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第六章 萬有引力定律 六-1 早期的天體運動學說 六-2 克卜勒行星運動定律 六-3 萬有引力定律 六-4 克卜勒定律與萬有引力定律
第六章 萬有引力定律 六-1 早期的天體運動學說 六-2 克卜勒行星運動定律 六-3 萬有引力定律 六-4 克卜勒定律與萬有引力定律 六-5 萬有引力定律的應用 六-6 失重狀態 第六章 萬有引力定律
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六-1 早期的天體運動學說 東方-中國 (1)蓋天說 認為天尊地卑,主張「天圓如張蓋,地方如棋局」的天圓地方說,穹隆狀的天覆蓋在呈正方形的平直大地上,即認為天是半球形而地是水平的。 六-1 早期的天體運動學說 東方中國-蓋天說
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六-1 早期的天體運動學說 東方-中國 (2)渾天說 主張天是一個完整的球殼,地球位於其中,天每日帶著日、月、星辰繞行一周,可以轉到地下去,近似現代天球的概念。 張衡說:「渾天如雞子,天體圓如彈丸,地如雞子中黃,孤居於內,天大 而地小。天表裡有水,天之包 地猶殼之裹黃。天地各乘氣而 立,載水而浮。周天三百六十 五度又四分之一......」。 六-1 早期的天體運動學說 東方中國-渾天說
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六-1 早期的天體運動學說 東方-中國 (3)宣夜說 主張天乃無邊無際的空間而非具體形質,日、月、眾星等天體乃自然浮生虛空之中,是最先進的一種。 六-1 早期的天體運動學說 東方中國-宣夜說
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六-1 早期的天體運動學說 西方 (1)地心說 由希臘人托勒密於西 元二世紀提出,主張 地球是宇宙的中心, 日、月、行星和其餘 的星球都環繞著地球 旋轉,行星除了繞地 球公轉(均輪)外也 在各自的公轉軌道上 沿小圓(本輪)轉動。 六-1 早期的天體運動學說 西方-地心說
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六-1 早期的天體運動學說 西方 (1)地心說(續) ①模型與逆行: 六-1 早期的天體運動學說 西方-地心說:模型與逆行
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六-1 早期的天體運動學說 西方 (2)日心說 由波蘭教士哥白尼於 西元十六世紀提出, 主張太陽是宇宙的中 心,地球和其它行星 在不同的圓軌道上繞 太陽公轉,各行星在 公轉的同時也繞著各 自的轉軸自轉。 六-1 早期的天體運動學說 西方-日心說
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六-1 早期的天體運動學說 西方 (2)日心說(續) ①模型與逆行: 六-1 早期的天體運動學說 西方-日心說:模型與逆行
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六-1 早期的天體運動學說 西方 (3)行星的逆行:日心說較容易解釋逆行 (4)動畫:地心說vs.日心說(模擬) 六-1 早期的天體運動學說
六-1 早期的天體運動學說 西方 (3)行星的逆行:日心說較容易解釋逆行 (4)動畫:地心說vs.日心說(模擬) 六-1 早期的天體運動學說 西方-行星的逆行
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六-2 克卜勒行星運動定律 第一定律:橢圓軌道定律(橢圓與圓的差異) 太陽系各行星繞太陽公轉時的軌道為橢圓,太陽位於該橢圓的焦點之一。
六-2 克卜勒行星運動定律 第一定律:橢圓軌道定律(橢圓與圓的差異) 太陽系各行星繞太陽公轉時的軌道為橢圓,太陽位於該橢圓的焦點之一。 (1)軌道半長軸OA=a、半短軸OB=b,則 ①橢圓上任一點P至兩焦點F1、F2的距離和等於2a ②近日距r近=DF1=a-c、遠日距r遠=AF1=a+c,則 六-2 克卜勒行星運動定律 第一定律:橢圓軌道定律-意義
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六-2 克卜勒行星運動定律 第一定律 (2)焦距長OF1=OF2=c,則 a2=b2+c2 (3)橢圓的面積:A橢圓=pab
六-2 克卜勒行星運動定律 第一定律 (2)焦距長OF1=OF2=c,則 a2=b2+c2 (3)橢圓的面積:A橢圓=pab (4)橢圓的離心率:代表橢圓偏離圓的程度,圓(a=b)的離心率為0,橢圓的離心率介於0~1。 (5)趣味範例:火箭吃蘋果 六-2 克卜勒行星運動定律 第一定律:橢圓軌道定律-特性
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六-2 克卜勒行星運動定律 第二定律:等面積定律(適用同一行星) 行星繞太陽公轉時,其與太陽的連線在相同時距內掃過相同的面積。
六-2 克卜勒行星運動定律 第二定律:等面積定律(適用同一行星) 行星繞太陽公轉時,其與太陽的連線在相同時距內掃過相同的面積。 (1)行星公轉時的「面積速率」為 ①不同行星有不同的定值; ②近日點最快,遠日點最慢。 六-2 克卜勒行星運動定律 第二定律:等面積定律-意義
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六-2 克卜勒行星運動定律 第二定律 (2)近日點和遠日點f=90,故 (3)等面積定律是「角動量守恆定律」的另一 種表示法
六-2 克卜勒行星運動定律 第二定律 (2)近日點和遠日點f=90,故 (3)等面積定律是「角動量守恆定律」的另一 種表示法 六-2 克卜勒行星運動定律 第二定律:等面積定律-特性
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六-2 克卜勒行星運動定律 第二定律 (4)動畫示範 六-2 克卜勒行星運動定律 第二定律:等面積定律-動畫示範
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六-2 克卜勒行星運動定律 第三定律:週期定律(適用不同行星) 太陽系中所有行星公轉時的平均軌道半徑R之立方和週期T之平方的比值為一定值,此定值和太陽的質量有關。 六-2 克卜勒行星運動定律 第三定律:週期定律-意義
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六-2 克卜勒行星運動定律 第三定律 (1)平均軌道半徑:
六-2 克卜勒行星運動定律 第三定律 (1)平均軌道半徑: (2)週期定律適用於所有繞同一顆星球的天體,例如:木星的衛星之間、繞地球的人造衛星之間也滿足相同的關係,只是上式中的定值不一樣罷了。 六-2 克卜勒行星運動定律 第三定律:週期定律-特性
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六-2 克卜勒行星運動定律 第三定律 (3)範例 (4)參考資料:動畫示範 ①太陽系: ②地球: 六-2 克卜勒行星運動定律
六-2 克卜勒行星運動定律 第三定律 (3)範例 ①太陽系: ②地球: (4)參考資料:動畫示範 六-2 克卜勒行星運動定律 第二定律:等面積定律-意義
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六-2 克卜勒行星運動定律 總結(動畫) 六-2 克卜勒行星運動定律 總結
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六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (1)現象的觀察
六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (1)現象的觀察 ①行星受太陽吸引而繞太陽公轉、月球受地球吸引而繞地球轉動、物體受地球吸引而掉至地面、...... 推論一:所有物體之間都有一股「互相吸引的作用力」 六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性-現象的觀察
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六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (1)現象的觀察(續) ②地球給月球的吸引力為月球公轉所需的向心力:
六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (1)現象的觀察(續) ②地球給月球的吸引力為月球公轉所需的向心力: 地球給物體的吸引力為重量:W=F地物=mg9.8m R地-月=3.84108m,R地-物=6.4106m 推論二:萬有引力的大小和兩物體之間距離的平方成反比 六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性-現象的觀察(續)
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六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (2)力的型式:假設行星公轉軌道為圓,則 行星給太陽的吸引力F行日= F日行
六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (2)力的型式:假設行星公轉軌道為圓,則 行星給太陽的吸引力F行日= F日行 六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性-力的型式
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六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (2)力的型式(續)
六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (2)力的型式(續) 兩物體之間的萬有引力和其質量(M、m)的乘積成正比,和其質心距離(R)的平方成反比,「-」號表示該作用力為吸引力。 ①有質量的物體就會產生萬有引力; ②萬有引力必為吸引力,其方向為連心線的方向; ③適用對象:質點、均勻實心球體、均勻球殼; ④多質點或連續物體必須用「疊加原理」來計算。 六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性-力的型式(續)
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六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (3)疊加原理 兩質點對其它物體所產生的萬有引力 =個別質點對該物體之萬有引力的向量和
六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (3)疊加原理 兩質點對其它物體所產生的萬有引力 =個別質點對該物體之萬有引力的向量和 六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性-疊加原理
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六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (4)球殼定理 質量均勻分佈的薄球殼對位於球殼外的質點之萬有引力=球殼的全部質量集中在球心處所產生的萬有引力,當質點位在球殼內部時球殼對其萬有引力為零。 六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性-球殼定理之內容
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六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (4)球殼定理(續) ①簡易證明:
六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (4)球殼定理(續) ①簡易證明: 球殼上任一區域的萬有引力會被對 角的另一塊抵銷掉,故整個球殼對 內部任何質點之重力必為零。 ②嚴格計算:利用微積分。 ③厚球殼可視為由很多個薄球殼所組成 ,故球殼定理亦適用於厚球殼或球體。 六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性-球殼定理之證明
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六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (5)實心球體的萬有引力
六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (5)實心球體的萬有引力 ①若將一質量m的質點置於質量M、半徑R的均勻實心球內離球心r處,則根據「疊加原理」此時m所受的萬有引力可分成兩部份: 半徑r內部的實心球M1所施的力F1 半徑r以外的球殼M2所施的力F2 六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性-實心球特性
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六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (5)實心球體的萬有引力(續) ②根據「球殼定理」,F2=0,而
六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性 (5)實心球體的萬有引力(續) ②根據「球殼定理」,F2=0,而 實心球體所產生的萬有引力在 表面最大,往內呈線性遞減、直至球心處為零,往外呈平方反比遞減、直至無窮遠處趨近於零。 六-3 萬有引力定律 萬有引力的特性-實心球公式
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六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量:卡文狄西扭秤
六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量:卡文狄西扭秤 (1)結構:包括石英纖維懸線、平面鏡、輕桿、光源、直尺、小實心球m12、大實心球m22 六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量-結構
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六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量 (2)測量步驟 ①在m2未出現的情形下讓系統處於靜止狀態,並以此當做m1不受力的狀態(歸零);
六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量 (2)測量步驟 ①在m2未出現的情形下讓系統處於靜止狀態,並以此當做m1不受力的狀態(歸零); ②將m2擺在m1的某一邊,靜止於距離R時測量懸線扭轉的角度q1;調換m2至m1的另一邊,R相同時測量懸線扭轉的角度q2; 六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量-測量步驟
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六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量 (2)測量步驟(續) ③算出懸線扭轉的平均角度:q=(q1+q2)/2
六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量 (2)測量步驟(續) ③算出懸線扭轉的平均角度:q=(q1+q2)/2 ④算出輕桿轉動時的力矩:t=2FL=2Gm1m2L/R2 ⑤平衡時:t=kq 2Gm1m2L/R2=k(q1+q2)/2 六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量-測量步驟(續)
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六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量 (3)公認值:G6.6710-11N-m2/kg2 (4)參考動畫:扭秤實驗
六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量 (3)公認值:G6.6710-11N-m2/kg2 (4)參考動畫:扭秤實驗 六-3 萬有引力定律 重力常數G的測量-公認值
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六-3 萬有引力定律 重力場 (1)「場」的概念 ①能產生「超距力」的物理量(例如:質量、電荷、磁荷等)會對其周圍的空間造成某種性質上的 改變,使得其它相同的物理量移至此空間範圍時會「立即」感受到一股作用力,此種概念稱為「場」的概念,例如:重力場、電場、磁場(皆為向量場)等。 六-3 萬有引力定律 重力場-概念:意義
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六-3 萬有引力定律 重力場 (1)「場」的概念(續)
六-3 萬有引力定律 重力場 (1)「場」的概念(續) ②仿此概念,我們可用一速度場(向量場)來描述流體流速或用溫度場(純量場)來描述空氣溫度。 六-3 萬有引力定律 重力場-概念:向量場與純量場
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六-3 萬有引力定律 重力場 (1)「場」的概念(續)
六-3 萬有引力定律 重力場 (1)「場」的概念(續) ③超距力的作用類似蜘蛛與昆蟲的交互作用,後者並非直接接觸產生交互作用,而是透過蜘蛛網的存在來產生交互作用,我們可以說:蜘蛛與昆蟲的交互作用是靠「蜘蛛場」(蜘蛛網)來進行。 六-3 萬有引力定律 重力場-概念:比喻
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六-3 萬有引力定律 重力場 (2)定義:重力場強度=重力加速度的大小 =單位質量所受到的重力大小 ,其方向和重力相同。
六-3 萬有引力定律 重力場 (2)定義:重力場強度=重力加速度的大小 =單位質量所受到的重力大小 ,其方向和重力相同。 ①重力場為向量場,遵守「疊加原理」,即空間中某一點的重力場為各質點在該點之重力場的向量和; ②質點或均勻球體之重力場的方向恆指向質心 ③質量m的質點所受的重力大小為F=mg 六-3 萬有引力定律 重力場-定義
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六-3 萬有引力定律 重力場 (3)星球產生的重力場(飄浮術、穿越重力阱)
六-3 萬有引力定律 重力場 (3)星球產生的重力場(飄浮術、穿越重力阱) 實心球產生的重力場強度在球面最大,往 內呈線性遞減、直至球心處為零,往外呈平 方反比遞減、直至無窮遠處趨近於零。 六-3 萬有引力定律 重力場-星球
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六-4 克卜勒定律與萬有引力定律 等面積定律:其常數只和中心星球的質量以及行星的軌道半徑有關 週期定律:其常數只和中心星球的質量有關
六-4 克卜勒定律與萬有引力定律 等面積定律:其常數只和中心星球的質量以及行星的軌道半徑有關 週期定律:其常數只和中心星球的質量有關 六-4 克卜勒定律與萬有引力定律 第二與第三定律
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六-4 克卜勒定律與萬有引力定律 等速圓周運動與萬有引力定律 萬有引力提供星球做圓周運動所需的向心力 (1) (2) (3)
六-4 克卜勒定律與萬有引力定律 等速圓周運動與萬有引力定律 萬有引力提供星球做圓周運動所需的向心力 (1) (2) (3) (4)參考資料:為什麼月亮不會掉下來? 六-4 克卜勒定律與萬有引力定律 等速圓周運動與萬有引力
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六-5 萬有引力定律的應用 星球的資料 (1)質量:任何衛星 設人造衛星繞質量M的地球轉動時的軌道半徑為R、週期為T,則
六-5 萬有引力定律的應用 星球的資料 (1)質量:任何衛星 設人造衛星繞質量M的地球轉動時的軌道半徑為R、週期為T,則 (2)密度:表面衛星 設人造衛星繞密度為r的星球表面(稱「表面衛星」)做圓周運動,若其週期為T,則 六-5 萬有引力定律的應用 星球的資料-質量與密度
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六-5 萬有引力定律的應用 重力隧道 物體在離隧道中點x處所受之外力大小Fx為 (1)此簡諧運動的週期為
六-5 萬有引力定律的應用 重力隧道 物體在離隧道中點x處所受之外力大小Fx為 (1)此簡諧運動的週期為 (2)此簡諧運動的週期與隧道的位置d無關,只和星球的質量M、半徑R或密度r有關。 六-5 萬有引力定律的應用 重力隧道
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六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統:設雙星的距離為d (1)軌道半徑(星球與質心的距離)和質量 成反比 r1:r2=m2:m1
六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統:設雙星的距離為d (1)軌道半徑(星球與質心的距離)和質量 成反比 r1:r2=m2:m1 (2)向心力:方向指向質心 F1:F2=1:1 六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統-軌道半徑與向心力
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六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統 (3)向心加速度:方向指向質心 a1:a2=m2:m1 (4)軌道速率:雙星的運動方向永遠相反
六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統 (3)向心加速度:方向指向質心 a1:a2=m2:m1 (4)軌道速率:雙星的運動方向永遠相反 v1:v2=m2:m1 六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統-向心加速度與軌道速率
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六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統 (5)動量:質心保持靜止不動,總動量為零。 p1:p2=1:1
六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統 (5)動量:質心保持靜止不動,總動量為零。 p1:p2=1:1 (6)週期:雙星永遠保持在質心的相異邊,週期相等。 T1:T2=1:1 六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統-動量與週期
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六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統 趣味範例:拋體與衛星軌道、軌道的變化、日地月系統、太空領航員、重力高爾夫
六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統 (7)角速率:週期相等,角速率也相等。 w1:w2=1:1 (8)參考資料:質心看雙星互繞、總結 趣味範例:拋體與衛星軌道、軌道的變化、日地月系統、太空領航員、重力高爾夫 六-5 萬有引力定律的應用 雙星系統-角速率
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六-6 失重狀態 實重的意義:物體靜止或做等速度運動時的重量(實重W)=物體所受之重力大小 N=W=mg
六-6 失重狀態 實重的意義:物體靜止或做等速度運動時的重量(實重W)=物體所受之重力大小 N=W=mg 因g值隨地點而異,故物體的重量也會隨地 點改變。 六-6 失重狀態 實重的意義-靜止或等速度運動
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六-6 失重狀態 視重的意義:若物體處於加速運動狀態(例如隨著電梯做加速運動),則磅秤給予的正 向力(視重W')便會改變。
六-6 失重狀態 視重的意義:若物體處於加速運動狀態(例如隨著電梯做加速運動),則磅秤給予的正 向力(視重W')便會改變。 (1)電梯向上加速時: N-W=ma N=W+ma=W'>W 重量變大 (2)電梯向下加速時: W-N=ma N=W-ma=W'<W 重量變小 六-6 失重狀態 視重的意義-加速度運動
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六-6 失重狀態 意義:當電梯向下做a=g的加速運動(和自由落體一樣)時 N=W-ma=mg-mg=0
六-6 失重狀態 意義:當電梯向下做a=g的加速運動(和自由落體一樣)時 N=W-ma=mg-mg=0 ,此時磅秤量不到重量,物體所受的重力 成為做加速度運動所需的力,即該物體處 於「失重狀態」。 六-6 失重狀態 意義
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六-6 失重狀態 意義 (1)失重狀態≠「沒有重力」的狀態 (2)太空船裏頭的物體也處於失重狀態,此時重力=物體做圓周運動所需的向心力。
六-6 失重狀態 意義 (1)失重狀態≠「沒有重力」的狀態 (2)太空船裏頭的物體也處於失重狀態,此時重力=物體做圓周運動所需的向心力。 六-6 失重狀態 意義
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六-6 失重狀態 因地表物體會隨地球轉動,所以有一部份重力提供此圓周運動所需的向心力,即地表物體的重量N會略小於地球給物體的重力W。
六-6 失重狀態 因地表物體會隨地球轉動,所以有一部份重力提供此圓周運動所需的向心力,即地表物體的重量N會略小於地球給物體的重力W。 (1)若增加地球自轉角速率,使得地表物體處於失重狀態,則此自轉週期可以計算如下: N=0 參考資料:擰毛巾、飄浮、艙外活動 六-6 失重狀態 地表的視重
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參考資料 錯覺-球往高處滾(鄭永銘) 萬有引力定律的應用(南一) 創意教學-不偏心的萬有引力(南一) 科技驚奇-GPS(牛頓) 參考資料
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