圓心角及圓周角 (題型解析) 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司 這個單元老師講解變數與函數的題型解析，

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1 圓心角及圓周角 (題型解析) 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司 這個單元老師講解變數與函數的題型解析，
其中包含函數定義相關問題，主要是判斷兩個變數是否為函數關係的問題， 還有關於函數值的問題，最後講解有關函數相關的應用問題。

2 圓心角與弧的度數 A C 圓心角與弧的度數 O xo B 圓心角、弧、弦及弦心距的關係 A A M M O O B B D N C C D
圓心角及圓周角 – 題型解析 A C 圓心角與弧的度數 O xo B 圓心角、弧、弦及弦心距的關係 A A 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 M M O O B B D N C C D N 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 例題 1. (圓心角與弧) 如圖， ， ，則 A C O B D E 圓心角與弧的度數 [解答] 66 度 A O B
圓心角及圓周角– 題型解析 如圖， ， ，則 A C O B D E 圓心角與弧的度數 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 A O B [解答] 66 度 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 例題 2. (圓心角及弧長) 如圖，兩同心圓的半徑分別為 8 公分及 15 公分，若 公分， 則 的長度為多少公分 ? D C B 長度 A
圓心角及圓周角 – 題型解析 如圖，兩同心圓的半徑分別為 8 公分及 15 公分，若 公分， 則 的長度為多少公分 ? D C B 長度 A O 弧長公式 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 A r 長度 xo O [解答] B 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 例題 3. (等弦對等弧) 如圖，五邊形 ABCDE 為圓內接正五邊形，則 A 因為 所以 E B O C D 等弦對等弧 A M O B
圓心角及圓周角 – 題型解析 如圖，五邊形 ABCDE 為圓內接正五邊形，則 A 因為 所以 B E O C D 等弦對等弧 A 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 M O B N D C [解答] 72 度 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 例題 4. (圓心角應用) 如圖，為一拱門，正三角形 ABC 邊長為 2 公尺， 、 分別為
圓心角及圓周角 – 題型解析 如圖，為一拱門，正三角形 ABC 邊長為 2 公尺， 、 分別為 以 C、B 兩點為圓心，半徑為 2 公尺所畫的弧，求此拱門的入口面積 為何 ? A 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 B C 正三角形邊長及面積 A B [解答] C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 圓周角 B 圓周角與弧的度數 A O C 半圓上的圓周角 必為直角 對等弧的圓周角必相等 圓內接四邊形 對角互補 平行線截等弧 A A D
圓心角及圓周角 – 題型解析 B 圓周角與弧的度數 A O C 半圓上的圓周角 必為直角 對等弧的圓周角必相等 圓內接四邊形 對角互補 平行線截等弧 A A D A C A B 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 B C C D B D C B 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 例題 5. (圓周角) 如圖， ， ，求 F A E B D C 圓周角與弧的度數 [解答] 215o A B C
圓心角及圓周角 – 題型解析 如圖， ， ，求 F A E B D C 圓周角與弧的度數 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 A B C [解答] 215o 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 例題 6. (圓周角及兩圓) 如圖，兩圓交於 A、B 兩點，過 B 點作一直線分別交兩圓於 C、D， 若 ， ，求 A C D B
圓心角及圓周角 – 題型解析 如圖，兩圓交於 A、B 兩點，過 B 點作一直線分別交兩圓於 C、D， 若 ， ，求 外角定理 A A 1 B C C D B 圓周角與弧的度數 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 A B C [解答] 190 度 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

10 例題 7. (半圓上的圓周角) 如圖， 為半圓 O 的直徑，且 ，P、Q、R 三點平分 ， 求 Q P R A B O
圓心角及圓周角 – 題型解析 如圖， 為半圓 O 的直徑，且 ，P、Q、R 三點平分 ， 求 Q P R A O B 半圓上的圓周角必為直角 等弦對等弧 A A 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 B C M O O B N D C [解答] 54 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

11 例題 8. (平行線截等弧) 如圖， 、 為圓 O 的兩弦且 ，若 平分 ， ，則 A C E B D 平行線截等弧 A B D C
圓心角及圓周角 – 題型解析 如圖， 、 為圓 O 的兩弦且 ，若 平分 ， ，則 A C E B D 平行線截等弧 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 A B C D [解答] 104 度 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

12 例題 9. (圓內接四邊形) 如圖，四邊形 ABCD 為圓內接四邊形，延長 、 交於 E 點， 延長 、 交於 F 點，若 ， ，則 E A
圓心角及圓周角 – 題型解析 如圖，四邊形 ABCD 為圓內接四邊形，延長 、 交於 E 點， 延長 、 交於 F 點，若 ， ，則 E A D B C F 圓內接四邊形對角互補 外角定理 例題 1. 下列哪一種對應關係中 y 是 x 的函數？ 這類型判斷是否為函數的題目，需要熟悉定義，我們來複習一下定義，對於每一個 x，都只有一個 y 與 x 對應， 變數 y 稱為變數 x 的函數，通常記為 f(x)，其中 x 稱為自變數，y 稱為應變數。 回到題目，第一小題，x=1 時，y=a 與 1 對應，x＝2時，y＝a與 2 對應，但是 x=3 時並沒有 y 的值與 3 對應， 所以 y 並不是 x 的函數。 第二小題，當 x=1 時，y 分別等於 a 與 c 與 1 對應，這與定義中「對於每個x，只有一個 y 與其對應」這句話相違背， 第三小題，當x＝1時，y＝b 與 1 對應，x＝2 時，y＝b與 2 對應，當 x=3 時，y＝c 與 3 對應， 所以 y 為 x 的函數。 A A C 1 B C D B 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

13 重點整理 已知 x, y 的和為 6，且 x 的 2 倍比 y 的 3 倍多 2，求 x, y x + y = 6 …….. (1)
圓心角、圓周角及弦切角 – 題型解析 已知 x, y 的和為 6，且 x 的 2 倍比 y 的 3 倍多 2，求 x, y x + y = 6 …….. (1) 2x = 3y + 2 ….. (2) 聯立方程式的解 在聯立方程式中，x, y 的值 同時滿足每一個方程式的解 解聯立方程式 將兩個變數化簡成一元一次式後 求得其中一個變數的值 1. 代入消去法 2. 加減消去法 解的情形 一組解、無解 or 無限多組解 x - 2y = 1 x + y = 13 x = 2y + 1 -) 2y y = 13 -3y = -12 x + y = 2 2x + 2y = 4 x + y = 4 x + y = 8 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

14 兩圓的位置關係 圖形關係 關係名稱 交點個數 連心線長 外離 外切 1 相交兩點 2 內切 1 內離 圓心角、圓周角及弦切角 – 題型解析
外切 1 相交兩點 2 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 內切 1 內離 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司