第 4 章 機率導論.

Presentation on theme: "第 4 章 機率導論."— Presentation transcript:

1 第 4 章 機率導論

2 本章內容 4.1 隨機實驗、計數法則及機率指派離散量數 4.2 事件與事件機率 4.3 機率的基本關係 4.4 條件機率 4.5 貝氏定理

3 機率導論 管理者經常要根據不確定性的分析結果來進行決策 ，例如： 若提高商品價格，商品銷售額下降的機會有多少？
新裝配方法對提高生產力的可能性有多少？ 專案準時完成的可能性有多少？ 新投資會獲利的機會有多大？ 第4章 機率導論 第140頁

4 機率導論 機率 (probability) 是事件發生可能性的數值衡量。
機率值永遠介於 0 與 1 之間，機率值接近 0 表示非 常不可能發生；機率值接近 1 表示幾乎確定會發生 。其他介於 0 與 1 之間的機率值，表示事件發生可 能性的程度。 第4章 機率導論 第 頁

5 機率導論 第4章 機率導論 第141頁

6 4.1 隨機實驗、計數法則及機率指派 計數法則、組合及排列 機率指派 KP&L 專案的機率 第4章 機率導論 第 頁

7 隨機實驗 隨機實驗 (ramdon experiment) 是能產生定義清楚 的結果的程序。實驗的任何重複或試行所出現的結 果完全由機會決定。 樣本空間 (sample space) 為隨機實驗的所有可能實 驗結果的集合。 樣本點 (sample point) 即樣本空間的一個元素。 第4章 機率導論 第141頁

8 實驗與其樣本 以下為實驗及實驗結果的一些例子。 第4章 機率導論 第 頁

9 實驗與其樣本 例如： 丟擲一枚硬幣，定義 S 為其樣本空間，則 S 為 S = {正面，反面}
第4章 機率導論 第 頁

10 計數法則、組合及排列實例 三種有用的計數法則 多重步驟實驗 (multiple-step experiments)
若有一個實驗可分成 k 個步驟，而第一個步驟有 n1 個可能 結果，第二個步驟有 n2 個可能結果，其他依此類推，則 此實驗共有 (n1) (n2) ⋯ (nk) 個實驗結果。 樹狀圖 (tree diagram)是協助我們瞭解多重步驟實 驗結果的圖形。 第4章 機率導論 第 頁

11 多重步驟實驗計數法則 圖 4.2 是丟擲兩枚硬幣的樹狀圖 其中 wi = 第i 個觀察值的權重 第4章 機率導論 第 頁

12 多重步驟實驗計數法則 表 4.1 彙整 KP&L 公司擴廠專案各種可能完成時間 ，而圖 4.3 以樹狀圖顯示 9 種可能結果 (樣本點) 。
第4章 機率導論 第143頁

13 多重步驟實驗計數法則 第4章 機率導論 第144頁

14 組合的計數法則 另一個有用的計數法則是，計算從 N 個個體中取出 n 個個體時 (通常 N＞n)，共有幾種取法，這個計數 法則稱為組合 (combinations) 的計數法則。 從 N 個個體中一次取 n 個組合數，共有： 其中 N! = N(N - 1)(N - 2) (2)(1) n! = n(n - 1)(n - 2) (2)(1) 0! = 1 第4章 機率導論 第144頁

15 組合的計數法則實例 實例： 從五個零件中隨機抽取兩個零件進行品質檢驗
佛羅里達州彩券系統以隨機的方式從 53 個數字中取出 6 個數字做為頭彩。則依式 (4.1)，可能的組合數共有 由上述組合的計數法則發現，該抽獎的組合數接近 2,300 萬種，也就是買一張彩券只有 1/22,957,480 的機率中頭 彩。 第4章 機率導論 第 頁

16 排列計數法則 第三個計數法則稱為排列 (permutations) 的計數法 則。當我們由 N 個個體抽出 n 個，而且抽出的順序 也必須列入考慮，即相同的 n 個個體，以不同的順 序抽出時，會被視為不同的實驗結果。 從 N 個個體抽出 n 個排列的取法，一共有： 第4章 機率導論 第145頁

17 機率指派 機率指派的基本要求 (basic requirements for assigning probabilities)
指派到任一實驗結果的機率值必須介於 0 與 1 之間。假 設 Ei 表示第 i 個實驗結果，而 P(Ei) 表示該事件發生的機 率，則 對所有 i 而言，0 ≤ P(Ei) ≤ 1 所有實驗結果出現機率的總和必須等於 1.0。假設一樣本 空間含有 n 個實驗結果，則 P(E1)＋P(E2)＋…＋P(En)＝1 第4章 機率導論 第 頁

18 機率指派 古典法 (classical method) 相對次數法 (relative frequency method)
指派機率適用於各實驗結果出現的可能性皆相等時。 相對次數法 (relative frequency method) 指派機率是基於實驗或歷史資料。 主觀法 (subjective method) 採用主觀法對實驗結果指派機率時，諸如經驗直覺等任何 可用資訊皆可使用。 第4章 機率導論 第 頁

19 古典法實例 如果一實驗可能出現 n 個結果，則各實驗結果發生 的機率各為 1/n，當我們應用古典法時，自然會滿 足機率指派的基本要求。 實例
以投擲一骰子為例 樣本空間：S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 每一實驗結果被指派的機率值各為1/6 第4章 機率導論 第146頁

20 相對次數法實例 連續 20 天的上午 9 點，在醫院 X 光部門記錄等待 檢驗的病人數目，得到以下的結果。 第4章 機率導論 第146頁

21 相對次數法實例 以上資料顯示，在 20 天中的 2 天，等待人數為 0 ；有 1 個病人等待檢驗的天數是 5 天等等。利用相 對次數法，我們可以指派沒有病人在等待的機率為 2/20 ＝0.10；1 個病人在等待的機率為 5/20 ＝ 0.25 ；2 個病人在等待的機率為 6/20 ＝ 0.30；3 個病人 在等待的機率為 4/20 ＝ 0.20；4 個病人在等待的機 率則為 3/20 ＝ 0.15 。如同古典法，相對次數法也 自然會滿足式 (4.3) 及式 (4.4) 的基本要求。 第4章 機率導論 第146頁

22 主觀法 主觀法 (subjective method) 適用的情況是，實驗結 果出現的可能性並不相等，而且無法得到相對次數 的資料。採用主觀法對實驗結果指派機率時，諸如 經驗直覺等任何可用資訊皆可使用。 當考慮所有可用的資訊之後，指派的機率值表示我 們對某特定實驗結果將發生的信心程度 (degree of belief) ( 以 0 到 1 為範圍) 。 即使在可以適用古典法或相對次數法的情況下，管 理者仍可能採取主觀法進行機率估計。 第4章 機率導論 第147頁

23 主觀法實例 假設湯姆及茱蒂夫婦在購屋時，提出一個購買價格 ，這個價格提供給賣方之後，可能有兩種結果：
E1＝他們的出價被接受 E2＝他們的出價被拒絕 茱蒂相信出價被賣方接受的機率是 0.8，因此，她 會設定 P(E1)＝0.8 及 P(E2)＝0.2，然而，湯姆相信 出價被賣方接受的機率是 0.6，因此，他會設定 P(E1)＝0.6 及 P(E2)＝0.4，由以上的機率顯示湯姆 對出價被接受的可能抱持較悲觀的看法。 第4章 機率導論 第147頁

24 KP&L 專案的機率 為了進一步分析 KP&L 專案，必須有表 4.1 中九種 實驗結果的機率。
根據經驗與判斷，管理當局認為各實驗結果發生的 可能性並不相等，因此不適用機率指派的古典法。 此時管理當局決定針對過去 3 年曾執行過的 40 個 類似專案進行研究，研究的結果彙整於表 4.2 。 第4章 機率導論 第147頁

25 KP&L 專案的機率 各樣本點的機率值如表 4.3 所示。 第4章 機率導論 第148頁

26 評註 在統計上所謂的實驗，與物理科學上的實驗不太 相同。物理科學中的實驗通常是在實驗室或受控 制的環境中進行，用於瞭解因果關係。但統計實 驗的結果是隨機產生的，即使以相同條件重複進 行的實驗，也可能會產生不同結果，因此統計實 驗又稱為隨機實驗 (random experiments)。 以抽出不放回的方式，由一個大小為 N 的母體抽 取樣本時，我們可運用組合的計數法則來計算可 以抽出多少個大小為 n 的不同樣本。 第4章 機率導論 第148頁

27 4.2 事件與事件機率 一個事件(event)是樣本點的集合。 任何一個事件的機率等於該事件中各樣本點出現機 率的總和。
運用此定義，只要將構成事件的各樣本點 (實驗結 果) 的機率相加，即可計算發生某特定事件的機率 。 第4章 機率導論 第151頁

28 事件與事件機率實例 我們回到 KP&L 的擴廠專案，假定專案經理感興趣 的是擴廠專案是否能在 10 個月 (含) 內完成，參考 表 4.3 ，我們發現有六個樣本點—(2, 6)、(2, 7)、(2, 8)、(3, 6)、(3, 7)、(4, 6)—是在 10 個月 (含) 內完成 。令 C 代表該專案在 10 個月 (含) 內完成的事件， 則 C ＝ {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6)} 事件 C 中任何一個樣本點出現，我們就稱發生事件 C 。 第4章 機率導論 第151頁

29 事件與事件機率實例 現在我們可以計算該專案將在 10 個月 (含) 內完成 的機率，已知該事件 C ＝ {(2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 7), (4, 6)}，所以事件 C 發生的機率，表示為 P(C)，可以得知 P(C)＝P (2, 6)＋P (2, 7)＋P (2, 8)＋P (3, 6)＋P (3, 7)＋(4, 6) 參考表 4.3 中各樣本點的機率可得 P(C)＝0.15＋0.15＋0.05＋0.10＋0.20＋0.05＝0.70 第4章 機率導論 第151頁

30 事件與事件機率實例 同理，專案在 10 個月以內完成的事件 L＝{(2, 6), (2, 7), (3, 6)}，所以事件 L 發生的機率為
P(L)＝ P (2, 6)＋P (2, 7)＋P (3, 6) ＝ 0.15＋0.15＋0.10＝0.40 最後，專案完成時間多於10個月的事件 M ＝{(3, 8), (4, 7), (4, 8)}，因此事件 M 發生的機率為 P(M)＝P (3, 8)＋P (4, 7)＋P (4, 8) ＝0.05＋0.10＋0.15＝0.30 第4章 機率導論 第 頁

31 評註 樣本空間 S，也是一個事件，因為它包含所有實 驗結果，因此發生的機率為 1；即 P(S) ＝ 1。
以古典法指派機率時，由於假設各樣本點出現的 機率皆相等，因此計算一事件發生的機率就是將 該事件包含的實驗結果數除以所有實驗結果數。 第4章 機率導論 第152頁

32 4.3機率的基本關係 事件的餘集 加法律 第4章 機率導論 第 頁

33 事件的餘集 給定一事件 ，則事件 A 的餘集 (complement of event) 是指樣本空間中不包含 A 事件之所有樣本點 所成的集合。 A 的餘集以 Ac 表示。 第4章 機率導論 第154頁

34 事件的餘集 圖 4.4 稱為范氏圖 (Venn Diagram)，矩形表示樣本 空間，包含實驗的所有樣本點，圓圈表示事件 A， 矩形中陰影的部分為事件 A 的餘集。 第4章 機率導論 第 頁

35 兩事件的聯集 A 和 B 的聯集表示所有屬於 A 或 B 或同時屬於兩者 的所有樣本點所成的集合。聯集表示為 A ∪ B。
第4章 機率導論 第 頁

36 兩事件的交集 給定兩事件 A 和 B，則 A 和 B 的交集表示在 A 和 B 中共同出現的樣本點構成的事件。交集表示為 A ∩ B。
第4章 機率導論 第156頁

37 加法律 加法律 (addition low) 用來計算事件 A 或事件 B 或 兩者皆發生的機率。 表示如下：
P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B 第4章 機率導論 第156頁

38 加法律實例 假設工廠有 50 名員工，每名員工必須準時完成指 派的工作，並且能通過最後檢驗。有時員工疏忽造 成進度落後或產生不良品。績效評估的最後階段， 產品經理發現，50 名員工中有 5 名工作進度落後 ，50 名員工中有 6 名員工組裝出不良品，50 名員 工中有 2 名工作進度落後且組裝出不良品。 令 L ＝ 工作進度落後事件 D ＝ 組裝出不良品事件 第4章 機率導論 第 頁

39 加法律實例 從上述的相對次數資訊可以得到如下的機率：
生產經理看過資料後，決定給予工作進度落後或生產 不良品的員工不好的績效評等。因此，生產經理感興 趣的應該是 L∪D。請問生產經理給予員工不好的績效 評等的機率有多大？ 第4章 機率導論 第157頁

40 加法律實例 這是兩事件聯集的機率問題。利用式 (4.6)，可得 P(L∪D)＝0.10＋0.12－0.04＝0.18
P(L∪D)＝ P(L)＋P(D)－P(L∩D)  將已知的三個機率值代入上式右邊，可得 P(L∪D)＝0.10＋0.12－0.04＝0.18 這表示有 0.18 的機率，一名員工會得到不好的績 效評等。 第4章 機率導論 第157頁

41 加法律實例 另一個加法律的例子是大型電腦體公司的人事經理 所做的研究。研究發現，2 年內離職的員工中有 30% 是因為對薪水不滿意，有 20% 是因為對工作 不滿意，有 12% 的員工對薪水和工作都不滿意。 請問 2 年內離職的員工中有多少是因為對薪水不滿 意、對工作不滿意，或對兩者皆不滿意？ 令 S＝員工離職是因為對薪水不滿意的事件 W＝員工離職是因為對工作不滿意的事件 第4章 機率導論 第157頁

42 加法律實例 我們可得 P(S) ＝ 0.30、P(W) ＝ 0.20 和 P(S ∩ W) ＝ 0.12，利用式 (4.6) 的加法律，我們可以知道： P(S ∪ W) ＝ P(S) ＋ P(W)－P(S ∩ W) ＝ 0.30 ＋ 0.20－0.12 ＝ 0.38 我們發現有0.38 的機率，員工是因為對薪水不滿意 、對工作不滿意，或對兩者皆不滿意而離職 第4章 機率導論 第157頁

43 互斥事件 兩互斥事件 (mutually exclusive events)，表示兩事 件沒有共同的樣本點。
若事件 A 和 B 互斥，表示當一事件發生時，另一 事件必不發生。 第4章 機率導論 第158頁

44 互斥事件 兩事件 A 與 B 互斥，則 P(A ∩ B = 0 。 互斥事件的加法律 P(A ∪ B) = P(A) ＋P(B)
第4章 機率導論 第158頁

45 4.4條件機率 獨立事件 乘法律 第4章 機率導論 第 頁

46 條件機率 某一事件發生的機率常受其他相關事件是否發生所 影響，稱為條件機率(conditional probability) 。
條件機率記作 P (A | B)。 條件機率： 第4章 機率導論 第 頁

47 條件機率實例 以美國東部某大都市警察局的男警官及女警官的人 事升遷狀況為例。警官總人數為 1200 人，男性 960 人，女性 240 人。過去 2 年中，有 324人升遷 ，詳細資料如表 4.4 所示。 第4章 機率導論 第 頁

48 條件機率實例 女性警官委員會檢視升遷紀錄後，提出性別歧視的 指控，因為有 288 位男性升遷，卻只有 36 位女性 獲得升遷。主管機關認為並沒有性別歧視，女性警 官升遷人數較少是因為女性警官本來就只占全體警 官的少數。我們要說明如何以條件機率來分析性別 歧視的指控。 令 M ＝男性警官的事件 W ＝女性警官的事件 A ＝警官升遷的事件 Ac ＝警官未升遷的事件 第4章 機率導論 第 頁

49 條件機率實例 將表 4.4 中的資料皆除以總人數 1200，我們可以獲得如下的機率資料。
P(M ∩ A ) ＝ 288/1200 ＝ 0.24 隨機抽取一男性警官且升遷的機率 P(M ∩ Ac ) ＝ 672/1200 ＝ 0.56 隨機抽取一男性警官且未升遷的機率 P(W ∩ A ) ＝ 36/1200 ＝ 0.03 隨機抽取一女性警官且升遷的機率 P(W ∩ Ac ) ＝ 204/1200 ＝ 0.17 隨機抽取一女性警官且未升遷的機率 上述的值皆為兩事件交集的機率，故稱為聯合機率 (joint probabilities)。 第4章 機率導論 第161頁

50 條件機率實例 表 4.5是警官升遷狀況機率彙整表，稱為聯合機率 表 ( joint probability table) 。
第4章 機率導論 第 頁

51 條件機率實例 聯合機率表的邊欄 (列) 是個別事件的機率，如 P(M)＝0.80、P(W)＝0.20、P(A)＝0.27 及 P(Ac)＝ 0.73 。由於這些機率位於聯合機率表的邊緣，所以 稱為邊際機率(marginal probabilities) 。 邊際機率是由各行或各列的聯合機率值加總而得。 例如，邊際機率 P(A) ＝ P(M ∩ A) ＋ P(W ∩ A) ＝ ＋ 0.03 ＝ 0.27 。從邊際機率可知，80% 的警 官為男性，20% 的警官為女性，全體警官的 27% 獲得升遷，73% 沒有。 第4章 機率導論 第161頁

52 條件機率實例 P(A︱M) 即指現在關心的是 960 位男性警官的升遷 狀況。因為 960 位男性警官中有 288 位升遷，因此 男性警官獲得升遷的機率是 288/960＝0.30 。換句 話說，在給定警官為男性的條件下，在過去 2 年有 30% 的機率會獲得升遷。 第4章 機率導論 第 頁

53 條件機率 條件機率 第4章 機率導論 第 頁

54 獨立事件 如果事件 A 的機率不受事件 M 的影響，即 P(A︱M) ＝P(A)，此時稱事件 A 和 M 為獨立事件 (independent events)。 兩事件 A 和 B 是獨立事件，若 或 否則兩事件相依。 P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) 第4章 機率導論 第163頁

55 乘法律 乘法律 (multiplication law) 是用來計算兩事件交集 的機率。 乘法律如下所示： 或
P(A ∩B) = P(B)P(A | B) P(A ∩B) = P(B)P(B | A) 第4章 機率導論 第 頁

56 乘法律實例 某地區有 84% 的家庭訂閱某報的平日版，令 D 表 示該地區訂閱平日版的事件，則 P(D)＝0.84。另外， 已訂閱平日版的訂戶有訂閱假日版(令訂閱假日版 的事件為 S)的機率為 0.75，即 P(S | D) ＝0.75。請 問同時訂閱兩種報紙的機率為何？利用乘法律，我 們可以計算P(S∩D)為： P(S∩D)＝ P(D) P(S | D)＝0.84(0.75)＝0.63 表示該地區的家庭有63% 同時訂閱兩種報紙。 第4章 機率導論 第164頁

57 獨立事件的乘法 要計算兩獨立事件交集的機率，只要將個別事件機 率相乘即可。 獨立事件的乘法律： P(A ∩ B) = P(A)P(B)
第4章 機率導論 第164頁

58 獨立事件的乘法律實例 假設某加油站的經理根據過去的經驗得知，80% 的 顧客加油時以信用卡付費。請問接下來的兩位顧客 都以信用卡付費的機率是多少？我們令 A ＝ 第一位客戶使用信用卡的事件 B ＝ 第二位客戶使用信用卡的事件 事件交集是A ∩ B，若沒有其他資訊，則可以合理 假設 A 和 B 為獨立事件。因此， P(A∩B)＝P(A)P(B)＝(0.80)(0.80)＝0.64 第4章 機率導論 第164頁

59 評註 請勿將互斥事件與獨立事件混為一談。機率不為 0 的兩事件不能既獨立且互斥。若兩互斥事件中的一 事件發生，則另一事件必不發生，因此互斥事件必 為相依。 第4章 機率導論 第165頁

60 4.5貝氏定理 表格求解法 第4章 機率導論 第 頁

61 貝氏定理 對某特定事件的分析，經常是由初始的或先驗機率 (prior probability) 開始。
然後，經由諸如樣本、特定報告或產品測試等資訊 ，得到某特定事件的額外資訊。 運用已知的新資訊，我們對先前的機率進行修正， 稱為事後機率 (posterior probabilities) 。 貝氏定理 (Bayes’ theorem) 是計算這些機率的方法 。機率修正程序如圖 4.9 。 第4章 機率導論 第168頁

62 貝氏定理 第4章 機率導論 第168頁

63 貝氏定理實例 某製造商向兩家供應商訂購零件，令A1 表示的事件是 供應商1 供應零件，A2 是供應商 2 供應零件。現在有 65% 的零件購自供應商 1，35% 的零件則購自供應商 2 。假設隨機取出一零件，我們指派先驗機率 P(A1)＝ 0.65 與 P(A2)＝0.35。 零件品質因供應來源而異，而供應商供貨品質的歷史 資料如表 4.6 。令 G 代表零件是好的，B 代表零件是壞 的。由表 4.6 可得知如下的條件機率值。 P(G∣A1) = P(B∣A1) = 0.02 P(G∣A2) = P(B∣A2) = 0.05 第4章 機率導論 第168頁

64 貝氏定理實例 由圖4.10 的樹狀圖可看出，公司從供應商處收到零 件，然後檢驗零件的好壞，我們可視此過程為兩步 驟實驗，有四個實驗結果：兩個對應到零件是好的 ，另外兩個對應到零件是壞的。 第4章 機率導論 第 頁

65 貝氏定理實例 第4章 機率導論 第169頁

66 P(A1, G) = P(A1 ∩ G) = P(A1)P(G∣A1)
貝氏定理實例 每一實驗結果皆是兩事件的交集，因此我們可以用 乘法律計算其機率。則： P(A1, G) = P(A1 ∩ G) = P(A1)P(G∣A1) 聯合機率的計算過程可在機率樹狀圖上加以表達 (見圖 4.11) 。從樹的左邊到右邊，步驟 1 的每一分 支代表先驗機率，步驟 2 的每一分支代表條件機率 。要找到每個實驗結果的機率，只要將實驗結果前 的分支機率相乘。圖 4.11 的每個聯合機率，可看 出每個已知的分支機率。 第4章 機率導論 第 頁

67 貝氏定理實例 第4章 機率導論 第169頁

68 貝氏定理實例 假設這些零件已投入生產製程，而且有一機器因壞 的零件而故障。若已知某一零件是壞的，則它來自 供應商 1 的機率是多少？來自供應商 2 的機率是多 少？有機率樹上的資訊( 見圖 4.11)，可利用貝氏定 理回答上述問題。 令 B 事件表示零件是壞的，則事後機率P(A1︱B) 和P(A2︱B) 可由條件機率公式得知 第4章 機率導論 第169頁

69 = P (A1) P(B︱A1) + P(A2) P(B︱A2)
貝氏定理實例 參考機率樹狀圖可知 P (A1 ∩ B) = P (A1 )P(B︱A1) 要找出P(B)，我們注意到只有兩種情況下會發生事 件 B：(A1 ∩ B) 和(A2 ∩ B)，因此可得 P(B) = P (A1∩B) + P (A2∩B) = P (A1) P(B︱A1) + P(A2) P(B︱A2) 第4章 機率導論 第169頁

70 貝氏定理 (兩事件的情況) 第4章 機率導論 第170頁

71 貝氏定理 第4章 機率導論 第171頁

72 表格求解法 步驟1. 準備下列三欄： 步驟2. 在第4欄，利用乘法律計算每一事件的聯合 機率 P(Ai∩B)，聯合機率為第 2 欄先驗機
步驟1. 準備下列三欄： 第1欄 ── 想要求解事後機率的互斥事件Ai。 第2欄 ── 這些事件的先驗機率 P(Ai) 。 第3欄 ── 給定新資訊 B 下的條件機率P(B︱ Ai) 。 步驟2. 在第4欄，利用乘法律計算每一事件的聯合 機率 P(Ai∩B)，聯合機率為第 2 欄先驗機 率和第 3 欄條件機率的乘積，即 P (Ai ∩ B) ＝P(Ai)P(B︱Ai)。 第4章 機率導論 第171頁

73 表格求解法 步驟3. 將第 4 欄的聯合機率加總即得 P(B)。由表
4.7 可看出，零件是壞的，而且來自供應商 1 的機率 是 ；零件是壞的，而且來自供應商 2 的機率 是 。而 ＋0.0175＝0.0305，即為零件 是壞的機率。 步驟4. 第5欄是利用條件機率的基本關係求得事 後機率。即 其中聯合機率 P(Ai ∩ B)在第 4 欄，而 P(B) 為第4欄 的加總。 第4章 機率導論 第171頁

74 表格求解法 第4章 機率導論 第171頁

75 評註 貝氏定理在決策分析中應用廣泛。先驗機率經常 是由決策者主觀估計，在取得樣本資訊之後，即 可計算事後機率，再選出最佳決策。
一事件與餘事件互斥，它們的聯集為整個樣本空 間。因此，貝氏定理一定適用於計算事件及餘事 件的事後機率。 第4章 機率導論 第172頁

76 End of Chapter 4