04 第四章 應用幾何 4-1 概說 4-2 認識尺度符號 4-3 等分線段、圓弧與角 4-4 垂直線與平行線 4-5 多邊形

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1 04 第四章 應用幾何 4-1 概說 4-2 認識尺度符號 4-3 等分線段、圓弧與角 4-4 垂直線與平行線 4-5 多邊形
04 第四章 應用幾何 4-1 概說 4-2 認識尺度符號 4-3 等分線段、圓弧與角 4-4 垂直線與平行線 4-5 多邊形 4-6 相切與切線 4-7 圖形比例 4-8 圓錐曲線

2 4-1 概說 觀察日常生活中所見諸物體，其形狀皆由一種或數種幾何形體所構成。工程圖所表現的都是物體之形態，它們亦均為幾何圖形所構成。因此在工程圖中，常須應用幾何原理和幾何構圖來解決問題，故幾何圖形的作圖，在製圖中占極重要之地位。 4-2 認識尺度符號 一張工程圖除了幾何形狀之構成以表達物體形狀外，還必須加註尺度大小，而在標註尺度時 ，常必須由符號與數字併用。 1

3 4-3 等分線段、圓弧與角 一、等分直線或圓弧 二、等分角度 已知線段AB或圓弧AB，求作等分線段或圓弧。 【作法】
或圓弧）的一半長為半徑畫弧相交於D、E兩點。 2、以三角板連接D、E兩點與線段AB或圓弧AB交於C點。 3、C點即為平分直線或圓弧之中點。 二、等分角度 已知∠BAC，求作∠BAC之分角線 。 【作法】 1、以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧交夾角的兩邊於E 及F。 2、再以E、F各為圓心，大於線段EF的一半長為半徑畫弧 相交於D。 3、連接AD即為所求。 2

4 4-4 垂直線與平行線 三、任意等分線段 一、過直線外一點P，畫該直線的平行線 已知線段AB，求作三等分線段AB 。 【作法】
1、從已知直線A端引一任意角的直線AC。 2、用分規或直尺在AC直線上定出三個任意等長間距之分 隔點1、2、3。 3、將最後分隔點3與B端連接。 4、通過其他分隔點1、2，畫與3-B線段平行之線即得。 4-4 垂直線與平行線 一、過直線外一點P，畫該直線的平行線 已知線段AB及P點，求作一線段通過P點並平行線段AB。 【作法】 1、將三角板之任一邊與已知線AB對齊。 2、用丁字尺置於三角板下，按住丁字尺保持不動。 3、移動三角板至此邊正好過P點，沿此邊畫直線CD，即 與已知線AB平行。 3

5 4-5 多邊形 二、過直線外一點P，畫該線的垂直線 一、畫等邊三角形 已知線段AB及P點，求作一線段通過P點並垂直於線段AB。 【作法】
2、用丁字尺靠緊三角板之斜邊，並按住丁字尺。 3、移動三角板，至另一腰正好過P點，沿此腰畫線。 4-5 多邊形 以三條或三條以上直線所圍成之平面，即稱為多邊形（ polygon ）。此等直線稱為多邊形之邊，兩邊相交所夾稱為角。當多邊形其邊其角均相等者，即為正多邊形（r- egular polygon）。正多邊形每一內角 。 n為正多邊形之邊數，正多邊形之外角和為360ﾟ。 一、畫等邊三角形 已知邊長線段AB，求作一等邊三角形 。 【作法】 1、各以線段AB之兩端為圓心，線段AB長為半徑畫弧相交 於C。 2、連接AC、BC即得。 4

6 二、畫正四邊形 （一）已知外接圓，求作正四邊形 。 【作法】 1、過圓心O畫水平及垂直兩直徑AB、CD。 2、連接A、B、C、D各點即得。
（二）已知內切圓，求作正四邊形 。 【作法】 1、用45˚三角板配合丁字尺畫四條圓之切線即得。 5

7 三、畫正五邊形 （一）已知外接圓，求作正五邊形 。 【作法】 1、過圓心O作兩條互相垂直之直徑。 2、求半徑OD之中點C。
3、以C為圓心，CA長為半徑畫弧交於E。 4、以A為圓心，AE長為半徑畫弧交O圓周於B。 5、畫直線AB，即為所求正五邊形之一邊，以邊長分圓周 為五等分，連結各等分點即得。 （二）已知一邊長AB，求作正五邊形。 【作法】 1、平分已知邊AB得中點C。 2、以B為圓心，BA長為半徑畫弧與B點垂線相交於D。 3、以C為圓心，CD長為半徑畫弧與AB延長交於E。 4、以A為圓心，AE長為半徑畫弧與AF弧及AB垂直平分線 GC分別相交於F及G點。 5、連結BF、FG即為正五角形之兩邊。 6、以A、G各為圓心，正五邊形之一邊長為半徑畫弧相交 於H，連結GH、HA即得。 6

8 四、畫正六邊形 （一）已知外接圓，求作正六邊形。 【作法】 1、用圓規量取圓半徑長，順次將圓周六等分。 2、連結各等分點即得。
（二）已知一邊長，求作正六邊形。 【作法】 1、由已知邊長AO為半徑畫一正圓。 2、以A為圓心，半徑長不變畫弧交圓周於B、F兩點。 3、同樣再以D為圓心，畫弧交圓周於C、E兩點。 4、連結AB、BC、CD、DE、EF、FA即得。 7

9 五、畫任意正多邊形（近似法） （三）已知內切圓，求作正六邊形。 【作法】 1、用丁字尺畫圓之上下兩條水平線。
2、置30˚×60˚三角板之短腰於丁字尺上，移動三角板之斜 邊作圓的切線AF、CD、BC、EF即得。 五、畫任意正多邊形（近似法） （一）已知外接圓，求作任意正多邊形。 【作法】 1、畫已知圓直徑AB。 2、將直徑AB七等分（隨要作幾邊形，就作幾等分）。 3、各以A、B為圓心，AB長為半徑畫圓弧相交於P、R兩 點。 4、連結P2、P4、P6並延長之，交於圓上C、D、E各點。 5、連結R2、R4、R6並延長之，交於圓上H、G、F各點。 6、順次連結各點即得。 8

10 （二）已知一邊長，求作任意正多邊形。 【作法】 1、由已知邊長畫一等邊三角形AOB。 2、等分AO或BO為六等分。 3、以O點為圓心，依次移轉 1、2、3… 各點至AB之垂直 平分線上，得D、E、F…各點。 4、點D為正七邊形之外接圓中心，點E為正八邊形外接圓 中心，…。 5、以各外接圓中心至A或B點之距離為半徑畫外接圓。 6、取AB長等分圓弧後，連接各等分點即可畫出正多邊形 。 4-6 相切與切線 當一圓弧與一直線相切，其切點（T）必位於經圓弧中心且垂直該直線之線上。兩圓相切，其切點（T）必位於兩圓心之連心線上或其延長線上；若兩圓為外切則其連心線長等於兩圓之半徑和；若兩圓為內切則其連心線長等於兩圓之半徑差。 9

11 一、畫直線與圓相切 （一）自圓上一點，求作一切線。 【作法】 1、以三角板緊沿著丁字尺，使三角板之直角邊連結圓心 及 P 點。
畫線即得。 （二）自圓外一點，求作一切線。 【作法】 1、以三角板緊沿丁字尺，使其直角邊過P點且與圓相切。 2、按住丁字尺，移動三角板，使另一直角邊通過圓心與 圓相交得切點T。 3、連接PT即得。 10

12 （三）已知兩圓，求作其公切線。 【作法】 1、置三角板的一直角邊與兩圓相切。 2、用丁字尺與三角板的斜邊相靠。 3、按住丁字尺，移動三角板，使三角板之直角邊通過圓 心O1與O2，沿此直角邊作直線與圓周相交得切點 T 及T’。 4、連結T、T’兩切點即得公切線。 內公切線 外公切線 11

13 二、畫圓弧切於直線 （一）已知圓弧半徑R，線段AB及線段外一點P，求作以 半徑R畫一圓弧過P點並與線段AB相切。 【作法】
1、在AB線上適當位置取圓心，以已知圓弧半徑R作一圓 弧。 2、作圓弧之切線DE，且平行直線AB。 3、以已知點P為圓心，已知半徑R畫弧，交切線DE於C。 4、由C作直線AB的垂線交AB於T，T點即為切點。 5、以C為圓心，R為半徑，畫圓弧TP即得。 （二）已知圓弧半徑R，及成直角的兩直線，求作以半徑 R，畫一圓弧與成直角的兩直線相切。 【作法】 1、以兩直線之交點O為圓心，已知半徑R畫圓弧交兩直線 於T、T’， T、T’兩點即為切點。 2、各以T、T’為圓心，已知半徑R畫圓弧，相交於C。 3、以C為圓心，已知半徑R畫圓弧即得。 12

14 三、畫圓弧切於直線及圓弧 （三）已知圓弧半徑R，及成銳角或鈍角的兩直線，求作 以半徑R，畫一圓弧與成銳角或鈍角的兩直線相切 。 【作法】
圓弧。 2、作兩圓弧之切線且平行於兩直線，相交於C。 3、由C點作兩已知直線的垂線，得切點T、T’。 4、以C為圓心，用已知半徑 R在兩切點間畫出所需的圓 弧。 三、畫圓弧切於直線及圓弧 已知圓弧半徑R，及線段AB和圓弧CD，求作以半徑R，畫 一圓弧與線段AB和圓弧CD相切。 【作法】 1、在AB直線上適當位置取圓心，以已知半徑R畫圓弧， 並作切線且平行AB直線。 2、以圓弧CD之圓心O為圓心，(R1＋R)或(R1－R)的長 為半徑畫圓弧交切線於P。（(R1＋R)為外側相切， (R1－R)為內側相切） 3、由P作直線AB之垂線得切點T，連結PO得切點T’。 4、以P為圓心，已知半徑R畫圓弧相切即得。 13

15 四、畫圓弧切於兩圓弧 已知圓弧半徑R，及圓弧O1和圓弧O2，求作以半徑R畫一 圓弧與兩已知圓弧相切。 【作法】
1、各以O1、O2為圓心，如為外側相切，以(R＋R1)、 (R＋R2)的長為半徑，畫二圓弧相交於S。如為內側 相切則以(R－R1)、 (R－R2)為半徑畫圓弧相交。 2、連結SO1得切點T，連結SO2得切點T’。 3、以S為圓心，半徑R長畫圓弧相切即得。 14

16 4-7 圖形比例 一、圖形的放大或縮小 （一）對角線法 。 【作法】 1、於原圖形編號。
2、以A點為基準畫水平與垂直兩座標軸，並連結AC對角 線延長。 3 、於對角線決定放大（或縮小）之比例點C'。 4 、由決定比例之C‘點畫C’B‘平行CB，畫C’D‘平行 CD， 而得放大（或縮小）圖形。 （二）放射線法 。 【作法】 1、於原圖形編號，並以方盒形框圍於原圖形。 2、利用前述之對角線法，決定要放大（或縮小）之比例 大小。 3、點A與2、3連接並延長至放大之方盒形框，得 2'、3‘ 點。 4、點1水平投射到BC得1‘點，然後由點A與1’連線並延長 至C'B'得1"點，再由1"點水平投射至AD'得1"'點。 5、點4垂直投射到CD得4‘點，然後由點A與4’連線並延長 至C'D'得4"點，再由4"點垂直投射到AB'得4"'點。 6、得5“‘之作法如同得點4一樣，然後將放大盒形框上之 1“‘、2’、3‘、4”’、5“‘分別連接，即為放大的圖形。 縮小時亦同作法。 15 9

17 二、圖形之遷移 （一）三角法：已知多邊形及新底邊之位置A’B’，求作多 邊形遷移至新位置。 。 【作法】
邊形遷移至新位置。 。 【作法】 1、設多邊形各角點均為一以AB為底邊之三角形頂點。 2、以新底邊A’B’之兩端為圓心，AC與BC為半徑畫弧相 交於C’。 3、同法求其餘新頂點位置，然後連結各頂點即得。 16

18 4-8 圓錐曲線 用一割面截割一直立圓錐，其切割後之截面所形成之曲線，稱為圓錐曲線。 （二）方盒法或支距法：已知多邊形及新底邊之位置A’B’
，求作多邊形遷移至新位置。 【作法】 1、將多邊形圍在一矩形中。 2、於新底邊上作同一大小之矩形。 3、將原來多邊形之頂點是在所作矩形邊上的，移量到新 底邊上所作之矩形邊上。 4、不在矩形邊上的，以直角坐標法定出頂點位置。 5、連結新頂點的位置即得。 4-8 圓錐曲線 用一割面截割一直立圓錐，其切割後之截面所形成之曲線，稱為圓錐曲線。 17

19 一動點繞一定點保持一定距離運動，則此動點之軌跡，謂之圓。不在一直線上的三點才可作一圓。
四種圓錐曲線 割面切割直立 圓錐之狀況 圖 示 截面所形 成之曲線 割面垂直於軸 正圓 割面與軸之夾角大於軸與素線之夾角 橢圓 割面與軸之夾角小於軸與素線之夾角或割面與軸平行 雙曲線 割面與軸之夾角等於軸與素線之夾角或割面平行素線 拋物線 一、圓 一動點繞一定點保持一定距離運動，則此動點之軌跡，謂之圓。不在一直線上的三點才可作一圓。 18

20 已知不在一直線上的三點A、B、C，求作一圓。
【作法】 1、先連接A-B，B-C得二直線。 2、分別求得A-B，B-C二線段的垂直平分線。 3、A-B，B-C二線段之垂直平分線相交點O，即為所要求 的圓心。 4、以O為圓心，O-A（或O-B，O-C）為半徑畫圓即得 。 二、橢圓 設一動點P與二定點（焦點）E及F間之距離的和為一常數，且恆等於其長軸AB，此動點P的軌跡，謂之橢圓。橢圓之焦點，是以短軸之一端為圓心，長軸之 1/2 為半徑，畫弧與長軸相交之點即是。 19

21 （一）同心圓法：已知橢圓之長軸AB及短軸CD，求作一
橢圓。 【作法】 1、分別以AB及CD為直徑作同心圓。 2、將兩同心圓等分。 3、於等分線與小圓交點處畫水平線，與大圓交點處畫垂 直線，由水平線與垂直線相交，得各交點。 4、以曲線板連接各交點即得橢圓。 （二）四圓心近似法：已知橢圓之長軸AB及短軸DE，求 作一橢圓。 【作法】 1、連結AE，以O為圓心，OA長為半徑畫圓弧交OE之延 長線於F。 2、以E為圓心，EF長為半徑畫圓弧交AE於G。 3、作AG直線之垂直平分線，則此平分線與軸相交得C1 及C2點。 4、用分規取OC1之相同距離得點 C3，取 OC2之相同距 離得點C4。 5、則C1、C2、C3、C4即為畫橢圓之四個圓心。 6、將C1、C2、C3、C4四個圓心互相連接。 7、分別以C1、C2、C3、C4為圓心，至A、E、B及D為 半徑畫圓弧。 8、4 個圓弧可在C1、C2、C3、C4互相連線上相接切， 而成一近似橢圓。 20

22 一動點在平面上移動，此動點與二定點（焦點）距離之差恆為常數，此動點所移動之軌跡為一對雙曲線。
（三）等角橢圓法：已知一60˚菱形，求作一橢圓。 【作法】 1、作菱形各邊的中垂線，兩兩相交得交點為圓心。 2、自交點至各邊中點的距離為半徑分別作圓弧，合成橢 圓。 三、雙曲線 一動點在平面上移動，此動點與二定點（焦點）距離之差恆為常數，此動點所移動之軌跡為一對雙曲線。 21

23 （一）焦點法：已知兩焦點F1、F2及貫軸AB（定差），
求作雙曲線。 【作法】 1、作貫軸AB之垂直平分線。 2、以F1為圓心，任意大於線段AB之長為半徑（R）畫弧 ，再以F2為圓心，（）之長為半徑畫弧，而與前弧相 交得C、D兩點。 3、以相同的方法再求諸多點，用曲線板連接即得。 （二）等軸法：已知雙曲線之兩漸近線OA、OB及雙曲線 上一點P，求作雙曲線 【作法】 1、過P點畫FG線平行OA線，畫DE線平行OB線。 2、由O點畫數條傾斜線（於此設畫三條）與DE線相交得 1、2、3各點，與FG線相交得1’、2’、3’各點。 3、由1、2、3各點畫與OA線之平行線，1’、2’、3’各點畫 與OB線之平行線。 4、對應數字平行線之相交點，即為雙曲線上之點。（如 點3之平利線與點3’之平行線相交於點3”） 5、連接諸多點即得雙曲線。 22

24 焦點）之距離，恆等於動點至一直線（準線）之垂直距離，此動點移動之軌跡即為拋物線。
四、拋物線 一動點在一平面上運動，此動點與一定點（ 焦點）之距離，恆等於動點至一直線（準線）之垂直距離，此動點移動之軌跡即為拋物線。 （一）焦點法：已知一焦點F及一準線AB，求作一拋物線 。 【作法】 1、過F點作AB線之垂線（拋物線之軸線）交於O。 2、平分OF線得中點C，即為拋物線頂點。 3、於拋物線之軸線（OF）取任意距離（如D、E、G…） 並畫線平行於AB準線。 4、以F為圓心，量取各平行線至AB準線之距離為半徑R， 畫弧與對應平行線相交之點，即為拋物線上的點。 （如取D平行線至AB線為半徑，畫弧時即與D平行線 相交得點） 5、以相同方法，求得諸多點，以曲線板連接即得。 23

25 （二）包絡線法：已知X軸與Y軸，求作拋物線。
【作法】 1、在X軸及Y軸上作相同之等分與編號（X軸編號由左向 右，Y軸由上往下）。 2、以相同號碼點連接。 3、用曲線板畫曲線與各線段相切即得拋物線。 24