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第四节 线性方程组解的结构 前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法, 并建立了两个重要定理:
第四节 线性方程组解的结构 前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法, 并建立了两个重要定理: (1) n个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A)< n. (2) n个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B=(A | b)的秩相等, 且当R(A)=R(B)=n时有唯一解; 当R(A)=R(B)<n时有无穷多解;
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一、齐次线性方程组的解 设有齐次线性方程组 若记 则上述方程组可写成向量方程 Ax = 0.
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若x1=11, x2=21, ···, xn=n1为方程组Ax = 0的解, 则
(1) 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是Ax = 0的解. 证明: 因为 A1 = 0, A2 = 0, 所以 A(1 + 2) = A1 + A2 = 0, 故 x =1 + 2也是Ax = 0的解.
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(2) 若x = 1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k1也是
所以 A(k1) = kA1 = k 0 = 0, 故 x = k1也是Ax = 0的解. 这两个性质表明, Ax = 0的全体解向量所组成的集合对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间, 称此向量空间为齐次方程组 Ax = 0 的解空间.
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二、基础解系及其求法 称向量组1, 2, ···, t为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系, 如果
(2) Ax = 0的任一解都可由1, 2, ···, t 线性表出. 如果向量组1, 2, ···, t 为齐次线性方程组Ax = 0的一组基础解系, 那么, Ax = 0的通解可表示为: x = k11 + k22 + ··· + ktt 其中k1, k2, ···, kt为任意常数.
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设齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A的前 r 个列向量线性无关, 于是A可化为:
即有方程组 (1)
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现对( xr+1, ···, xn )T 取下列 n–r 组数(向量):
分别代入方程组(1)依次得: 从而求得原方程组的 n–r个解:
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···, 依据以上的讨论,还可推得 定理1: 当 n元齐次线性方程组 Amnx = 0的系数矩阵的秩R(A)=r时, 解集S的秩为 n–r .
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当R(A)=n时, 方程组Ax = 0只有零解, 故没有基础解系(此时解空间只含一个零向量, 为0维向量空间).
当R(A)=r < n时, 方程组Ax=0必有含n–r个向量的基础解系1, 2, ···, n-r . 因此由最大无关组的性质可知,方程组Ax=0的任何n–r个线性无关的解都可构成它的基础解系. 并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的,它的通解的形式也不是唯一的.
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例1: 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解: 对系数矩阵A作初等行变换, 变为行最简矩阵, 有 得
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即得基础解系: 并由此得通解:
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例2: 设AmnBnl = Oml , 证明R(A)+R(B) n.
证明: 设B =(b1, b2, ···, bl ), 则 AB = A(b1, b2, ···, bl ) = (0, 0, ···, 0 ) = Oml , 即 Abi = 0 ( i =1, 2, ···, l), 也就是说, B的每个一列向量都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量. 由齐次线性方程组解的 性质知: 方程组Ax=0的解向量组的秩为n–R(A), 因此, R(B)=R(b1, b2,··· ,bl ) n–R(A). 故 R(A)+R(B) n.
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三、非齐次线性方程组的解 (1) 设 x=1 及 x=2 都是方程组 Ax=b 的解, 则 x=1–2为对应齐次方程组Ax=0的解.
证明: 因为 A1=b, A2=b, 所以 A(1–2) = A1–A2 = b – b = 0. 故, x=1–2为对应齐次方程组Ax=0的解. (2) 设 x= 是方程组 Ax=b 的解, x= 是方程组 Ax=0 的解, 则 x=+ 仍为方程组 Ax=b 的解. 证明: 因为 A=b, A=0, 所以 A(+) = A +A = 0 + b = b. 故, x=+ 为方程组 Ax=b 的解.
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非齐次线性方程组Ax=b的通解为: x = k11 + k22 + ··· + kn-rn-r +*. 其中 k11+k22+···+kn-rn-r 为对应齐次线性方程组Ax=0的通解, *为非齐次线性方程组Ax=b的任意一个特解. 例4: 求解方程组 解: 对增广矩阵B施行初等行变换:
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可见R(A)=R(B)=2, 故方程组有解, 并有 取 x2 = x4 = 0, 则x1 = x3 = 即得方程组的一个解
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在对应的齐次线性方程组 中, 取 即得对应的齐次线性方程组的基础解系为: 于是所求通解为:
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第五节 向量空间 定义1 设 为 维向量的集合,如果集合 非空, 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称 集合 为向量空间. 说明
第五节 向量空间 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合,如果集合 非空, 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称 集合 为向量空间. 说明 1.集合 对于加法及乘数两种运算封闭指 2. 维向量的集合是一个向量空间,记作 .
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. , 3 是一个向量空间 维向量的全体 R 例1
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例2 判别下列集合是否为向量空间. 解
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例3 判别下列集合是否为向量空间. 解
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维向量,集合 为两个已知的 设 n b a , 例4 试判断集合是否为向量空间.
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一般地, 为 { } . , 2 1 V R b x a s m = + 试证: 记 等价, 与向量组 设向量组 l L 例5
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定义2 设 是向量空间,如果 个向量 ,且满足 那末,向量组 就称为向量 的一个 基, 称为向量空间 的维数,并称 为 维向量 空间.
三、向量空间的基与维数 定义2 设 是向量空间,如果 个向量 ,且满足 那末,向量组 就称为向量 的一个 基, 称为向量空间 的维数,并称 为 维向量 空间.
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说明 (1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间,因此它没有基. (2)若把向量空间 看作向量组,那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. (3)若向量组 是向量空间 的一 个基,则 可表示为
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设矩阵 例6
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