广义行列式及其应用 福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设 第十五次研讨会 谭宜家 （福州大学） 厦门，集美，2013.11.

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1 广义行列式及其应用 福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设 第十五次研讨会 谭宜家 （福州大学） 厦门，集美，

2 一、引言 其中 是集合 中所有置换组成的集合。 表示置换 的逆序数。 矩阵的行列式在线性代数中起着重要的作用，它有很多有趣的性质。
对于数域上一个给定的n阶方阵 ， 的行列式是 其中 是集合 中所有置换组成的集合。 表示置换 的逆序数。 矩阵的行列式在线性代数中起着重要的作用，它有很多有趣的性质。

3 实际上，行列式、矩阵和线性方程组的解是紧密地联系在一起的;利用行列式，可直接找到可逆矩阵的逆矩阵的计算公式。Cramer法则是利用行列式解线性方程组。我们说，以上事实对于交换环上矩阵的行列式都是成立的，不同的是数域上的一个方阵可逆当且仅当它的行列式不等于0，而交换环上矩阵可逆当且仅当它的行列式在环中可逆（参看[10]）。

4 其中 是集合 中所有置换组成的集合。由于矩阵积和式不涉及到负号，所以矩阵积和式在一般交换半环上也可以定义。
矩阵的积和式类似于矩阵的行列式。对于数域上一个给定的n阶矩阵 ， 的积和式是 其中 是集合 中所有置换组成的集合。由于矩阵积和式不涉及到负号，所以矩阵积和式在一般交换半环上也可以定义。

5 矩阵积和式的概念首先由Binet[1] 和 Cauchy [3]引入。自那以后，出版了大量关于积和式理论的研究工作。1978年, H
矩阵积和式的概念首先由Binet[1] 和 Cauchy [3]引入。自那以后，出版了大量关于积和式理论的研究工作。1978年, H. Minc [11]给出了关于积和式理论和应用的一些论述。自1980年以来，许多数学工作者研究了一些特殊半环上矩阵的积和式 (例如，参看[5, 7, 8, 9, 13, 16,18]).这些特殊半环包括了模糊代数，分配格和坡代数。

6 由上述可以看出，矩阵的行列式只能在交换环上定义，而积和式可以在一般交换半环上定义。那么，是否有一个方法可以将行列式与积和式统一起来呢？
本文将引入一般交换半环上矩阵的行列式（或称广义行列式），并讨论它的一些基本性质。同时利用行列式给出半环上矩阵的可逆条件，并在半环上建立Cramer法则．所得的主要结论推广了交换环上矩阵的行列式[10]（特别是数域上矩阵的行列式），模糊矩阵的积和式[9,13],格矩阵的积和式[18]以及坡矩阵的积和式[8]中相应的结果。

7 二、基本概念与记号 定义1[6]. 一个代数系统 称为一个半环。如果 是一个交换幺半群（其恒等元为0）， 是另一个幺半群（其恒等元为1）；同时 ,均有 , 并且 设 是一个半环。 称为交换的，如果 ,均有 ；

8 称为一个零和自由半环[6]，如果 ,由 可推出 .零和自由半环又称为反环[14，17]。
一个半环 称为加法幂 等的[6]，如果 ,均有 。显然， 任何加法幂等半环是零和自由半环。 半环的例子是相当丰富的。例如，任何带有单位元的环都是半环，它不是零和自由的。特别地，我们所熟知的整数环，有理数域，实数域与复数域都是半环（实际上，它们都是特殊的环）。

9 又如，每一个布尔代数 ，模糊代数 ，每一个有界分配格
以及任何坡代数 都是半环[2]（实际上，它们均为加法幂等半环，但它们不是环）。再如，max-plus 代数 和min-plus代数 都是交换半环，它们均为加法幂等半环[4, 19]，但它们不是环。另外，所有非负实数组成之集对于普通的加法与乘法构成一个半环 称为非负实数半环。显然，非负实数半环既不是加法幂等半环也不是环。

10 设 是一个半环， 。 称为加法可逆 的，如果存在 ，使得 ， 称为 的负元。 设 表示半环 中所有 加法可逆元构成的集合。 显然， 当且 仅当 是零和自由半环，而 当且 仅当 是一个环。 设 是一个交换半环， 表示 上所有 矩阵组成之集。 对于任意 用 表示 中 处的元素， 并记 的

11 转置为 . 设 ， .定义 设 ， 是一个交换半环， 表示 中所有偶置换构成的集合， 表示 中所有奇置换构成的集合。 定义 的 正行列式 和负行列式 如下

12 显然 。 当 是一个交换环时， 设 是一个半环， 上的一个映射 称为 上的一个 -函数如果对于任意 均有 显然

13 注1：任何半环 至少有一个 -函数，因为 上的恒等映射： 是 上的一个 -函数。如果 是一个交换环，那么映射： 是 上的一个 -函数。
定义2. 设 是一个交换半环， 是 上的 一个 -函数， 。 定义 的 -行列式 如下 其中 是集合 中所有置换组成的集合， 表示置换 的逆序数。

14 定义为 是正整数。 ，所以 因为 注2：如果 是一个交换环，那么映射： 是 上的一个 -函数。此时 注3： 对于任何交换半环 ，恒等映射： 是 R上的一个 -函数。此时

15 三、基本结论 1. 定理1：对于任何 ，我们有 (1) 如果矩阵B是由A的某一行（或一列）乘以 中的一个元素 而得到，那么
1. 定理1：对于任何 ，我们有 (1) 如果矩阵B是由A的某一行（或一列）乘以 中的一个元素 而得到，那么 (2) 如果A的第i行（或第i列）是矩阵B的第i行（或第i列）与矩阵C的第i行（或第i列）的和，而它们其他的行（或列）都相同，那么

16 (3) (4) 如果矩阵B是由A交换两行（或两列）而得到，那么 (5) 如果A的某两行（或两列）相同，那么 (6) 如果矩阵B是由A的第i行乘以 中的 一个元素 加到A的第j行而得到， 那么 其中 表示由A的第i行代替A的第j行而得到的矩阵。

17 2.定理2：设 ，那么对于任何 这里 表示A中划去第i行第j行所得到的 阶矩阵。 3. 定理3：对于任何 ，存在 使得

18 4.定理4：设 是一个交换半环， 是 上的一个 -函数， ,那么对于任何
当且仅当 是一个 交换环并且对于任何 均有 设 是一个交换半环， 是 上的一个 函数， 定义 的 -伴随矩阵如下

19 5.定理5：对于任何 ，我们有 （1） （2） 6. 定理6: 对于任何 ，存在 ，使得 这里 如果 是一个交换环，那么映射： 是 上的一个 -函数。此时 由定理6,我们有

20 推论1：如果 是一个交换环，那么对于任何 ,均有
7.定理7：对于任何 ，我们有 （1） 其中 表示由A的第i列代替A的第j列 而得到的矩阵。 （2）存在 ，使得

21 由定理7，我们有 推论2：如果 是一个交换环，那么对于任何 ，均有 （1） （2）

22 四 、两个应用 1.交换半环上可逆矩阵的一个等价刻画。 设 是一个半环， 。 称为可逆的，果存在 ，使得 。 称为 的逆元，记为
设 是一个半环， 。 称为可逆的，果存在 ，使得 。 称为 的逆元，记为 设 ， 称为可逆的， 如果存在 ，使得 。 称为 的逆矩阵，记为 。

23 定理8：设 是一个交换半环， 是 上的一个 -函数满足对于任意 ，均有 ，那么，对于任何
（1） 可逆当且仅当 在 中可逆并且对于任何 ，均有 在 中加法可逆。 （2） 可逆当且仅当 在 中可逆并且对于任何 ，均有 在 中加法可逆。 如果 可逆，那么

24 由定理8，我们有 推论3：如果 是一个交换环，那么对于任何 ， 可逆当且仅当 在 中可逆,特别地,当 是一个域(数域)时, 可逆当且仅当 。如果 可逆，那么

25 2.交换半环上的Cramer法则 定理9：设 是一个交换半环， 是 上的一个 -函数满足对于任意 ，均有 ， ， 是 上的 维列向量。如果 可逆，那么矩阵方程 有唯一解 其中 ， ， 是由 中第 列用向量 代替所得到的矩阵。

26 由定理9，我们有 推论4：设 是一个交换环， ， 是 上的 维列向量。如果 可逆，那么矩阵方程 有唯一解 其中 ， ， 是由 中第 列用向量 代替所得到的矩阵。

27 五、意义与价值 1.理论意义：统一了行列式与积和式，方法需要创新。 2.应用价值：在许多应用学科领域（例如：并行计算机系统、形式语言理论、最优化理论、自动化理论、离散动力系统、流程图模式分析以及开关电路分析等）涉及到的代数系统除了环（或域）之外，还涉及大量的其他类型的半环，如布尔代数，模糊代数，分配格，坡代数格，max-plus 代数和min-plus代数以及非负实数半环等。

28 六、参考文献 3.教学参考：对于本科生，研究生论文的选题具有一定的参考价值。
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34 Thankyou!