第一章 半导体中的电子状态 本章主要讨论: 定性介绍能带理论，利用Schrodinger方程

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1 第一章 半导体中的电子状态 本章主要讨论: 定性介绍能带理论，利用Schrodinger方程
和Kroning-Penney模型近似推导关于半导体 中电子的状态和能带特点。 阐述本征半导体的导电机构，引入了空穴的概念。 最后简单介绍几种半导体材料的能带结构。 重点和难点： 半导体硅、锗的晶体结构（金刚石结构）及其特点 半导体的闪锌矿结构及其特点 本征半导体及其导电结构、空穴

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3 §1.1 半导体的晶格结构和结合性质 晶体结构 化学键 Si，Ge 金刚石型 共价键 GaAs 闪锌矿型 混合键 (共价键 + 离子键）
晶体结构 化学键 Si，Ge 金刚石型 共价键 GaAs 闪锌矿型 混合键 (共价键 + 离子键） 能带结构决定材料的性质

4 1.1.1 金刚石型结构和共价键 现代电子学中，重要的半导体材料：硅 和 锗，它们的最外层电子（价电子）都是四个，它们组合成晶体靠共价键结合。 Ge Si

5 硅和锗的共价键结构 共价键共 用电子对 +4 +4表示除去价电子后的原子 形成共价键后，每个原子的最外层电子是八个，构成稳定结构。

6 +4 共价键有很强的结合力，使原子规则排列，形成晶体。 共价键中的两个电子被紧紧束缚在共价键中，称为束缚电子，常温下束缚电子很难脱离共价键成为自由电子，因此本征半导体中的自由电子很少，所以本征半导体的导电能力很弱。

7 在硅和锗晶体中，原子按四角形系统组成晶体点阵，每个原子都处在正四面体的中心，而四个其它原子位于四面体的顶点，每个原子与其相临的原子之间形成共价键，共用一对价电子。
硅和锗的晶体结构

8 可看成是两个面心立方晶胞沿立方体的空间对角线互相位移了1/4的空间对角线长度套构而成的
将许多正四面体累积起来就得到金刚石结构 金刚石型结构的晶胞 可看成是两个面心立方晶胞沿立方体的空间对角线互相位移了1/4的空间对角线长度套构而成的

9 硅、锗基本物理参数 晶格常数 原子密度 共价半径 硅：5.43089埃 锗：5.65754nm埃 硅：5.00×1022/cm-3
数量级

10 1.1.2 闪锌矿型结构和混合键 材料： Ⅲ-Ⅴ族化合物半导体材料以及部分 Ⅱ-Ⅵ族化合物 如 GaAs, InP, AlAs ·····
化学键：共价键具有一定的极性（两类原子的 电负性不同） 共价键+离子键 晶胞特点：两类原子各自组成面心立方晶格， 沿空间对角线方向彼此位移1/4空 间对角线长度套构而成

11 闪锌矿型结构的晶胞

12 1.1.3纤锌矿型结构 材料：ZnS, ZnSe，CdS 相同点： 以正四面体结构为基础构成 区别： 与闪锌矿型结构相比
具有六方对称性，而非立方对称性 共价键的离子性更强

13 纤锌矿型结构晶胞图 属于纤锌矿型结构的晶体有：BeO、ZnO、AIN等

14 1.2 半导体中的电子状态和能带 1.2.1 原子的能级和晶体的能带 重点： 电子的共有化运动 原子能级分裂以及能带的形成 导带、价带与禁带

15 一、电子的共有化运动 孤立原子：1s, 2s, 2p,3s, 3p, · · · 等电子壳层
晶体：不同原子的内外各电子壳层出现交叠，电子可由一个原子转移到相邻的原子，因此，电子可以在整个晶体中运动，称为电子的共有化运动

16 二、原子能级分裂以及能带的形成

17 内层原子受到的束缚强，共有化运动弱， 能级分裂小，能带窄；外层原子受束缚弱，
分裂的每一个能带称为允带 允带之间无能级称为禁带 内层原子受到的束缚强，共有化运动弱， 能级分裂小，能带窄；外层原子受束缚弱， 共有化运动强，能级分裂明显，能带宽。

18 以金刚石结构单晶硅材料为例 能级sp3杂化后，硅原子最外层有四个能量状态；若晶体中有N个原子，能级分裂后形成两个能带，各包含2N个状态。

19 2学时

20 半导体（硅、锗）能带的特点： 存在轨道杂化，失去能级与能带的对应关系。杂化后能带重新分开为上能带和下能带，上能带称为导带，下能带称为价带
低温下，价带填满电子，导带全空，升温或光照下价带中的一部分电子跃迁到导带，使晶体呈现弱导电性。 导带与价带间的能隙（Energy gap）称为禁带（forbidden band）.禁带宽度取决于晶体种类、晶体结构及温度。 当原子数很大时，导带、价带内能级密度很大，可以认为能级准连续

21 能带产生的原因： 定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用（电子共有化运动），使能级分裂形成能带。 定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动，其能量不连续形成能带。

22 能带（energy band）包括允带和禁带。
允带（allowed band）：允许电子能量存 在的能量范围。 禁带（forbidden band）：不允许电子存 允带又分为空带、满带、导带、价带。 空带（empty band）：不被电子占据的允带。 满带（filled band）：允带中的能量状态（能 级）均被电子占据。 导带（conduction band）：电子未占满的允带 （有部分电子。） 价带（valence band）:被价电子占据的允带 （低温下通常被价电子占满）。

23 共价键理论 共价键理论主要有三点： 晶体的化学键是共价键，如 Si，Ge。 共价键上的电子处于束缚态，不能参与导电。
处于束缚态的价电子从外界得到能量， 有可能挣脱束缚成为自由电子，参与导电。

24 能带理论与共价键理论的对应关系 能带理论 共价键理论 价带中电子 共价键上的电子 导带中电子 挣脱共价键的电子
能带理论 共价键理论 价带中电子 共价键上的电子 导带中电子 挣脱共价键的电子 禁带宽度 脱离共价键所需的最小能量 定量理论 定性理论

25 1.2.2 半导体中电子的状态和能带 重点 E(k)～k关系 波函数：描述微观粒子（如电子）的运动 薛定谔方程：揭示粒子运动的基本规律

26 （1）自由电子的E与k关系 一维恒定势场的自由电子，遵守薛定谔方程： V=0时， 方程解为：
其中，Ψ(x)为自由电子波函数，k为波矢。上式代表一个沿x方向传播的平面波。 由粒子性和德布罗意关系p=hk, E=hv，可得

27 自由电子的E与k成抛物线关系

28 （2）晶体中电子的E与k关系 1. 晶体中薛定谔方程及其解的形式
晶体中的势场是一个与晶格同周期的周期性函数 布洛赫定理指出此方程具有下列形式的解： Uk(x)随x作周期性变化

29 自由电子： 即自由电子在空间作等几率运动，自由运动 而晶体中电子 说明晶体中电子的出现的几率是周期性变化的，不同的k说明了不同的共有化运动。

30 2. 布里渊区与能带 求解 可得到晶体中电子的E(k)-k关系

31 虚线：自由电子的E(k)-k关系

32 布里渊区特征： 形成一系列相间的允带和禁带，其中 第一布里渊区： -1/2a < k < 1/2a
（1）k=n/2a(n=±1，±2···)时，能量不连续， 形成一系列相间的允带和禁带，其中 第一布里渊区： -1/2a < k < 1/2a 第二布里渊区： -1/a < k < -1/2a，（2）E(k)=E(k+n/a), E(k)是k的周期性函数， 周期为k； （3）禁带出现在k=n/2a处； （4）每一个布里渊区对应一个能带

33 E(k)-k的对应意义： 1）每一个k对应一个能量状态(能级）
2）每个能带有N个能级，而每个能级可以容纳自旋方向相反的两个电子，因此，每个能带可以容纳2N个电子。

34 1.2.3 导体、半导体、绝缘体的能带 能带理论认为：电子能够导电是因为在外力作用下电子的能量状态发生了变化
导体、半导体、绝缘体的能带 能带理论认为：电子能够导电是因为在外力作用下电子的能量状态发生了变化 满带：存在外电场E时，满带中所有电子均以dk/dt=-qE/h逆电场方向运动 ，但A和a点状态完全相同， 满带电子不参与导电。

35 半满带：在外电场作用下，电子吸收能量跃迁到未被电子占据的能级上，能量改变，能参与导电

36 价带电子导电等效为带正电的准粒子，即空穴导电
半导体的能带 空穴：带正电荷的准粒子 价带电子导电等效为带正电的准粒子，即空穴导电

37 Eg(禁带宽度): 脱离共价键所需的最低能量
Ev(价带顶)：是价带电子的最高能量 Ec(导带底)：导带电子的最低能量 本征激发：温度一定时，价带电子激发成为导带电子的过程 ∴ Eg=EC-EV

38 绝缘体、半导体和导体能带示意图 导带 价带 禁带 半满带 绝缘体 半导体 导体

39 金属中，由于组成金属的原子中的价电子占据的能带是部分占满的，所以金属是良好的导电体
半导体和绝缘体的能带类似，即下面是已被价电子占满的满带（其下面还有为内层电子占满的若干满带），亦称价带，中间为禁带，上面是空带。 半导体中导带的电子和价带的空穴参与导电，这是与金属导体的最大差别。 绝缘体的禁带宽度很大，激发电子需要很大的能量，在通常温度下，能激发到导带中的电子很少，所以导电性很差。

40 绝缘体、半导体和导体区别 绝缘体：禁带宽度很大，激发电子需要很大 能量，通常温度下，很少电子能够被 激发到导带 半导体：电子、空穴参与导电 两种载流子使半导体表现出许多奇异 的特性，用来制造形形色色的器件 导体：电子参与导电

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42 1.电子能带结构由它们所在的势场决定，与组成晶体的原子结构与晶体结构（ ），与晶体中原子数目的多少（ ）。
A.有关 B.无关 2.处于低能级的内壳层电子共有化运动( ) ，所以能级分裂( ) ，能带较( )；处于高能级的外壳层电子共有化运动( ) ，能级分裂( ) ，因而能带较宽。 弱，强，大，小，窄,宽

43 1.3 半导体中电子的运动 有效质量 1.3.1 半导体中E(k)与k的关系 半导体中，起作用的是接近于能带底部或能带顶部的电子。
1.3 半导体中电子的运动 有效质量 1.3.1 半导体中E(k)与k的关系 半导体中，起作用的是接近于能带底部或能带顶部的电子。 将E(k)在k=0附近按泰勒级数展开 K值很小，所以(dE/dk)k=0=0 EC:导带极小值

44 对确定的半导体，(d2E/dk2)k=0是定值，令
得到 mn*: 能带底电子的有效质量 E（k）＞Ec mn*＞0 与自由电子的E(k)-k关系相似

45 同理，设价带极大值EV 令 可得 mn*: 价带顶电子有效质量 而价带顶附近 E(k)<EV , mn*<0

46 mn*：可利用回旋共振实验测出 ∴ 导带底和价带顶附近E(k)与k的关系能够确定

47 1.3.2 半导体中电子的平均速度 电子的运动可以看成波包的运动，波包的群速即电子运动的平均速度。 讨论：
导带底： mn*＞0，K为“+”时，V也为正值 价带顶： mn*<0， K为“+”时，V为负值

48 1.3.3 半导体中电子的加速度 在外力作用下，半导体中电子的加速度为：

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50 1.3.4 有效质量的意义 F为外力 F=mn*a 电子所受真实合力为：外力+原子核势场和其它电子势场力 而根据

51 有效质量的特点 (1)有效质量的正负与位置有关。 能带顶部附近，有效质量为负；能带顶部附近，有效质量为正。
(2)有效质量的大小由共有化运动的强弱有关。 能带越窄，二次微商越小，有效质量越大（内层电子的有效质量大）；能带越宽，二次微商越大；有效质量越小（外层电子的有效质量小）。

52 （3）有效质量与惯性质量不同，存在类比关系
（4）有效质量概括了半导体内部势场的作用， 使得在解决半导体中电子在外力作用下的 运动规律时，可以不涉及到半导体内部势 场的作用。 （5）可以直接由实验测定，因而可以很方便地 解决电子的运动规律.

53 1.E~k曲线表示了两种可能导带结构，说明其中
哪一种对应电子有效质量较大。为什么？

54 2.电子的有效质量变为∞的物理意义是什么? 从能量的角度讨论. 电子能量的变化
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量变为∞. 此时电子的加速度 即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反.

55 应用题 已知一维晶体的电子能带可写为 式中，a为晶格常数。试求： （1）能带的宽度； （2）电子的波矢k状态时的速度； （3）能带底部和顶部电子的有效质量。

56 解答：由E(k)关系得： 令 ，得： 所以 （1） （2）

57 当 时，代入式（2）得 对应E(k)的极小值。 当 时，代入式（2）得 对应E(k)极大值

58 根据上述结果，求得Emin和Emax即可求得能带宽度。
因为 将 代入得

59 将 代入得 故：能带宽度 （2）

60 （3）

61 1.4 半导体的导电机理 导电条件：有外加电压、有载流子 载流子：晶体中荷载电流（或传导电流）的粒子 载流子产生途径：升温、光照等等
导电机构：电子导电、空穴导电 本征(intrinsic)半导体：不含任何杂质的半导体

62 空穴的概念 在牛顿第二定律(a=F/mn*)中要求有效质量为 正值，但价带顶电子的有效质量为负值。为了 解决这一问题，引入空穴的概念。
价带中不被电子占据的空状态 价带顶附近空穴有效质量 >0 数值上与该处的电子有效质量相同，即 mp*＝－mn* ，空穴带电荷＋q（共价键上少 一个电子，破坏局部电中性，显正电）。 空穴的能量坐标与电子的相反，分布服从能 量最小原理。

63 载流子、自由电子和空穴 在绝对0度（T=0K）和没有外界激发时,价电子完全被共价键束缚着，本征半导体中没有可以运动的带电粒子（即载流子），它的导电能力为 0，相当于绝缘体。 在常温下，由于热激发，使一些价电子获得足够的能量而脱离共价键的束缚，成为自由电子，同时共价键上留下一个空位，称为空穴。

64 绝对温度为零时 共价键共 用电子对 +4 +4表示除去价电子后的原子

65 热激发后 +4 空穴 自由电子 束缚电子

66 两种情况下的能带图

67 如何理解空穴导电？ 设价带有电子跃迁到导带。设电子电流密度为J，则 J＝价带（k状态空出）电子总电流 设想以一个电子填充到空的k状态，
k状态电子电流＝（-q）v（k） v(k): k状态电子的运动速度

68 填入这个电子后，价带又被填满，总电流应为零，即
J＋（-q）v（k）＝0 J＝（＋q）v（k） 这就是说，当价带k状态空出时，价带电子的总电流，就如同一个正电荷的粒子以k状态电子速度v（k）运动时所产生的电流。

69 引入空穴的意义 （1）空穴具有正的有效质量 （2）空穴具有正电荷+q，价带导电I=(+q)v(ke) （3）空穴的速度与导带电子方向相反。
把价带中大量电子对电流的贡献用少量的空穴表达出来。 半导体中有电子和空穴两种载流子，而金属中只有电子一种载流子 （1）空穴具有正的有效质量 （2）空穴具有正电荷+q，价带导电I=(+q)v(ke) （3）空穴的速度与导带电子方向相反。 （4） 价带中缺少一个电子，就失 去了这个电子能量Ee(ke),相当于在全满价带 中加入一个空穴，其能量为Eh(kh)，使价带减 少Ee(ke)的能量 (5) 价带中缺少一个电子，空出ke状态， 相当于在价带中加入一个空穴设其状态为kh表 示，加入一个kh相当于加入一个-ke状态到价带。

70 1 在一个电子能带图中，较高能量状态中的电子具有较大的能量；而对于空穴的能量是由上到下（ ）。
A.递减； B.递增；C.不变 2 与半导体相比较，绝缘体的价带电子激发到导带所需的能量（ ） A. 比半导体的大 B. 比半导体的小 C. 与半导体的相等

71 1.5 回旋共振 1.5.1 k空间等能面 实验目的：测量电子的有效质量，以便采用理论与实验相结合的方法推出半导体的能带结构
k空间等能面为k空间能量相同的各k值点所构成的曲面

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73 设k空间的三个基矢为 ,则波矢表示为 简单情况下

74 当E(k)为确定值时，(kx,ky,kz)构成一个封闭的曲面
是一个半径为 的球面。在这个面上能值相等

75 更一般的情况下 1）对于各向异性的晶体，E(k)与k的关系沿不同k 方向不一定相同,不同k方向,电子有效质量不同 2）能带极值不一定位于k＝0处 设极值点出现在 处， 令 分别表示沿 三个方向的导带底的电子有效质量（对空穴也一样）

76 上式代表的是一个椭球等能面，等能面上的一个波矢k代表一个电子状态，对应一个能量E(k)
其中

77 1.5.2 回旋共振 1.晶体中电子在磁场作用下运动 半导体样品置于均匀恒定磁场 运动轨迹为螺旋线，圆周半径为r，回旋频率为

78 2.回旋共振实验 实验目的 测量电子的有效质量，以便采用理论与实验相结合的方法推出半导体的能带结构 实验原理 固定交变电磁场的频率，改变磁感应强度以观测吸收现象。磁感应强度约为零点几T

79 等能面的形状与有效质量密切相关 球形等能面 有效质量各向同性，即只有一个有效质量 椭球等能面 有效质量各向异性， 在不同的波矢方向对应不同的有效质量

80 等能面为球面 半导体样品置于均匀恒定磁场中， 回旋频率为 以电磁波通过半导体样品，交变电场频率等于回旋频率时，发生共振吸收 测出频率和电磁感应强度便可得到mn*

81 等能面为椭球（有效质量各向异性） 电子受力 电子运动方程

82 电子做周期性运动，取试解 代入前式得

83 要使 有异于零的解， 系数行列式必须为零，即： 回旋频率为 式中

84 为能观测出明显的共振吸收峰，就要求样品纯度要高，而且实验一般在低温下进行，交变电磁场的频率在微波甚至在红外光的范围。实验中常是固定交变电磁场的频率，改变磁感应强度以观测吸收现象。磁感应强度约为零点几T。 当交变电磁场频率ω与ωc相同时， 就得到共振吸收

85 1.6 Si导带结构的回旋共振结果 1)若B沿[111]方向，只有一个吸收峰 2)若B沿[110]方向，有2个吸收峰 3)若B沿[100]方向，有2个吸收峰 4)若B沿任意方向，有3吸收峰

86 根据以上结果,可以假设: 1)导带最小值不在k空间原点,在[100]方向上,即是沿[100]方向的旋转椭球面 2)根据硅晶体立方对称性的要求, 也必有同样的能量在 方向上 3)如图l-22所示,共有六个旋转椭球等 能面,电子主要分布在这些极值附近

87 设 是第S个极值所对应的波矢，S＝1、2、…、6，极值处能级为Ec，则

88 设k3轴沿[001]方向，k1,k2轴位于(001)面内，互相垂直，这时沿k1,k2轴有效质量相同 设 , ,则等能量方程为
以沿[001]方向的旋转椭球为例： 设k3轴沿[001]方向，k1,k2轴位于(001)面内，互相垂直，这时沿k1,k2轴有效质量相同 设 , ,则等能量方程为

89 选取k1使磁感应强度B位于k1轴和k3轴所组成的平面内，且同k3轴交 角，B的方向余弦 分别为：

90 由上讨论可得如下结果： (1)磁感应沿[111]方向，则与上述六个<100＞方向的夹角均给出 ，因而 (2)磁感应沿[110]方向，这时磁感应与 的夹角 , 与 的夹角

91 (3)磁感应沿[100]方向，与 方向 的夹角 ，与 方向的夹角
(4)磁感应沿任意方向时，磁感应与 有三个值,所以可以得到三个吸收峰

92 Si、Ge、GaAs的能带结构 1.12eV 1.43eV 0.67eV

93 硅和锗的价带结构的回旋共振结果： 由四个能带所组成，在价带顶附近有三个能带，其能带特点为： 价带顶位于k=0处 价带是简并的，价带顶附近，三度简并， 如计入自旋能带6度简并 由于自旋－轨道耦合作用，能带分裂两组

94 GaAs具有多能谷 硅、锗、砷化镓禁带宽度是随温度变化的，具有负温度系数 硅：α=4.73×10-4eV/K β=636K

95 两个基本概念 直接带隙半导体材料：导带最小值(导带底)和满带最大值相应于相同的波矢k0 间接带隙半导体材料：导带最小值(导带底)和满带最大值在k空间中不同位置 Si, Ge: 间接带隙半导体 GaAs：直接带隙半导体

96 1.10 宽禁带半导体材料 Eg≥2.3eV 宽禁带半导体材料 常见宽禁带半导体材料： SiC, AlN, GaN，金刚石等
性质：禁带宽、热导率高、介电常数低、电子漂移饱和速度高 用途：制作高温、高频、高功率、抗辐照电子器件。还可制作蓝光、绿光、紫外光的发光器件和光探测器件

97 Ge, Si， GaAs的晶体结构分别是什么？ 并描 述其特点。 2.描述晶体中电子的共有化运动。 晶体形成能带的原因是什么？
3.半导体的导电机构是什么？ 4.什么是本征激发？ 5.什么是禁带宽度？ 6.描述空穴的概念。 7.有效质量的意义是什么？ 8.描述直接能隙半导体和间接能隙半导体。 Ge,Si和GaAs分别属于那种半导体？ 6学时