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北一女中 資訊選手培訓營
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排序演算法
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Sorting Algorithm Animations
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排序的方法 泡沫排序法(bubble sort) 選擇排序法(selection sort) 插入式排序法(insertion sort)
謝爾排序法(shell sort) 快速排序法(quick sort) 合併排序法(merge sort) 累堆排序法(heap sort) 基數排序法(radix sort) 2019/4/8
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泡沫排序法(bubble sort)
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泡沫排序法(bubble sort) 假設現在我們需要將 n 筆資料 A1、A2、......、An 由大排到小。
在資料陣列中，由左向右比較，只要資料值比右邊的小，二者就交換 在第一輪比完，最右邊的是最小值 第二輪比較時比到倒數第二筆結束，出現第二小的數值 同樣的，在n-1次迴圈後，資料排序完成 時間複雜度：O(n2) 2019/4/8
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氣泡排序法(Bubble Sort) 練習題
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氣泡排序法(Bubble Sort)- 第一輪的比較與交換
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氣泡排序法(Bubble Sort)- 第二輪的比較與交換
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氣泡排序法(Bubble Sort)- Worse Case
執行次數總和為： W(n) = 1 + (n - 1) + n(n - 1) / 2 + n(n - 1) / 2 + n(n - 1) / 2 = (3n2 - n) / 2 ∈ Ο(n2) 平方時間（quadratic time）的演算法
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氣泡排序法(Bubble Sort)- Best Case
執行次數總和為 B(n) = 1 + (n - 1) + n(n - 1) / 2 + n(n - 1) / = n2 ∈ Ο(n2) 複雜度依舊為平方時間
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選擇排序法(Selection Sort)
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選擇排序法(Selection Sort)
原理： 將資料分為「已排序」與「未排序」兩部份 從「未排序」的資料中找出最大（最小）值，放入「已排序」資料的最後端。 如是進行，直到排序結束（未排序資料為空）為止。
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選擇排序法(Selection Sort)
資料由大排到小
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選擇排序法(Selection Sort) 運作過程
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選擇排序法(Selection Sort)
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選擇排序法(Selection Sort) 最差情況
所有資料的順序剛好完全相反 使用選擇排序法將 n 筆資料排序 執行次數總和 W(n) = 1 + n + n + n(n - 1) / 2 + n(n - 1) / 2 + n(n - 1) / 2 + n = (3n2 + 3n - 2) / 2 ∈ Ο(n2)。
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插入式排序法(insertion sort)
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插入式排序法(insertion sort)
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插入式排序法(insertion sort)
原理： 將資料分為「已排序」與「未排序」兩個部份。 再將未排序資料中的第一筆資料插入到已排序資料的適當位置。
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插入式排序法(insertion sort)
將資料分成已排序、未排序兩部份 依序由未排序中的第一筆(正處理的值)，插入到已排序中的適當位置 插入時由右而左比較，直到遇到第一個比正處理的值小的值，再插入 比較時，若遇到的值比正處理的值大或相等，則將值往右移
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插入式排序法(insertion sort)
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插入式排序法(insertion sort) 練習題
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插入式排序法(insertion sort) Best Case
執行次數總和：B(n) = (n - 1) + (n - 1) + (n - 1) + (n - 1) + (n - 1) = 5n - 3 ∈ Ο(n) 複雜度為線性時間
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插入式排序法(insertion sort) Worse Case
資料完全反序的最差情況 執行次數總和：W(n) = (n - 1) + (n - 1) + (n - 1) + n(n - 1) / 2 + n(n - 1) / 2 + n(n - 1) / 2 + (n - 1) = (3n2 + 3n - 4) / 2 ∈ Ο(n2) 複雜度為平方時間
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插入式排序法(insertion sort) 時間複雜度
Best Case：Ο(n) 當資料的順序恰好為由小到大時，每回合只需比較1次 Worst Case：Ο(n2) 當資料的順序恰好為由大到小時，第i回合需比i次 Average Case：Ο(n2) 第n筆資料，平均比較n/2次
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快速排序法(quick sort)
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快速排序法(quick sort) 排序演算法中，平均效能最佳者 基本方法：採用遞迴的觀念 選取第一個數值為基準(pivot)
將數值資料切割成兩部分： 第一部份的所有元素值都小於基準值 第二部份的所有元素值都大於基準值 兩個部分再分別執行quick sort 2019/4/8
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快速排序法(quick sort)
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快速排序法(quick sort) 時間複雜度
最佳： O(n log n) 每次切割成平均兩半 平均：O(n log n) 最差：O(n2) 每次切割成1個與n-1個
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快速排序法(quick sort) 競賽試題
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合併排序法(merge sort)
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合併排序法(merge sort) 將數列對分成左子數列、右子數列 分別對左子數列、右子數列作上一個步驟 ⇒ 遞迴(Recursive)
直到左子數列、右子數列被分割成只剩一個元素為止 將僅剩的一個元素作為遞迴的結果回傳 對回傳的左子數列、右子數列依大小排列合併 將合併的結果作為遞迴的結果回傳
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合併排序法(merge sort) 將左子數列及右子數列依大小合併成一個新的數列 若左子數列的數值都已填到新的數列 ⇒ 將右子數列中未填過的最小值填入新數列 若右子數列的數值都已填到新的數列 ⇒ 將左子數列中未填過的最小值填入新數列 將左子數列及右子數列中，未填過的最小值填到新的數列
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合併排序法(merge sort)
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合併排序法(merge sort) 時間複雜度(Time Complexity)
Best Case：Ο(n log n) Worst Case：Ο(n log n) Average Case：Ο(n log n) T(n) = MergeSort(左子數列) + MergeSort(右子數列) + Merge = T(n/2) + T(n/2) + c×n = O(n log2n)
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合併排序法(merge sort) quick sort的缺點： 採用合併排序法 最差狀況是O(n2) 也就是無法避免切割陣列是否平均
簡化切割原則，每次都切割成一半 以遞迴方式處理 時間複雜度：O(n log n) 2019/4/8
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堆積排序法(heap sort)
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堆積樹(Heap Tree) 堆積樹(Heap Tree)： 二元樹的一種 ⇒ 每個父節點最多兩個子節點
堆積樹為完全二元樹(Complete Binary Tree)的一種 最小堆積(Min Heap)：父節點的值小於子節點 樹根(root)一定最所有節點的最小值 最大堆積(Max Heap)：父節點的值大於子節點 樹根(root)一定最所有節點的最大值 兄弟節點的大小不重要 堆積排序法為選擇排序法的改良
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二元樹調整為Max Heap 二元樹有 floor(n/2)個內部節點 由後往前以每個內部節點為Root，作堆積化(Heapify)
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堆積化(Heapify) 令Root的左、右子樹皆符合Heap，僅Root不符合Heap
令Root、左子元素、右子元素3個元素中，最大者為MaxNode 若Root = MaxNode ⇒ 結束 若左子元素或右子元素 = MaxNode 將Root與MaxNode作對調(Swap) 若對調完的Root有子節點 ⇒ 對原來的Root作Heapify
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堆積化(Heapify) 範例1 二元樹調整為Max Heap 原始二元樹
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堆積化(Heapify) 範例2 二元樹調整為Max Heap 原始二元樹
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堆積化(Heapify) 競賽試題
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Heap Sort Max Heap Heap Sort
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堆積排序法 時間複雜度(Time Complexity)
Best Case：Ο(n log n) Worst Case：Ο(n log n) Average Case：Ο(n log n) 說明： 建立MaxHeap： Ο(n) 執行n-1次Delete Max：(n-1) × Ο(log n) = Ο( n log n) Ο(n) + Ο( n log n) = Ο( n log n)
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各種排序法比較 平均時間複雜度由高到低為： 氣泡排序O(n2) 選擇排序O(n2) 插入排序O(n2) 合併排序O(n log n)
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【C++】使用STL內建的sort()、reverse()函式做到排序功能
#include <algorithm> 這個標頭檔 sort() – 由小至大排序 reverse() – 由大至小排序 sort(array_begin,array_end); reverse(array_begin,array_end); array_begin的部份就是開始排序的地方，array_end就是排序的結尾，
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