导数的应用 ——函数的单调性与极值.

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1 导数的应用 ——函数的单调性与极值

2 引例：零售产品的生存期 售出的产品数量是随时间而变化，销售量从低水平开始并且增加到最大销售量，之后销售量减少并且下降到较低水平，可能是因为诸多新产品竞争的结果．于是公司通过改进产品来恢复其销售量．

3 一个产品的典型生存期图形说明了我们在本章要讨论的主题思想．我们即将用微积分的工具—导数来提供函数的有关信息，解决如何获得商业活动中成本最小化、利润、产出最大化等问题。

4 一、函数的单调性 分清函数在何处递增和递减是有用的。

5 如图(b)所示，函数递减，则曲上每点向下倾斜，倾斜角都是钝角
函数单调性的判定 直观上看图(a)所示，函数在某区间上是递增函数，则曲线上每点切线向上倾斜，倾斜角都是锐角，即斜率 也就是 如图(b)所示，函数递减，则曲上每点向下倾斜，倾斜角都是钝角 (反之亦然)

6 定理 运用中值定理可严格证明此定理． 通过观察有下列规律． 设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导， (1)若 ，则函数 上单调增加；
,则函数 (2)若 上单调减少. 定理 运用中值定理可严格证明此定理．

7 例题与练习 需求函数 所以需求函数为减函数。 总成本函数 因为产量是非负数，所以边际成本大于零，也就是总成本函数为增函数。

8 一个函数可能在有些区间内增加，有些地方减少。
函数单调区间的解题步骤 一个函数可能在有些区间内增加，有些地方减少。 1．指出函数的定义域； 2．求出 (为了方便其符号的确定，通常应将分子、分母整理为最简因式的乘积，其负指数次幂也应化为分式的形式)； 3．指出 的点和 不存在的点，并以这些点为分界点将定义域分为若干个子区间； 4．列表判别：确定在各个子区间的符号，从而判定函数的单调性．

9 例题与练习 产品的收益函数为： 试求收益函数的增区间及减区间。 解 （1）收益函数产量 应是非负数，即定义域为 （2） 令 （3）
解 （1）收益函数产量 应是非负数，即定义域为 （2） 令 （3） 得驻点 。另外，函数中没有导数不存在的点。它们将定义域分为两个区间：（0,50） ，

10 （4）列表判别： （0,50） + - ↗ ↘

11 二、函数的极值

12 观察可以看到:在极值点处或者函数的导数为零（如
x1, x2, x4, ）或者导数不存在（如x3 ）.今后，称使 的点为函数 的驻点. 结合函数的单调性，下面给出极值的判别方法.

13 函数极值第一判别法 设函数f(x)在x0处连续且在x0的某一去心邻域 内可导，则： (1) 若当x<x0时， ；当x>x0时， 那么函数f(x)在x0处有极大值； (2) 若当x<x0时， ；当x>x0时， 那么函数f(x)在x0处有极小值；

14 判定函数极值的一般步骤： (3)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在xi较小的邻域内) 的符号，依定理判定xi是否为f(x)的极值点.

15 例题与练习 解 （1）因产量非负，所以 （2） 得驻点为 ，无不导点。 （3）这些点将定义域分为两个区间

16 （4）列表判别： 。 10 + - ↗ 极大值点 ↘ 所以在产量为10时，收益达到极大值。 极大收益为