离散型随机变量.

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1 离散型随机变量

2 设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1, x2 , … .

3 例1 从中任取3 个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0,1,2 取每个值的概率为 且 这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.

4 一、离散型随机变量概率分布的定义 定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称
用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数 k=1,2, … （1） （2）

5 例2. 设随机变量X的概率函数为： k =0,1,2, …, 试确定常数a . 解: 依据概率函数的性质: P(X =k)≥0, a≥0
欲使上述函数为概率函数 应有 a≥0 从中解得 这里用到了常见的 幂级数展开式

6 二、表示方法 再看例1 （1）列表法： 任取3 个球 X~ （2）图示法 （3）公式法 X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2 PK
0.1 0.3 0.6 k PK 1 2 （2）图示法 （3）公式法

7 三、举例 例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解： X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1

8 常常表示为： 这就是X的概率分布.

9 例4. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数.
为计算 P(X =k )， k = 1,2, …， 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p,

10 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p, 可见 这就是求所需射击发数X的概率函数.

11 若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.
不难验证:

12 例5. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布. 解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3. Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3 设 路口3 路口2 路口1 P(X=0)=P(A1)=1/2,

13 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3 P(X=1)=P( ) = 1/4 P(X=2)=P( ) =1/8
路口3 路口2 路口1 P(X=1)=P( ) = 1/4 路口3 路口2 路口1 P(X=2)=P( ) =1/8

14 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3 P(X=3)= P( ) =1/8 即 不难看到
路口3 路口2 路口1 =1/8 P(X=3)= P( ) 即 不难看到

15 例6. N个可以辨认的分子，在一容器内自由运动，如今从中隔开，观察左边分子的个数，试求其概率分布.
解：每个分子的运动是相互独立的，在左边还是右边是等可能的, 概率都是0.5. 设左边分子的个数为X， X可取0,1,…,N为值， 我们来求X取每个值的概率.

16 左端有k个分子的所有情况数为从N个不同元素中取k个的组合，即 种.
设左边分子的个数为X， 共N个分子 X可取0,1,…,N为值， 某固定k个分子在左端，其余 N-k个分子在右端的概率是 (0.5)k(0.5)N -k 左端有k个分子的所有情况数为从N个不同元素中取k个的组合，即 种. 于是 P(X=k)= k=0,1,…,N

17 P(X=k) k=0,1,…,N 可以验证： 只要知道了随机变量的概率分布，就可以计算与该随机变量有关的事件的概率.

18 例7. 某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元. 因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元
例7. 某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元. 因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元. 设每天出租汽车数 X是一个随机变量，它的概率分布如下： 求因代营业务得到的收入大于当天的额外 支出费用的概率.

19 分析：加油站代营每出租一辆车，可得3元. 每天出租汽车数为X，因代营业务得到的收入 为3 X元. 每天加油站要多付给职工服务费60元，即 当天的额外支出费用. 因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为： P{3X>60} 即 P{X>20}

20 注意到 P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6 也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.

21 我们介绍了离散型随机变量及其概率分布. 对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上，我们说 离散型随机变量由它的概率函数唯一确定. 下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量----连续型随机变量的描述方法.