转换器变换为电信号进行处理、 传输。 本书讨论的电信号， 一般是指随时间变化的电压或电流， 有时也可以是电荷或磁通。

7 为了对信号进行处理或传输， 要对信号的特性进行分析研究。 这既可以从信号随时间变化的快、 慢、 延时来分析信号时间特性， 也可以从信号所包含的主要频率分量的振幅大小、 相位的多少来分析信号的频率特性。 当然， 不同的信号具有不同的时间特性与频率特性。 

8 信号随时间变化的关系， 可以用数学上的时间函数来表示， 因此有时亦称信号为函数f(t)， 离散信号为序列x(n)。 在本书中信号与函数、 序列这两个名词通用。 信号的函数关系可以用数学表达式、 波形图、 数据表等表示， 其中数学表达式、 波形图是最常用的表示形式。 各种信号可以从不同角度进行分类， 常用的有以下几种。

9 1. 确定性信号与随机信号 信号可以用确定的时间函数来表示的， 是确定性信号， 也称规则信号。 如正弦信号、 单脉冲信号、 直流信号等。 信号不能用确定的时间函数来表示， 只知其统计特性， 如在某时刻取某值的概率的，则是随机信号。

10 从常识上讲， 确定性信号不包括有用的或新的信息。 但确定性信号作为理想化模型， 其基本理论与分析方法是研究随机信号的基础， 在此基础上根据统计特性可进一步研究随机信号。 本书只涉及确定性信号。

11 2． 周期信号与非周期信号 周期信号是依一定的时间间隔周而复始、 无始无终的信号， 一般表示为 f(t)=f(t+nT) n=0, ±1, （1.2-1） 其中T为最小重复时间间隔， 也称周期。 不满足式（1.2-1）这一关系的信号为非周期信号。

12 如果若干周期信号的周期具有公倍数， 则它们叠加后仍为周期信号, 叠加信号的周期是所有周期的最小公倍数； 其频率为周期的倒数。 只有两项叠加时， T1、 T2与ω1、ω2分别是两个周期信号的周期与角频率， 叠加后信号的角频率、 周期的计算为   （1.2-2a）

13 当多于两项叠加时类推： 若N1, N2, ..., Nn无公因子， 则 （1.2-2b） 若有公因子N， 则 （1.2-2c）

14 例1.2-1 判断下列信号是否为周期信号， 若是， 求出其周期。
(1) e1(t)=a sin5t+b cos8t； (2) e2(t)=3 cos1.2t-5 sin5.6t。 解 (1) 方法一： 为有理数， 且无公因子， 所以，

15 方法二：

16 (2) 方法一： 方法二：

17 3． 连续时间信号与离散时间信号 按函数的独立变量(自变量)取值的连续与否， 可将信号分为连续信号与离散信号。 本书默认独立变量(自变量)为时间， 实际工程中可为非时间变量。 连续时间信号在所讨论的时间内， 对任意时间值(除有限不连续点外)都可以给出确定的函数值。 连续时间信号的幅值可以是连续的（也称模拟信号）， 也可以是离散的(只取某些规定值)， 如图1.2-1所示。

18 图 连续时间信号

19 图 离散时间信号

20 离散信号亦称序列， 其自变量n是离散的， 通常为整数。 若是时间信号（可为非时间信号）， 它只在某些不连续的、 规定的瞬时给出确定的函数值， 其它时间没有定义， 其幅值可以是连续的也可以是离散的， 如图1.2-2所示。

21 图1.2-2中, x1(n)还可简写为 x1(n)=［ ］ 式中小箭头标明n=0的位置。

22 4． 能量信号与功率信号 为了了解信号能量或功率特性， 常常研究信号f(t)（电压或电流）在单位电阻上消耗的能量或功率。 在(-T/2~T/2)区间信号的平均功率P为 （1.2-3） 在(-∞, ∞)区间信号的能量E为 （1.2-4）

23 如果信号f(t)的能量有界， 即0<E<∞， 而平均功率P=0， 则它就是能量信号， 例如单脉冲信号。 如果信号f(t)的平均功率有界， 即0<P<∞， 而能量E趋于无穷大， 那么它就是功率信号， 例如周期正弦信号。 如果有信号能量E趋于无穷大， 且功率P趋于无穷大， 就是非能量非功率信号， 例如e-at信号。 也就是说， 按能量信号与功率信号分类并不能包括所有信号。

24 5. 因果信号与非因果信号 按信号所存在的时间范围， 可以把信号分为因果信号与非因果信号。 当t<0时， 连续信号f(t)=0， 信号f(t)是因果信号， 反之为非因果信号； 当n<0时， 离散信号x(n)=0， 则信号x(n)是因果信号， 反之为非因果信号。

25 1.3 典型信号 1.3.1 常用连续信号 1. 实指数信号 实指数信号如图1.3-1所示， 其函数表达式为
1.3 典型信号 常用连续信号 1. 实指数信号 实指数信号如图1.3-1所示， 其函数表达式为 f(t)=keat  （1.3-1）

26 式中， a>0时, f(t)随时间增长; a<0时, f(t)随时间衰减; a=0时, f(t)不变。 常数k表示t=0时的初始值;|a|的大小反映信号随时间增、 减的速率。 通常还定义时间常数τ=1/|a|， τ越小， 指数函数增长或衰减的速率越快， 如图1.3-1 所示。 实际上遇到的多是如图1.3-2所示的单边指数信号，其表示式为 （1.3-2）

27 特别地， 在f(0)=E时， 即经过时间τ后， 信号衰减为初始值的36.8%。

28 图 实指数信号

29 图1.3-2 单边指数信号

30 2. 正弦信号 正弦信号也包括余弦信号， 因为两者只在相位上相差π/2 ， 一般正弦信号表示为 f(t)=k sin(ωt+θ) （1.3-3） 其中， k是振幅、 ω是角频率、 θ是初相。周期

31 正弦信号如图1.3-3所示。 实际工作中通常遇到的是衰减正弦信号， 即包络按指数规率变化的振荡信号， 如 （1.3-4）

32 图 正弦信号

33 图 单边衰减振荡信号

34 3. 复指数信号   f(t)=kest （1.3-5） 其中, s=σ+jω为复数， σ为实部系数， ω为虚部系数。 借用欧拉公式： kest=ke(σ+jω)t=keσt e jωt=keσt cosωt+jkeσt sinωt （1.3-6） 复指数信号可分解为实部与虚部。 实部为振幅随时间变化的余弦函数， 虚部为振幅随时间变化的正弦函数。 可分别用波形画出实部、 虚部变化的情况。

35 σ表示了正、 余弦信号振幅随时间变化的情况； ω是正、 余弦信号的角频率。 特别地, 当σ>0时， 正、 余弦信号是增幅振荡； 当σ<0时， 正、 余弦信号是减幅振荡； 当σ=0时， 正、 余弦信号是等幅振荡。 当ω=0时， f(t)为一般指数信号； 当σ=0， ω=0时， f(t)为直流信号。 虽然实际上没有复指数信号， 但它概括了多种情况， 因此也是一种重要的基本信号。

36 还可以借用欧拉公式将正、 余弦信号表示为复指数形式， 即
（1.3-7） （1.3-8）

37 4. Sa(t)信号(抽样信号) Sa(t)信号定义为 （1.3-9） 不难证明， Sa(t)信号是偶函数， 当t→±∞时， 振幅衰减， 且f(±nπ)=0， 其中n为整数。 Sa(t)信号还有以下性质 （1.3-10） （1.3-11） Sa(t)信号如图1.3-5所示。

38 实际遇到的多为Sa(at)信号， 表达式为
（1.3-12） Sa(at)波形如图1.3-6所示。

39 图 Sa(t)信号

40 图 Sa(at)信号

41 阶跃信号与冲激信号 1. 单位阶跃信号u(t) 定义 （1.3-13） 单位阶跃信号u(t)如图1.3-7所示。 利用单位阶跃信号u(t)可以很方便地用数学函数来描述信号的接入（开关）特性或因果（单边）特性。 （1.3-14）

42 图 单位阶跃信号u(t)

43 图 单边正弦信号

44 例1.3-1 用阶跃信号表示如图1.3-8所示的单边正弦信号。
解

45 2. 单位冲激函数δ(t)  我们可以在用理想元件组成的电路中引入冲激的概念。 如图1.3-9所示电路， 当t=0时， 开关K由a→b， 电容器上的电压的波形如图1.3-10所示， 即vC(t)=Eu(t)。

46 图 理想电路

47 图 vC(t)

48 由电容器上电压与电流的关系， 我们可以得到电容电流表示为
当t>0或t<0时， 不难得到流过电容器的电流iC(t)为零。 而在t=0时， 电容器电压vC(t)突变为E， 我们知道这时的电流一定不为零。

49 可以认为在t=0瞬间， 有一无穷大的电流流过电容器， 将电荷转移到电容器上， 完成了对电容器的充电， 使得电容电压在这一时刻发生了跳变。 这种电流持续时间为零， 电流幅度为无穷大， 但电流的时间积分有限的物理现象可以用冲激函数δ(t)来描述。

50 由对矩形脉冲取极限表示的单位冲激函数为 （1.3-15） 单位冲激函数一般定义为 （1.3-16） 单位冲激函数的波形用箭头表示， 如图1.3-12所示。

51 图 矩形脉冲的极限为冲激函数

52 图 冲激函数

53 还有一些面积为1的偶函数， 如三角形脉冲函数、 双边指数脉冲函数、 钟形脉冲函数等，当其宽度趋于0时的极限， 也可以用来定义δ(t)函数， 有兴趣的读者可参阅有关参考书， 在这里就不一一介绍了。
描述任一时刻t=t0时的冲激函数记为δ(t-t0)， 表示式为 （1.3-17）

54 图 Aδ(t-t0)

55 由于冲激函数的幅值为无穷， 因此冲激函数能比较的是其强度。 定义式（1
由于冲激函数的幅值为无穷， 因此冲激函数能比较的是其强度。 定义式（1.3-16）的积分值（面积）为冲激强度， 如4δ(t)、 Aδ(t)。 作图时强度一般标在箭头旁， 如图1.3-13 所示Aδ(t-t0)。

56 冲激函数还具有如下运算性质: 1) 取样性或“筛选” 若f(t)是在t=0处连续的有界函数， 则 （1.3-18） 以及 （1.3-19）

57 式（1.3-19）表明冲激函数具有取样（筛选）特性。 如果要从连续函数f(t)中抽取任一时刻的函数值f(t0)， 只要乘以δ(t-t0)， 并在(-∞, ∞)区间积分即可。同理
（1.3-20）

58 例 计算 (1) costδ(t); (2) (t-1)δ(t)； 解 (1) costδ(t)=δ(t)， 因为cos0=1。 (2) (t-1)δ(t)=-δ(t)， 因为(t-1)|t=0=-1。 不在积分区间内。

59 2) 偶函数 δ(t)=δ(-t) （1.3-21） 证

60 3) 与单位阶跃函数u(t)互为积分、 微分关系
（1.3-22） （1.3-23） 由式（1.3-23）， 图1.3-9电路的电容电流iC(t)可以用δ(t) 函数描述为

61 4) 尺度特性 （1.3-24） 证 a>0时

62 a<0时 综合a>0、 a<0两种情况， 得

63 *δ(t)的广义函数定义 广义（分布）函数理论认为， 虽然某些函数不能确定它在每一时刻的函数值（不存在自变量与因变量之间的确定映射关系）， 但是可以通过它与其他函数（又称测试函数）的相互作用规律（运算规则）来确定其函数关系， 这种新的函数是广义（分布）函数。 即按照它“做”什么， 而不是它“是”什么而定义的函数， 叫做广义函数或分布函数。

64 δ(t)就是一个把在t=0处连续的任意有界函数φ(t)， 赋予φ(0)值的一种（运算规则）广义函数， 记为

65 这种用运算规则来定义函数的思路， 是建立在测度理论基础上的， 它与建立在映射理论基础上的普通函数是相容且不矛盾的。 所以， 只要一个函数g(t)与任意的测试函数φ(t)之间满足关系式

66 3. 单位斜坡函数 单位斜坡函数波形如图1.3-14所示， 定义为 （1.3-25） 任意时刻的斜坡函数如图1.3-15所示， 表示为

67 图 R(t)

68 图 R(t-t0)

69 任意时刻的斜坡函数如图1.3-15所示， 表示为 （1.3-27a） （1.3-27b）

70 图 例1.3-3图

71 例1.3-3 f(t)如图1.3-16所示， 由奇异信号描述f(t)。
解 f(t) =R(t+2)-2R(t)+R(t-2) =(t+2)［u(t+2)-u(t) ］+(-t+2)［u(t)-u(t-2)］

72 图 门函数gτ(t)

73 图 符号函数

74 4. 门函数gτ(t) 门函数gτ(t)是以原点为中心， 以τ为时宽， 幅度为1的矩形单脉冲信号， 波形如图1.3-17所示。  （1.3-28）

75 5. 符号函数sgnt   符号函数是t>0时为1， t<0时为-1的函数， 波形如图1.3-18所示。 （1.3-29）

76 6. 单位冲激偶函数δ′(t) 对单位冲激函数求导得到单位冲激偶函数。 因为单位冲激函数可表示为 (1.3-30) (1.3-31)

77 式（1.3-30）取极限后是两个强度为无限大的冲激函数， 当t从负值趋向零时， 是强度为无限的正冲激函数； 当t从正值趋向零时， 是强度为负无限的冲激函数， 如图1.3-19所示。 

78 图 单位冲激偶函数δ′(t)

79 单位冲激偶函数具有如下特性： (1) 对f′(t)在0点连续的函数， 有 证

80 (2) 由图1.3-19的单位冲激偶函数可见， δ′(t)的正、 负两个冲激的面积相等， 互相抵消， 冲激偶函数所包含的面积为零， 即
(1.3-32) (3) δ′(t)与δ(t)互为积分、 微分关系， 即 (1.3-33)

81 1.4 连续信号的运算 时移、 折叠、 尺度 信号的时移也称信号的位移、 时延。 将信号f(t)的自变量t用t-t0替换， 得到的信号f(t-t0)就是f(t)的时移， 它是f(t)的波形在时间t轴上整体移位t0。 若t0>0， f(t)的波形在时间t轴上整体右移t0； 而t0<0， f(t)的波形在时间t轴上整体左移t0， 如图1.4-1所示。

82 图 信号的时移

83 将f(t)自变量t用-t替换， 得到信号f(-t)是f(t)的折叠信号。 f(-t)的波形是f(t)的波形以t=0为轴反折， 所以也称时间轴反转， 如图1.4-2所示。

84 图 信号的折叠

85 图 信号的尺度变换

86 将f(t)的自变量t用at(a≠0)替换，得到f(at)称为f(t)的尺度变换，其波形是f(t)波形在时间t轴上的压缩或扩展。 若|a|>1，波形在时间t轴上压缩； |a|<1，波形在时间t轴上扩展，故信号的尺度变换又称为信号的压缩与扩展。例如， 假设f(t)=sinω0t是正常语速的信号， 则f(2t)=sin2ω0t=f1(t)是两倍语速的信号， 而f(t/2)=sinω0(t/2)=f2(t)是降低一半语速的信号。 f1(t)与f2(t)在时间轴上被压缩或扩展， 但幅度均没有变化， 如图1.4-3所示。

87 例1.4-1 已知f(t)的波形如图1.4-4(a)所示，试画出f(-2t)、 f(-t/2)的波形。
第一步: 尺度变换， 如图1.4-4(b)所示。 第二步: 折叠, 如图1.4-4(c)所示。

88 图 例1.4-1f(-2t)、f(-t/2)

89 例1.4-2 已知f(t)的波形如图1.4-5(a)所示， 试画出f(2-2t)的波形。
解 f(2-2t)是f(t)的时移、 折叠及压缩信号。 第一步： 折叠, 如图1.4-5(b)所示； 第二步： 时移变换， 如图1.4-5(c)所示； 第三步： 尺度变换， 如图1.4-5(d)所示。

90 图 例1.4-2 f(2-2t)的形成

91 以上变换都是函数自变量的变换， 而变换前后端点上的函数值（冲激函数除外）不变。 所以可以通过少数特殊点函数值不变的特性， 确定变换前后波形中各端点的相应位置。 具体方法是： 设变换前信号为f(at+b)， 用t1表示变换前端点的位置； 变换后信号为f(mt′+n)， 用t′1表示变换后端点的位置, 则变换前后的函数值为 f(at1+b)=f(mt′1 +n) （1.4-1a） 由式（1.4-1a）， 可得 at1+b=mt′1 +n （1.4-1b）

92 由式（1.4-1b）解出变换后的端点的位置为 （1.4-1c）  

93 微分与积分 微分是对f(t)求导数的运算， 表示为 （1.4-2） 信号经过微分后突出了变化部分， 如图1.4-6所示。

94 图 信号的微分运算

95 积分是对f(t)在(-∞, t)区间内的定积分， 表示式为
（1.4-3） 信号经过积分后平滑了变化部分， 如图1.4-7所示。

96 图 信号的积分运算  

97 信号的加（减）、 乘（除） 信号的相加（减）或相乘（除）是信号瞬时值相加（减）或相乘（除）。 f1(t)±f2(t)是两个信号瞬时值相加（减）形成的新信号； f1(t)·f2(t)或f1(t)/f2(t)=f1(t)·［1/f2(t)］是两个信号瞬时值相乘形成的新信号。

98 图 例1.4-3信号的相加与相乘

99 例1.4-3 如图1.4-8(a)所示f1(t)、 f2(t)， 求f1(t)+f2(t)、 f1(t)·f2(t)。
解 f1(t)+f2(t)如图1.4-8(b)时， f1(t)·f2(t)如图1.4-8(c)所示。 实际工作中经常遇到幅度衰减的振荡信号， 是信号相乘的典型应用。

100 例1.4-4 , 画出f1(t)·f2(t)波形。 解 f1(t)·f2(t)是幅度按指数规律变化的余弦信号， 如图1.4-9所示。 一般两个信号相乘， 变化慢的信号形成包络线， 包络线反映了相乘信号总的变化趋势。

101 图 f1(t)·f2(t)形成衰减振荡信号 (a) 指数信号； (b) 余弦信号； (c) 幅度衰减的余弦信号

102 1.5 连续信号的分解 1.5.1 规则信号的分解 一般规则信号可以分解为若干个简单信号的组合。 下面举例说明规则信号的分解。
连续信号的分解 规则信号的分解 一般规则信号可以分解为若干个简单信号的组合。 下面举例说明规则信号的分解。 例1.5-1 用简单信号表示如图1.5-1(a)所示信号f1(t)。

103 解 将f1(t)分解为无数不同时移的锯齿波的叠加， 表示为
或如图1.5-1(b)所示， 将f1(t)分解为一个幅度为A的斜坡函数与无穷多个时移的阶跃函数的叠加（减）， 表示为

104

105 图 1.5-1 (a) 锯齿波； (b) 锯齿波的一种分解

106 例1.5-2 用简单信号表示如图1.5-2(a)所示信号f2(t)。
图 1.5-2

107 解 f2(t)可以分解为四个不同时刻出现的阶跃函数， 表示为
f2(t)=u(t+2)+u(t+1)-u(t-1)-u(t-2) 或如图1.5-2(b)所示， 将f2(t)分解为两个宽度不同的门函数， 表示为 f2(t) =f21 (t)+f22 (t) =［u(t+2)-u(t-2)］+［u(t+1)-u(t-1)］   =g4(t)+g2(t)

108 奇偶信号的分解 这种分解方法是将实信号分解为偶分量与奇分量。 其优点是可以利用偶函数与奇函数的对称性简化信号运算。 偶分量定义 fe(t)=fe(-t) （1.5-1） 奇分量定义 fo(t)=-fo(-t) （1.5-2） 任意信号f(t)可分解为偶分量与奇分量之和， 因为

109 f(t) = 1/2 ［f(t)+f(t)+f(-t)-f(-t)］
所以 fe(t)= 1/2 ［f(t)+f(-t)］ （1.5-4） fo(t)= 1/2 ［f(t)-f(-t)］ （1.5-5） 如图1.5-3所示信号分解为奇、 偶分量的实例。

110 图 信号的奇偶分解

111 图 信号的奇偶分解

112 任意信号的脉冲分解 任意信号的脉冲分解方法， 是将冲激信号或阶跃信号作为基本信号元， 将任意信号分解为无穷多个冲激信号或阶跃信号， 如图1.5-4及图1.5-5所示。 这类分解的优点是基本信号元的波形简单， 响应好求， 并且可以充分利用LTI系统的叠加、 比例与时不变性， 方便地求解复杂信号的响应。

113 图 将信号分解为脉冲之和

114 图 将信号分解为阶跃

115 如图1.5-4所示， f(t)可以分解为冲激信号之和， 这种分解思路是先把信号f(t)分解成宽度为Δt的矩形窄脉冲之和， 任意时刻kΔt的矩形脉冲幅度为f(kΔt)。 为使分析简单， 我们假设f(t)为因果信号。 这样 f0(t)=f(0)［u(t)-u(t-Δt)］ f1(t)=f(Δt)［u(t-Δt)-u(t-2Δt)］  … fk(t)=f(kΔt)［u(t-kΔt)-u(t-(k+1)Δt)］ …

116 信号f(t)可近似表示为

117 令窄脉冲宽度Δt→0， 并对其取极限， 得到

118 此时kΔt→τ， Δt→dτ， ，即求和运算变为积分运算。 于是， 用冲激函数表示任意信号的积分形式为
（1.5-6）

119 如图1.5-5所示， f(t)可以分解为阶跃信号之和， 分解思路是先把信号分解为阶跃信号的叠加， 此时令

120 任意时刻kΔt的阶跃为 将信号f(t)近似表示为

121 然后， 令窄脉冲宽度Δt→0， 并对上式取极限为
 最后， 得到任意信号用阶跃信号表示的积分形式为 （1.5-7）

122 1.6 系统及其响应   系统所涉及的范围十分广泛， 包括大大小小有联系的事物组合体。 如物理系统、 非物理系统； 人工系统、自然系统、社会系统等等。 系统具有层次性， 可以有系统嵌套系统； 对某一系统， 其外部更大的系统称为环境， 所包含的更小的系统为子系统。

123 因为本书涉及的是电信号， 所以本书的系统，是产生信号或对信号进行传输、处理变换的电路（往往也称为网络）系统。这是由电路元器件组成的实现不同功能的整体。本书将用具体电路网络作为系统的例子，讨论信号的传输、处理、变换等问题， 所以书中网络、系统、电路三个名词通用。

124 图 信号与系统分析框图

125 由于信息网络的广泛应用， 在信息科学与技术领域中“网络”也泛指通信网或计算机网， 与本书的“网络”不同。 例如， 我们所涉及的连续系统， 其功能是将输入信号转变为所需的输出信号， 如图1.6-1所示。
图1.6-1中, f(t)是系统的输入（激励）， y(t)是系统的输出（响应）。 为叙述简便, 激励与响应的关系也常表示为f(t)→y(t)， 其中“→”表示系统的作用。

126 系统的初始状态 在讨论连续系统响应前， 首先讨论连续系统的初始状态（条件）， 其基本概念也可用于离散系统。 “初始”实际是一个相对时间， 通常是一个非零的电源接入电路系统的瞬间， 或电路发生“换路”的瞬间， 一般这一时刻记为t=t0。 为讨论问题方便， 本书一般将t0=0记为“初始”时刻。 本书用0-表示系统“换路”前系统储能的初始状态， 用0+表示“换路”后系统响应的初始条件。

127 图 例1.6-1简单电路

128 例1.6-1 如图1.6-2所示简单电路系统， 已知激励电流i(t)， 求响应vC(t)。
解 由电容的电压、 电流关系 (1.6-1) 式(1.6-1)是一阶线性微分方程， 解此方程可得响应为 (1.6-2)

129 式(1.6-2)说明电容电压与过去所有时刻流过电容的电流有关， 因此也称电容为动态（记忆、 储能）元件。 要知道全部时刻的电流iC(t)是不实际的， 通常要计算vC(t)一般是由已知某时刻t0开始到所要计算时刻t的iC(t)， 以及此时刻前的电容电压vC(t0)来确定， 即 (1.6-3a)

130 若t0=0， 代入上式成为 (1.6-3b)

131 式(1.6-3)中只有已知t>t0（t>0）时的iC(t)以及系统的初始条件vC( )、 vC(0+)， 才能求解t>t0（t>0）系统的响应vC(t)。 而vC( )或uC(0+)与系统的初始状态vC( )或vC(0-)密切相关。 vC( )或vC(0-)是在iC(t)时刻t= 或t=0-以前的作用， 反映了系统在该时刻的储能。 由电容与电感的对偶关系， 不难得到 (1.6-4)

132 以及 (1.6-5a) (1.6-5b)

133 系统的响应 下面通过具体例题讨论系统的响应。 例1.6-2 如图1.6-2所示电路系统， 且已知 vC(0-)=1/2 V， C=2 F, 电流i(t)的波形如图1.6-3所示， 求t≥0的响应vC(t)并绘出波形图。

134 图 例1.6-2电流i(t)波形

135 图 例1.6-2 vC(t)波形

136 解 由已知条件可见， 该系统既有初始储能, 也有激励， 所以系统响应既有初始储能产生的部分， 也有激励产生的部分。 从电流i(t)波形可知， i(t)除了在t=0时刻加入， 在t=1 及t=2 还有变化， 都可以理解为“换路”， 因此有t=0-、 t=1-及t=2-三个初始状态， 利用该电容电压无跳变， 分别解出对应的三个初始条件为 vC(0+)=vC(0-)=1/2 V vC(1+)=vC(1-)=3/2 V vC(2+)=vC(2-)=1/2 V

137 由此得到响应(如图1.6-4所示)为

138 由引起响应的不同原因， 我们给出系统零输入响应与零状态响应的定义： 当系统的激励为零， 仅由系统初始状态（储能）产生的响应是零输入响应， 记为yzi (t)或yx (t)； 当系统的初始状态（储能）为零， 仅由系统激励产生的响应是零状态响应， 记为yzs (t)或yf (t)。 上例是一阶微分方程描述的简单系统。 我们看到， 为了求解它的响应， 除了知道系统的激励外， 还需要知道系统的一个初始条件。

139 推论， 若系统是由n阶微分方程描述的， 则求解响应除了激励外， 还必须知道系统的n个初始条件（状态）。 n阶线性微分方程的一般形式为  
(1.6-6)

140 1.7 系 统 的 分 类 动态系统与静态系统 含有动态元件的系统是动态系统， 如RC、 RL电路。 没有动态元件的系统是静态系统也称即时系统， 如纯电阻电路。 动态系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关， 还与该时刻以前的激励有关； 静态系统在任意时刻的响应仅与该时刻的激励有关。 描述动态系统的数学模型为微分方程， 描述静态系统的数学模型为代数方程。

141 因果系统与非因果系统 因果系统满足在任意时刻的响应y(t)仅与该时刻以及该时刻以前的激励有关， 而与该时刻以后的激励无关。 也可以说， 因果系统的响应是由激励引起的， 激励是响应的原因， 响应是激励的结果； 响应不会发生在激励加入之前， 系统不具有预知未来响应的能力。 例如系统的激励f(t)与响应y(t)的关系为f(t)= dy(t)/dt ， 这是一阶微分方程， 而响应与激励的关系 是积分关系， 则系统是因果系统。 响应与激励具有因果关系的系统也称为物理可实现系统。

142 如果响应出现在激励之前， 那么， 系统为非因果系统， 也称为物理不可实现系统。 书中一般不特别指明均为因果系统。 例如图1
如果响应出现在激励之前， 那么， 系统为非因果系统， 也称为物理不可实现系统。 书中一般不特别指明均为因果系统。 例如图1.7-1(a)所示系统的响应与激励的关系为y1(t)=f1(t-1)， 响应出现在激励之后， 系统是因果系统； 如图1.7-1(b) 所示系统的响应与激励的关系为y2(t)=f2(t+1)， 响应出现在激励之前， 那么它是非因果系统。

143 图 1.7-1 (a) 因果系统； (b) 非因果系统

144 一般由模拟元器件如电阻、 电容、 电感等组成的实际物理系统都是因果系统。 在数字信号处理时， 利用计算机的存储功能， 可以逼近非因果系统， 实现许多模拟系统无法完成的功能， 这也是数字系统优于模拟系统的一个重要方面。 另外， t<0时为零的信号也称为因果信号。 对于因果系统， 在因果信号激励下， 响应也是因果信号。

145 连续时间系统与离散时间系统 激励与响应均为连续时间信号的系统是连续时间系统， 也称模拟系统； 激励与响应均为离散时间信号的系统是离散时间系统， 也称数字系统。 普通的电视机是典型的连续时间系统， 而计算机则是典型的离散时间系统。 随着大规模集成电路技术的发展与普及， 越来越多的系统是既有连续时间系统又有离散时间系统的混合系统。 如图1.7-2所示为一个混合系统。

146 图 混合系统

147 线性系统与非线性系统 “线性”系统是满足叠加性与比例(齐次或均匀)性的系统。 考虑引起系统响应的因素， 除了系统的激励之外， 还有系统的储能， 因此线性系统必须满足以下三个条件。

148 1. 分解性 系统的响应有不同的分解形式， 其中线性系统的响应一定可以分解为零输入响应与零状态响应， 即系统响应可表示为 y(t)=yzi (t)+yzs (t) （1.7-1） 式中， yzi (t)是零输入响应， yzs (t)是零状态响应。

149 2. 零输入线性 输入为零时， 由各初始状态{x1(0), x2(0), ..., xn(0)}引起的响应满足叠加性与比例性， 若 xk(0-）→yzik (t) (k=1~n) t≥0 则 (1.7-2)

150 式（1.7-2）可用图1.7-3的方框图表示。 图 零输入线性

151 3. 零状态线性 初始状态为零时， 由各输入激励f1(t), f2(t), ..., fm(t)引起的响应具有叠加性与比例性（均匀性）， 若 fi(t)u(t)→yzsi (t)u(t) 则 (1.7-3) 式（1.7-3）可由图1.7-4的方框图表示。

152 图 零状态线性

153 不满足上述任何一个条件的系统就是非线性系统。
如果线性系统还是因果系统， 那么由t<t0， f(t)=0可以得到 y(t)=0 t<t0

154 例1.7-1 已知系统输入f(t)与输出y(t)的关系如下， 判断系统是否线性。
(1) y(t)=3x(0-)f(t)u(t)； (2) y(t)=4x(0-)+2f2(t)u(t)； (3) y(t)=2+2f(t)u(t)； (4) y(t)=2x(0-) f(τ) dτ。

155 解 (1) 不满足可分解性， 是非线性系统； (2) 不满足零状态线性， 是非线性系统； (3) 不满足零输入线性， 是非线性系统； (4) 满足可分解性、 零输入线性、 零状态线性， 所以是线性系统。

156 时变系统与非时变系统 从系统的参数来看， 系统参数不随时间变化的是时不变系统， 也称非时变系统、 常参系统、 定常系统等； 系统参数随时间变化的是时变系统， 也称变参系统。 从系统响应来看， 时不变系统在初始状态相同的情况下， 系统响应与激励加入的时刻无关。 即

157 在{x1(0),x2(0),...,xn(0)}时， f(t)→y(t) 则在{x1(t0),x2(t0),...,xn(t0)}时, f(t-t0)→y(t-t0) （1.7-4） 非时变系统的输入输出关系可由图1.7-5表示。 从图1.7-5可见， 当激励延迟一段时间t0加入时不变系统时， 输出响应亦延时t0才出现， 并且波形变化的规律不变。

158 图 时不变系统

159 例1.7-2 已知系统激励与响应之间的关系如下， 判断是否是时不变系统。
y(t)=cos3t·x(0)+2tf(t)u(t) 解 因为初始状态x(0)与激励f(t)u(t)的系数均不是常数， 所以是时变系统。

160 1.8 LTI系统分析方法 如图1.8-1所示系统框图。 图 系统框图表示

161 图中T［ ］表示将输入信号转变为输出信号的运算关系， 可表示为
 y(t)=T［f(t)］ （1.8-1）

162 系统运算关系T［ ］既满足线性又满足时不变性的是线性时不变系统， 简写为LTI系统。 分析LTI系统具有重要意义， 因为LTI系统在实际应用中相当普遍， 或在一定条件范围内一些非LTI系统可近似为LTI系统； 尤其是LTI系统的分析方法已经形成了完整、 严密的理论体系。 而非线性系统分析， 迄今没有统一、 通用的分析方法， 只能视具体问题具体讨论。 此后不特别说明， 本书涉及的均是LTI系统。

163 LTI系统模型 描述LTI系统模型的方法有两类： 1. 输入—输出描述法 它着眼于系统激励与响应的外部关系， 不关心系统内部的变量情况。 适用于单输入、单输出系统， 如通信系统中大量遇到的就是单输入单输出系统。 2. 状态变量描述法 它除了给出系统的响应外， 还可以提供系统内部变量的情况， 适用于多输入、 多输出的情况。 在控制系统理论研究中， 广泛采用状态变量描述法。

164 LTI系统分析方法 LTI系统分析方法有时域方法与频（变）域方法两种。 LTI系统分析的一个基本任务是求解系统对任意激励信号的响应， 基本方法是将信号分解为多个基本信号元。 时域分析将脉冲信号作为基本信号元， 信号可以用冲激（阶跃）函数表示。 （复）频域（也称变域）分析将正弦（复指数）函数作为基本信号元， 信号可以用不同频率的正弦（复指数）函数表示。 它们是同一信号两类不同的分解方法， 对应着两类分析方法。

165 这两类分析方法思路相同， 都是先求得基本信号元的响应， 然后叠加。 即这两类分析方法均以叠加性、 均匀性及时不变特性作为分析问题的基点， 没有本质区别， 仅是分解的基本信号元不同而已。

166 LTI系统的微、 积分性质 利用LTI系统具有的叠加、 比例与时不变特性， 可推得LTI系统具有如下微分特性： 若f(t)→y(t)，则 (1.8-2)

167 证 若f(t)→y(t), 由时不变性， 输入时移t0， 输出也时移t0， 得到
f(t-t0)→y(t-t0) 由叠加性， 输入为两项叠加， 输出也为两项叠加， 得到 f(t)-f(t-Δt)→y(t)-y(t-Δt) 再由比例性， 输入乘1/Δt， 输出也乘1/Δt， 得到

168 对上式两边同时取极限 得到

169 这个性质说明， 当系统的输入是原信号的导数时， LTI系统的输出亦为原输出响应的导数。 这一结论可以推导到高阶导数与积分， 即若f(t)→y(t)， 则
（n为正整数） （1.8-3） （1.8-4）

170 式（1.8-3）与（1.8-4）表示当系统的输入是原信号的n阶导数时， 系统的输出亦为原输出响应函数的n阶导数； 当系统的输入是原信号的积分时， 系统的输出亦为原输出响应函数的积分。 LTI系统的微分特性和积分特性如图1.8-2所示。

171 图 LTI系统的微分特性和积分特性