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第二十五章 图形的相似 25.1 比例线段 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
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学习目标 1.学习并掌握成比例线段的相关概念及性质. 2.掌握比例的基本性质并学会运用. (重点)
3.了解并掌握黄金分割的相关知识并会简单运用.(难点)
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问题1 下面两张邮票有什么特点?有什么关系?
导入新课 观察与思考 问题1 下面两张邮票有什么特点?有什么关系?
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问题2 龙猫的2寸照片和4寸照片,他的形状改变了吗?大小呢?
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讲授新课 成比例线段 一 探究归纳 由下面的格点图可知, 2 =_________, 2 与 之间的关系是什么? =________,这样
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归纳 两线段的比就是它们长度的比; 像这样,对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的长度比, 如 (或a∶b=c∶d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.
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用a、b、c、d ,表示四个数,上述四个数成比例可写成怎样的形式?
如果 或 a:b=c:d, 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项, a、d 叫做比例外项, b、c 叫做比例内项, d 叫做 a、b、c的第四比例项. 特殊情况:若作为比例内项的两条线段相等,即a:b=b:c,则b叫做a,c的比例中项.
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练一练 1.已知线段a、b、c满足关系式 且b=4,那么ac=______. , 16 ,那么 、 各等于多少? 2.已知
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典例精析 例:判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段: (1)a=4,b=6,c=5,d=10; , 解:(1) ∵ ∴ , ∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段.
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(2)a=2,b= ,c= ,d= . (2) ∵ ∴ ∴ 线段a、b、c、d是成比例线段.
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2.两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两 条线段的长度单位必须一致;
注意: 1.若a:b=k , 说明a是b的k倍; 2.两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两 条线段的长度单位必须一致; 3.两条线段的比值是一个没有单位的正数; 4.除了a=b外,a:b≠b:a, 注意 互为倒数.
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二 比例的基本性质 对于成比例线段我们有下面的结论: 如果 ,那么ad=bc.如果ad=bc (a、b、c、d都不等于0),那么 .
你还可以得到其他的等比例式吗? .
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典例精析 例: 证明:(1)如果 ,那么 ; 证明(1)∵ 在等式两边同加上1, ∴ ∴ .
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(2) 如果 ,那么 证明: ∵ ∴ ad=bc, ∴ - ad= - bc, 在等式两边同加上ac, ∴ ac-ad=ac-bc, ∴ a(c-d)=(a-b)c, 两边同除以(a-b)(c-d), ∴ .
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拓展归纳 合比性质: 等比性质: (b+d+···+m≠0)
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三 黄金分割 问题1 五角星是我们常见的图形.在图中,度量点C到点A,B的距离, A C B
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
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问题2 为什么叫做黄金分割? 其一是满足黄金分割的图形具有和谐美;其二是黄金分割的应用价值不可估量,故冠以黄金二字.其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段BC的比例中项,也可写成AC2=AB·BC.
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拓展归纳 确定黄金分割点的另一个方法 采用如下的方法也可以得到黄金分割点:如图 设AB是已知线段. 在AB上作正方形ABCD. 取AD的中点E,连接EB. F G H 延长DA至F,使EF=EB. 以线段AF为边作正方形AFGH. A B E C D 点H就是AB的黄金分割点. 任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点. 你能说说这种作法的道理吗?
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2.已知一个比例式的比例外项为m,n,比例内项为p,q,则下面所给的比例式正确的是( )
当堂作业 1.下列各组数中一定成比例的是( ) A.2,3,4, B.-1,2,-2,4. C.-2, 1, 2, D.a,2b,c,2d. B 2.已知一个比例式的比例外项为m,n,比例内项为p,q,则下面所给的比例式正确的是( ) A. m:n=p:q B.m:p=n:q. C.m:q=n:p D.m:p=q:n. D
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课堂小结 1.成比例线段 像这样,对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的长度的比, 如 (或a∶b=c∶d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例. 注意
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2. 比例的基本性质: a :b=c:d
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3.黄金分割 如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
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课后作业 见《学练优》本课时练习
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