定积分的应用.

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1 定积分的应用

2 定积分是求非均匀变化下总量的数学模型，理解和掌握定积分概念的关键是掌握定积分的基本思想方法，即“分割、取近似、求和、取极限”4个步骤。微元法是这一思想方法在应用中的归纳和简化，是解决非常广泛的一类量的计算问题的常用数学方法。

3 定积分的微元法思想 引例 设某种产品其总产量的变化率（即边际产量）是时间t的连续函数 现求从第a年起到第b年这期间的总产量。

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6 用微元法解决实际问题的一般步骤 （1）建立坐标系； （2）取典型区段[x,x+dx]; （3）在典型区段上求出所求量的微元表达式;
（4）写出所求量的定积分表达式，并进行计算。

7 一、定积分的几何应用 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积

8 解 两曲线的交点 选 为积分变量 面积元素

9 解 两曲线的交点 选 为积分变量

10 一、定积分的经济应用 1.由变化率（边际函数）求总量

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13 1.由变化率（边际函数）求总量 例4 已知某产品的边际成本函数为 固定成本为1 000元，求总成本函数

14 （2）求变动成本微元，在产量为t时，总变动成本的微元为
=(t+24)dt （3）总变动成本为 （4）总成本

15 解 思考：当产量由Q=10增加到Q=20时，应增加的成本数。

16 2．由边际函数求总函数的极值 设边际收益为 边际成本 固定成本为 已知 即 时利润最大 则最大利润为

17 (1)每天生产多少单位时利润最大?最大利润是多少? (2)从利润最大时的产量又生产了10个单位的产品，总利润为多少?
例5 某种产品每天生产Q单位时的固定成本为 元，边际成本为 (元／单位)，边际收益 (元／单位)，求： (1)每天生产多少单位时利润最大?最大利润是多少? (2)从利润最大时的产量又生产了10个单位的产品，总利润为多少? 即 解(1)由利润最大化原则知，当 时利润最大，即 从而得 时利润最大。

18 这时最大利润为 即从最大利润的生产量 单位，再生产l0个 单位产品利润减少30元．