第七章 平面电磁波的反射和折射, 导行电磁波 §7.1 平面波对平面边界的垂直入射 §7.2 平面波对多层边界的垂直入射

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1 第七章 平面电磁波的反射和折射, 导行电磁波 §7.1 平面波对平面边界的垂直入射 §7.2 平面波对多层边界的垂直入射
§7.1  平面波对平面边界的垂直入射   §7.2  平面波对多层边界的垂直入射  §7.3  沿任意方向传播的平面波  §7.4  平面波对理想导体的斜入射  §7.5  平面波对理想介质的斜入射  §7.6  全折射和全反射  §7.7  传输系统中的导行波  §7.8  矩形波导  §7.9  谐振腔

2 §7.1 平面波对平面边界的垂直入射 一、 概念 入射波：投射到分界面上的波。 反射波: 从分界面返回，与入射波在同一媒质中传播的波。
§7.1 平面波对平面边界的垂直入射 一、 概念 入射波：投射到分界面上的波。 反射波: 从分界面返回，与入射波在同一媒质中传播的波。 透射波：进入分界面另一侧传播的波。 垂直入射: 入射波的传播方向与分界面的法线平行。 反射波与折射波的特性由分界面两侧媒质的参数确定。

3 二、平面波对理想导体表面的垂直入射 入射波: 反射波: 在介质空间内任一点的电场： 边界条件：理想导体表面上电场强度切向分量为零。 时

4 反射波电场可表示为： 相应的反射波磁场为： 在 的空间内，合成电场强度和磁场强度分别为： 瞬时形式为：

5 当 时，即 波节点：在任意时刻，电场强度的值总为零的点。 当 时，即 波腹点：任意时刻，电场强度的值为最大的点。

6 驻波：这种波节点和波腹点位置固 定的波称为驻波。 纯驻波：节点处值为零的驻波称为 纯驻波。 平均坡印廷矢量 在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。

7 图7-3 驻波和行驻波的电磁场振幅分布

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9 三、对理想介质的垂直入射 入射波表示为： 反射波表示为： 透射波表示为： 根据边界条件： 在 处有：

10 则： 解得： 反射系数 ：分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比。 令： 透射系数 ：分界面上透射波电场强度与入射波电场强度之比。 与 之间的关系为： 反射波为： 透射波为：

11 ①区中任一点的合成电场强度和磁场强度可表为
②区中任一点的电场强度和磁场强度分别为 在介质1中，平均坡印廷矢量为： 在介质2中，平均坡印廷矢量为：

12 无耗介质中无能量的损耗： 说明：入射、反射和透射能量三者之间符合能量守恒规律。 入射波向z方向传输的平均功率密度为 反射波的平均功率密度为

13 §7.2 平面波对多层边界的垂直入射 在工程实际中，多层介质的应用很广：如雷达罩、频率选择表面、吸波涂层等。 入射波 透射波 反射波

14 ① 区:

15 ② 区: ③ 区: 在z=0处有 二式相除知

16 z=0边界处的反射系数如下: 在z = -d处： 二式相除得 ηd是z=-d处的切向电场和切向磁场之比, 称为z=-d处的等效波阻抗 其中：

17 由式(7-21)得 z = -d 处的反射系数为 结论： 一定厚度的介质插入另两种介质中间，可起到阻抗变换作用。 引入等效波阻抗ηd后, 对①区的入射波来说, ②区和后续区域的效应相当于是接一个波阻抗为ηd的媒质。

18 §7.3 沿任意方向传播的平面波 电场强度复矢量可简单地表示为
§7.3 沿任意方向传播的平面波 电场强度复矢量可简单地表示为 波的等相面是z=const.的平面, 垂直于z向, 设等相面上任意点P(x, y, z)的位置矢量(矢径)为 , 则它相对于原点的相位 。 因而P点的电场矢量也可表示为

19 实际上, 由图直接可得 。 这样, P点的电场矢量可表示为
则

20 在无源区, 麦氏方程组(6-17)化为 即

21 §7.4 平面波对理想导体的斜入射 一、 概念 斜入射: 电磁波的入射方向与分界面的法线有一定夹角的 入射方式。
§7.4 平面波对理想导体的斜入射 一、 概念 分界面 入射面 斜入射: 电磁波的入射方向与分界面的法线有一定夹角的 入射方式。 入射面：均匀平面波的传播方向与分界面法线所构成的平面。

22 反射角：反射波的传播方向与分界面法线的夹角。
入射面 折射角：透射波的传播方向与分界面法线的夹角。 入射角：入射波的传播方向与分界面法线的夹角。 垂直极化波：电场强度垂直于入射面的波。 平行极化波：电场强度平行于入射面的波。

23 二、垂直极化波的斜入射 1、入射波 电场强度表示为： 其中：

24 （2）反射波 电场强度为： 其中：

25 若为理想导体, 其内部无电磁场。根据理想导体表面切向电场为零的边界条件,
入射角等于反射角 （3）折射波 电场强度为： 折射波电场强度为：

26 图 7-8 垂直极化波斜入射的合成电场

27 反射定律 在z=0的分界面上，边界条件为： 对任意x值成立，当x=0时： 由于 欲使上式对任意x都成立，则有
斯涅耳反射定律:入射角等于反射角。

28 折射定律 由： 得： 该式称为斯涅耳折射定律。 、 分别为均匀平面波在介质1和介质2中的波速。 对非铁磁性材料有： 所以：

29 平行极化波的斜入射 入射场: 反射场:

30 由于②区为理想导体, 其内部无交变电磁场。 由z=0处边界条件知
即 上式要求两个项的相位因子相等, 故有θi=θr=θ1, 并得 即

31 于是得①区入射场和反射场的合成场分量为 可见,合成场在z向是驻波, 沿x向为行波。因此在z向只有虚功率而沿x向有实功率流。它在传播方向 上有电场分量Ex, 但磁场仍只有横向分量Hy, 故称之为横磁波,记为TM波或E波。如果在z=-nλ1/2cosθ1处(例如n=1)放置一无限大理想导电平板, 由于此处Ex=0, 它不会破坏原来的场分布。

32 例7.5 一均匀平面波由空气斜入射至理想导体表面, 如图7-10所示。入射电场强度为
试求: (1) 常数a, 波长λ, 入射波传播方向单位矢量 及入射角θ1; (2) 反射波电场和磁场; (3) 入射波和反射波各是什么极化波。

33 图 7-10 圆极化波的斜入射

34 ［解］ (1) 入射波传播矢量为

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36 (2) 反射波传播方向单位矢量为 故反射波传播矢量为 相应地反射波电场也有两部分:

37 故

38 (3) 参看图7-10, 入射波的. 分量引前. 分量90°且大小相等(均为 ）, 故为左旋圆极崐化波; 反射波的. 分量落后
(3) 参看图7-10, 入射波的 分量引前 分量90°且大小相等(均为 ）, 故为左旋圆极崐化波; 反射波的 分量落后 分量90°且大小相等, 它是右旋圆极化波。 可见, 经导体平面反射后, 圆极化波的旋向改变了。

39 §7.5 平面波对理想介质的斜入射 7.5.1 相位匹配条件和斯奈尔定律 图 7-11 平面波的斜入射

40 入射波、 反射波和透射波的传播矢量可表示为
式中

41 三种波的电场强度复矢量可写为 根据边界条件, 分界面(z=0)两侧电场矢量的切向分量应连续, 故有 式中上标tg表示切向分量。此式对分界面上任意一点都成立, 因而有 (7-59)

42 由于式(7-59)对不同的x和y均成立, 必有 取入射面为y=0平面, 即入射线位于xoz面内。应用式(7-60a)和式 由此

43 这说明, 反射线和折射线也位于入射面(xoz面)内。 于是有(参看图7-11)
(7-64) 由上式第一等式得

44 式(7-64)的后一等式给出(令θt=θ2) 当μ1=μ2即有 (7-66b) 它就是光学中的斯奈尔(snell)折射定律, 它说明折射角正弦与入射角正弦之比等于介质1与介质2的折射率之比。 这里基于电磁场边界条件导出了与光学中完全相同的反、折射定律。这是光波为电磁波的又一佐证。

45 例 7.6 地球上空的电离层分布如图7-12所示, 图中崐也示出了夏季白天电离层电子密度N与高度h的关系。电子密度有4个最大值, 每一最大值所在的范围称为一层, 由下而上依次称为D、E、F1和F2层。
(1) 试利用折射定律说明电磁波在其中的传播轨迹, 并导出电磁波从电离层反射回来的条件。 (2) 设F2层的最大电子密度为Nmax= 2×1012(电子数/m3), 求电离层反射的最高频率。

46 图 7-12 电离层分布及对电磁波的反射

47 ［解］ (1) 电离层每一层中电子密度都是随高度变化的。 我们可把它处理成由许多具有不同电子密度的薄层组成。 每一薄层中电子密度可认为是均匀的, 设由下而上依次为N1, N2, …, Nm,如图7-13所示, 且0＜N1＜N2＜ … ＜Nm。由式(6-77)知, 第i层对频率为f的电磁波的折射率为 因此 1＞n1＞n2＞ … ＞nm 。 把折射定律(7-66b)应用于薄层界面, 得

48 从而有 当θm=90°, 由上面的公式知 (7-67) 这正是频率f、入射角θ0的电磁波从电离层反射回来的条件。我们看到, 若θ0一定, 则f越高, 要求Nm越大。当Nmax小于该值时, 电磁波不能反射回来, 而要穿透这一层进入更上一层, 或穿透大气层一去不返。

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50 (2) 式(7-67)也表明, 若f一定, 则θ0越小, 反射条件要求的Nm越大。因此电离层能反射的最高频率对应于θ0=0而Nm=Nmax时, 即
该频率称为电离层的临界频率。对本题, 代入Nmax值得fP = 12.7 MHz。这属于短波波段, 因此频率更高的微波都不会被电离层反射而能穿透大气层, 从而可用来进行地球的星际通信和卫星广播等。

51 菲涅耳公式 图 7-14 两种极化波对理想介质平面的斜入射

52 1. 垂直极化波 入射场: 反射场:

53 于是有折射场: 根据边界条件, 在z=0平面上①区的合成电场强度切向分量(y分量)应与②区电场强度切向分量相等, 同时①区和②区的磁场强度切向分量(x分量)也相等。

54 因有相位匹配条件 k1 sinθ1 = k2 sinθ2, 上二式化为
式中

55 这里已设 (7-71b)

56 2. 平行极化波 入射场: 反射场:

57 折射场:

58 联立此二式得 式中 (7-75a)

59 例 7.7 均匀平面波自空气斜入射于εr = 2.25的理想介质平面, 试求分界面上单位面积的反射功率百分比γ和透射功率百分比τ。
［解］ 设分界面法向单位矢量为 , 则得

60 对垂直极化波和平行极化波, 利用式(7-71)和式(7-75)后, 有

61 图 7-15 n1=1, n2=1.5时的反射功率百分比γ和透射功率百分比τ

62 §7.6 全折射和全反射 7.6.1 全折射 (7-79) 代入菲涅耳公式(7-75a)得 (7-80)

63 可见, Γ∥ = 0发生于

64 得 此角度称为布儒斯特角(Brewster angle), 记为θB。当以θB角入射时, 平行极化波将无反射而被全部折射。对图7-15情况有 对于垂直极化波, 将式(7-79)代入式(7-71a)得 (7-82)

65 Γ⊥ = 0发生于 图7-16所示为由空气入射到(a)蒸馏水(εr=81)和(b)铅玻璃(εr=10)上的垂直极化波和平行极化波反射系数模值|Γ⊥|和|Γ∥|。 平行极化波都有|Γ∥|=0的角度(即布儒斯特角), 对应于: Γ⊥的相角总是π, 而Γ∥的相角在θB处由0跳到π。

66 图 7-16 反射系数模值随入射角的变化

67 7.6.2 全反射 当θ1＞θc, 则有sin2θ1＞ε2/ε1, 此时式(7-80)和式(7-82)化为

68 从而 可见, 两种情况下反射系数的模值都是1。又, 这时式(7-79)应表为 (7-86) 相应地, 媒质②中折射波的z向指数因子化为

69 设入射波是垂直极化波, 这表明, 合成场沿z向呈驻波分布, 而沿x向传播。 由于是在无耗媒质中, 其振幅沿传向(传播方向)是不变的, 而沿与之垂直的z向是变化的。因此这是一种非均匀平面波。其等幅面(z=const.)与等相面(x=const.)互相垂直, 如图7-18所示。

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71 图 全反射时垂直极化波电场

72 把式(7-86)代入式(7-71b)知, 全反射情况下的透射系数为

73 于是, 媒质②中的场为 (7-91) 媒质①中的x向相位常数为 因全反射条件下θc＜θ1＜90°, 故 该非均匀平面波的相速vp = ω/β有如下关系:

74 例 7.8 一垂直极化平面波由淡水(εr1=81, μr1=1, σ1≈0)以45°入射角射到水-空气界面上, 入射电场强度为Ei0 = 1V/m, 求:
(1) 界面处电场强度; (2) 空气中离界面λ0/4处的电场强度; (3) 空气中的平均功率流密度。

75 ［解］ (1) 临界角为   可见θ1=45°＞θc, 此时发生全反射。 故界面处电场强度为

76 (2) 由式(7-91), Np/m 离界面λ0/4处的透射电场为 V/m

77 (3) 据式(7-90), 空气中电场矢量为

78 平均功率流密度为 代入本题数据得 W/m2

79 例 7.9 光导纤维(optical fiber)利用纤芯界面处的全反射效应来传输光通信讯号。为减小外界影响, 其实际设计采用多层结构。 纤芯大多是高纯度石英玻璃(SiO2), 低损耗, 包层是折射率低些的玻璃或塑料。其外面是加强强度用的涂层, 最外面为尼龙套。 工作波长一般为1.2~1.6μm(“长波长”)或0.8~0.9μm(“短波长”)。 嘉定上海新沪玻璃厂生产的一种单模光纤芯径为50μm, 包层直径为125μm, 尼龙套外径为1.4mm, 在1.56μm波长的衰减仅为0.2dB/km 。

80 图 7-19 光纤中的射线

81 ［解］ 设入射角为φ的射线在光纤内的折射角为θt, 折射线对纤芯界面的入射角为θi 。为使纤芯界面处产生全反射, 应有
由折射定律知, 在临界情况下 θi = θc, 因而由上得 式中已取n0=1 。代入本题数据得