第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布

Presentation on theme: "第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布"— Presentation transcript:

1 第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数

2 §2.1 随机变量及其分布 (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y
§2.1 随机变量及其分布 (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，…… (4) 某种型号电视机的寿命 T : [0, +)

3 * 中心问题：将试验结果数量化 有些随机试验的结果不是数，如检查一个产品， 考察其合格与否，样本空间为 Ω={合格品，不合格品}
将一枚硬币抛三次，观察结果，样本空间为 Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT, TTH，TTT} * 中心问题：将试验结果数量化 ω Ω x X=X(ω)为Ω上的单值函数，X为实数

4 随机变量的定义 定义2.1.1 设  ={}为某随机现象的样本空间，F 为上的事件域，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量, 若对任一实数x, 有 F..

5 其定义域为 ，其值域为R=(，)
注 意 点 (1) (1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件. (2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X  b} 、…… 均为随机事件. 即 {a < X  b} ={；a < X() b } 

6 {X = k}= {X  k}{X < k}；
注 意 点 (2) (3) 注意以下一些表达式： {X = k}= {X  k}{X < k}； {a < X  b} = {X  b}{X  a}； { X > b} =  {X  b}. (4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.

7 两类随机变量 若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量. 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间
[a, b]，则称 X 为连续随机变量. 前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量； 而 T 为连续随机变量.

8 2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x， 基本性质：
随机变量的分布函数 定义 设X为一个随机变量，对任意实数 x， 称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数. 基本性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1； (3) 右连续.

9 2.1.3 离散随机变量的分布列 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
离散随机变量的分布列 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，…… 称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示： X x x2 …… xn …… P p p2 …… pn ……

10 分布列的基本性质 (1) pi  0， (2) (非负性) (正则性)

11 注 意 点 (1) 求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.

12 注 意 点 (2) (1) F(x)是递增的阶梯函数; 对离散随机变量的分布函数应注意： (2) 其间断点均为右连续的;
(2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.

13 例2.1.1 已知 X 的分布列如下： X 求 X 的分布函数. P /3 1/ /2 解：

14 例2.1.2 已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列. 解： X P

15 2.1.4 连续随机变量的密度函数 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0，
连续随机变量的密度函数 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续随机变量X的分布. 注意离散随机变量与连续随机变量的差别.

16 定义2.1.4 设随机变量X 的分布函数为F(x), 若存在非负可积函数 p(x) ，满足： 则称 X 为连续随机变量，

17 密度函数的基本性质 (非负性) (正则性) 满足(1) (2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.

18 注意点(1) (1)

19 注意点(2) (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0; = P{a≤X<b} = P{a≤X≤b}
= F(b)F(a).

20 (5) 当F(x) 在x点可导时, p(x) = 当F(x) 在x点不可导时, 可令p(x) =0. 事实上，在f(x)的连续点上， 与物理学中的质量线密度的定义相类似

21 离散型 连续型 分布列: pn = P(X=xn) 密度函数 X ~ p(x) 2. F(x) = 2.
( 唯一 ) 密度函数 X ~ p(x) ( 不唯一 ) 2. F(x) = 2. F(a+0) = F(a); P(a<Xb) = F(b)F(a). 4. P(X=a) = 0 4. 点点计较 5. F(x)为连续函数。 5. F(x)为阶梯函数。 F(a0) = F(a). F(a0)  F(a).

22 例2.1.3 设 X ~ 求 (1) 常数 k (2) F(x). 解： (1) k =3. (2)

23 例2.1.4 求 F(x). 设 X ~ 解：

24 例2.1.5 设X与Y同分布，X的密度为 已知事件 A = { X > a } 和 B ={ Y > a } 独立，
且 P(AB)=3/4, 求常数 a . 解: 因为 P(A) = P(B), 且由A、B 独立，得 P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 2P(A)  [P(A)]2 = 3/4 从中解得: P(A)=1/2, 由此得 0<a <2 , 因此 1/2 = P(A) = P( X > a ) 从中解得

25 课堂练习 ② 设 X ~ p(x)，且 p(x) = p(x)，F(x)是 X 的分布函数， 则对任意实数 a>0，有( )
① F(a) =1 ② F(a)= ③ F(a) = F(a) ④ F(a) = 2F(a)  1 ②

26 §2.2 随机变量的数学期望 分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.
§2.2 随机变量的数学期望 分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. 问如何分赌本?

27 两种分法 1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分：
因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4

28 2.2.1 数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为：
数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为： X P / /4 甲的“期望” 所得是：01/  3/4 = 75.

29 2.2.2 数学期望的定义 定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xi) = pi, i = 1, 2, ... 若级数
数学期望的定义 定义 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xi) = pi, i = 1, 2, ... 若级数 绝对收敛，则称该级数为X 的 数学期望，记为

30 例2.2.1 X  P 则 E(X) = 1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3 = 0.8.

31 连续随机变量的数学期望 定义 设连续随机变量X的密度函数为p(x), 若积分 绝对收敛，则称该积分为X 的 数学期望，记为

32 例2.2.2 例2.2.3 设随机变量X 服从区间（a, b）上的均匀分布，求E(X) . 已知柯西分布的分布函数为
从而柯西分布的密度函数为 故柯西分布的数学期望不存在.

33 注 意 点 数学期望简称为期望. 数学期望又称为均值. 数学期望是一种加权平均.

34 数学期望的应用 例1 在一个人数为N的人群中普查某种疾病，需要验血。如果将每个人验血，共需检验N次。
为减少工作量，统计学家建议k个人分为一组，将同组的血混合检验，如果呈阴性，说明此k个人都呈阴性，如果呈阳性，再检验每个人的血。 可以根据发病率确定合适的k，从而减少平均检验次数。

35 例2 每张福利彩票售价5元，各有一个兑奖号。每售出100万张设一个开奖组，用摇奖器当众摇出一个6位数的中奖号码。兑奖号与中奖号最后一位、二三四五位相同的分别获奖金10元、50元、500元、5000元和50000元，与中奖号完全相同者获奖金500000元。 则每张彩票的平均奖金为 E(X) = 500000× × × × × ×0.09=3.2

36 数学期望的性质 定理 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X)) 存在，则

37 例2.2.4 设随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 P 1/2 1/4 1/4 求 E(X2+2). 解: E(X2+2)
= (02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4 = 1+3/4+6/4 = 13/4

38 数学期望的性质 (1) E(c) = c (2) E(aX) = aE(X)
(3) E(g1(X)+g2(X)) = E(g1(X))+E(g2(X))

39 例2.2.5 设 X ~ (1) 2X1, (2) (X  2)2 解: (1) E(2X  1) = 1/3,

40 例 某公司经销某种原料，历史资料表明:这种原料的市场需求量X(单位:吨)服从(300, 500)上的均匀分布。每售出1吨该原料公司可获利1.5 (千元); 若积压1吨，公司损失0.5（千元）。问公司应组织多少货源可使平均收益最大？

41 §2.3 随机变量的方差与标准差 数学期望反映了X 取值的中心. 方差反映了X 取值的离散程度.

42 Var(X)=D(X)= E(XE(X))2
方差与标准差的定义 定义 若 E(XE(X))2 存在，则称 E(XE(X))2 为 X 的方差，记为 Var(X)=D(X)= E(XE(X))2

43 注 意 点 (1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 方差越大, 则随机变量的取值越分散. X =  (X)= 为X 的标准差.
(2) 称 标准差的量纲与随机变量的量纲相同.

44 2.3.2 方差的性质 (1) Var(c)=0. 性质 2.3.2 (2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3
方差的性质 (1) Var(c)= 性质 2.3.2 (2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3 (3) Var(X)=E(X2)[E(X)] 性质 2.3.1

45 设 X ~ 例2.3.1 , 求 E(X), Var(X). 解: (1) E(X)= = 1 (2) E(X2) = = 7/6 所以,
= 7/6  1 = 1/6

46 课堂练习 设 则方差 Var(X)=( )。 问题：Var(X) = 1/6, 为什么？

47 随机变量的标准化 设 Var(X)>0, 令 则有 E(Y)=0, Var(Y)=1. 称 Y 为 X 的标准化.

48 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),
切比雪夫不等式 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则 对任意正数ε，有下面不等式成立

49 例2.3.2 设 X~ 证明 证明: E(X) = = n+1 = (n+1)(n+2) E(X2) = 由此得 所以,
Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1, (这里,  = n+1)

50 定理 2.3.2 Var(X)=0 P(X=a)=1

51 §2.4 常用离散分布 2.4.1 二项分布 记为 X ~ b(n, p). X为n重伯努里试验中“成功”的次数,
§2.4 常用离散分布 二项分布 记为 X ~ b(n, p). X为n重伯努里试验中“成功”的次数, 当n=1时，称 b(1, p) 为 0-1分布.

52 一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布. 试验次数为 n=4, “成功”即取得合格品的概率为 p=0.8, 所以, X ~ b(4, 0.8) 思考： 若 Y 为不合格品件数，Y ？ Y ~ b(4, 0.2)

53 例2.4.1 设X ~ b(2, p)， Y ~ b(4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1).
解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2， 从而解得: p = 2/3. 由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0) = 1- (1p)4 = 80/81.

54 二项分布与0-1分布的联系 在n重伯努利试验中，若令

55 二项分布的数学期望和方差

56 泊松分布 若随机变量 X 的概率分布为 则称 X 服从参数为 的泊松分布, 记为 X ~ P().

57 单位时间内一电路受外界电磁波的冲击次数；
Poisson 分布常用来描述单位时间(单位面积、单位产品等)上的计数问题。如 一天内到达某商场的顾客数； 单位时间内一电路受外界电磁波的冲击次数； 某电话交换台一天内接到的呼叫次数； 1平方米的玻璃上的气泡数等

58 若随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，则

59 注:当n很大p很小时，二项分布可用Poisson分布近似。
泊松定理 定理2.4.1 (二项分布的泊松近似) 在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中 成功的概率. 若 npn ，则 注:当n很大p很小时，二项分布可用Poisson分布近似。

60 例2.4.2 一铸件上的砂眼数服从参数λ=0.5的Poisson分布，求此铸件上至多1个砂眼的概率和至少2个砂眼的概率。
例 已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人. 求该单位患此病的概率不超过5人的概率。

61 例2. 4. 4 一有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险
例 一有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险. 每个投保人在年初缴纳200元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人可从保险公司获得100000元赔偿. 由生命表知这类人的年死亡率为 求保险公司在这项业务上 (1)亏损的概率； (2)至少获利500000元的概率.

62 2.4.3 超几何分布 记为 X ~ h(n, N, M). 超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有 M 个不合格品，
超几何分布 记为 X ~ h(n, N, M). 超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有 M 个不合格品， 从中抽取n个，不合格品的个数为X .

63 超几何分布的期望和方差

64 2.4.4 几何分布 X 为独立重复的伯努里试验中， 例如掷一颗骰子，首次出现6点的投掷 记为 X ~ Ge(p)
几何分布 记为 X ~ Ge(p) X 为独立重复的伯努里试验中， “首次成功”时的试验次数. 例如掷一颗骰子，首次出现6点的投掷 次数X ~ Ge(1/6).

65 几何分布的期望和方差

66 定理2.4.2 设 X ~ Ge(p)，则对任意的正整数m和n有
几何分布的无记忆性 定理 设 X ~ Ge(p)，则对任意的正整数m和n有 P( X > m+n | X > m ) = P( X > n ) 注：几何分布是唯一具有无记忆性,取值集合 为正整数集的离散型分布.

67 负二项分布(帕斯卡分布) 记为X ~ Nb(r, p). X 为独立重复的伯努里试验中， “第 r 次成功”时的试验次数.

68 负二项分布与几何分布的联系 即负二项分布可分解成 r 个相互独立的服从几何分布的随机变量之和.

69 注 意 点 (1) 二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和. (2) 负二项随机变量是独立几何随机变量之和.

70 常用离散分布的数学期望 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p 泊松分布 P() 的数学期望 = 

71 常用离散分布的方差 0-1 分布的方差 = p(1p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2 泊松分布 P() 的方差= 

72 § 常用连续分布 正态分布、均匀分布、指数分布、 伽玛分布、贝塔分布。

73 2.5.1 正态分布 若连续型随机变量X 的密度函数为 记为X ~ N(, 2), 其中 >0，  是任意实数.
正态分布 若连续型随机变量X 的密度函数为 记为X ~ N(, 2), 其中 >0，  是任意实数.  是位置参数.  是尺度参数.

74 正态分布是最重要的一个概率分布，高斯首先在误差理论中用来刻画误差分布，因而正态分布又称高斯分布。
一个随机变量如果是大量微小的、独立因素共同作用的结果，一般可认为服从正态分布，如测量误差、产品重量、人的身高、年降雨量等。

75 正态分布的性质 (1) p(x) 关于 是对称的. 在 点 p(x) 取得最大值. (2) 若 固定,  改变, p(x)左右移动,
σ小 在 点 p(x) 取得最大值. σ大 (2) 若 固定,  改变, μ x p(x)左右移动, 形状保持不变. (3) 若 固定,  改变,  越小曲线越陡峭.  越大曲线越平坦;

76 标准正态分布N(0, 1) p(x) 密度函数记为 (x), 分布函数记为 (x). x x x

77 (x) 的计算 (1) x  0 时, 查标准正态分布函数表. (2) x < 0时, 用 若 X ~ N(0, 1), 则
(1) P(X  a) = (a); (2) P(X>a) =1(a); (3) P(a<X<b) = (b)(a); (4) 若a  0, 则 P(|X|<a) = P(a<X<a) = (a)(a) = (a) [1 (a)] = 2(a)1

78 例 设 X ~ N(0, 1), 求 P(X>1.96) , P(|X|<1.96) 解: P(X>1.96) = 1 (1.96) = 1(1 (1.96)) = (1.96) = (查表得) P(|X|<1.96) = 2 (1.96)1 = 2 0.9751 = 0.95

79 例2.5.2 设 X ~ N(0, 1), P(X  b) = , P(X  a) = , 求 a, b. 解: (b) = >1/2, 所以 b > 0, 反查表得: (1.66) = , 故 b = 1.66 而 (a) = < 1/2, 所以 a < 0, (a) = , 反查表得: (1.65) = , 故 a =  1.65

80 一般正态分布的标准化 定理2.5.1 设 X ~ N(,  2), 则 Y ~ N(0, 1). 推论:

81 若 X ~ N(, 2), 则 P(X<a) = ， P(X>a) =

82 解: P(10<X<13) = (1.5)(0)
例2.5.3 设 X ~ N(10, 4), 求 P(10<X<13), P(|X10|<2). 解: P(10<X<13) = (1.5)(0) =  0.5 = P(|X10|<2) = P(8<X<12) = 2(1)1 =

83 例2.5.4 设 X ~ N(,  2), P(X  5) = 0.045, P(X  3) = 0.618, 求  及 . 解:  = 1.76  =4

84 课堂练习(1) 已知 X ~ N(3, 22), 且 P{X>k} = P{X≤k}, 则 k = ( ). 3

85 课堂练习(2) 设 X ~ N(, 42), Y ~ N(, 52), 记 ①
p1 = P{X≤  4}，p2 = P{Y≥ +5}, 则( ) ① 对任意的  ，都有 p1 = p2 ② 对任意的  ，都有 p1 < p2 ③ 只个别的  ，才有 p1 = p2 ④ 对任意的  ，都有 p1 > p2 ①

86 课堂练习(3) ③ 设 X ~ N( ,  2), 则随 的增大， 概率 P{| X  | < } ( )
① 单调增大 ② 单调减少 ③ 保持不变 ④ 增减不定 ③

87 正态分布的期望和方差 若 Y ~ N(0, 1), 则 EY=0，VarY=1. 设 X ~ N(,  2), Y ~ N(0, 1).
从而E X =, VarX= 2.

88 正态分布的 3 原则 设 X ~ N(, 2), 则 P( | X | <  ) = 0.6828.
正态分布的 3 原则 设 X ~ N(, 2), 则 P( | X | <  ) = P( | X | < 2 ) = P( | X | < 3 ) =

89 区间(a, b)上的均匀分布的密度函数和分布函数为
均匀分布 区间(a, b)上的均匀分布的密度函数和分布函数为 记为X ~ U(a, b)

90 例2.5.5 X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率. 解：
记 A = { X > 3 }, 则 P(A) = P( X> 3) = 2/3 设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数, 则 Y~ b(3, 2/3)，所求概率为 P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3) =20/27

91 均匀分布的期望和方差

92 2.5.3 指数分布 指数分布的密度函数和分布函数为 记为 X ~ Exp(), 其中 >0.
指数分布 指数分布的密度函数和分布函数为 记为 X ~ Exp(), 其中 >0. 指数分布常被用作刻画“寿命”分布，如电子元件的寿命，动物的寿命，电话的通话时间，随机服务系统中的服务时间等。

93 P( X > s+t | X > s )=P( X > t )
指数分布的期望和方差 特别：指数分布具有无忆性，即： P( X > s+t | X > s )=P( X > t )

94 伽玛分布 若随机变量X的密度函数为 记为 X ~ Ga(, ), 其中 >0，  > 0. 称 为伽玛函数.

95 注意点 (1) = 1, (1/2) = (n+1) = n! Ga(1, ) = Exp()
(1) = 1, (1/2) = (n+1) = n! (2) Ga(1, ) = Exp() Ga(n/2, 1/2) = 2(n)

96 贝塔分布 若随机变量X的密度函数为 记为 X ~ Be(a, b), 其中a >0，b >0. 称 为贝塔函数.

97 注意点 B(a, b) =B(b, a) B(a, b) =(a)(b) /(a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1)
(1) B(a, b) =B(b, a) (2) B(a, b) =(a)(b) /(a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1)

98 常用连续分布的数学期望 正态分布 N(, 2) : E(X) =  均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数分布 Exp() : E(X) = 1/ 伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = / 贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)

99 常用连续分布的方差 正态分布 N(, 2) 的方差= 2 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指数分布 Exp() 的方差= 1/2

100 课堂练习 设 E(X)=μ，Var(X)=σ2，则对任意常 数 C， 必有（ ）. ④

101 问题：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。
§ 随机变量函数的分布 问题：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。 例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 .

102 2.6.1 离散随机变量函数的分布 当 X 为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量.
离散随机变量函数的分布 当 X 为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量. 将g(xi) 一一列出, 再将相等的值合并即可.

103 例 已知 X 的分布列，求 Y= X2 +X的分布。 X P 解：Y= X2 +X的分布列为 Y P 将相同的值合并得 Y P

104 2.6.2 连续随机变量函数的分布 定理2.6.1 设 X ~ pX(x)，y = g(x) 是 x 的严格
连续随机变量函数的分布 定理 设 X ~ pX(x)，y = g(x) 是 x 的严格 单调函数，记 x = h(y) 为 y = g(x) 的反函数, 且h(y)连续可导，则Y = g(X)的密度函数为:

105 例2.6.2 设 X ~ 求 Y =eX 的分布. 解： 反函数 x = h(y) = lny, y = ex 单调可导, 所以当 y > 0 时, 由此得

106 正态变量的线性不变性 定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a  0 时，
Y = aX+b ~ N (a +b, a22). 由此得： 若 X ~N (, 2)， 则 Y = (X )/  N(0, 1).

107 对数正态分布 定理 设 X ~N (, 2)，则 Y = e X 的服从

108 对数正态分布是常用分布，实际中不少随机变量服从对数正态分布，如
绝缘材料的寿命； 设备故障的维修时间； 家中仅有两个小孩的年龄差等

109 伽玛分布的有用结论 定理 设 X ~ Ga (, )，则当k > 0 时， Y = kX ~ Ga (, /k).

110 均匀分布的有用结论 定理2.6.5 设 X ~ FX (x)，若FX (x)为严格单调增的连
续函数，则Y = FX (X) ~ U(0, 1). 注：可以通过U(0, 1)的随机数生成其他分布的随机数.

111 当函数 y=g(x) 不是严格单调函数时，可以先利用X的分布求Y=g(X)的分布函数
然后对y求导得Y=g(X)的密度函数。 例 设 随机变量X ~N (0, 1)，求 Y= X2 的密度函数。

112 例 设 随机变量X 的密度函数为

113 § 分布的其它特征数 矩、变异系数、分位数、中位数

114 k 阶原点矩和中心矩 定义2.7.1 k 阶原点矩：k = E(Xk) ， k = 1, 2, …. 注意: 1 = E(X). k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, …. 注意: 2 = Var(X).

115 变异系数 定义2.7.2 称 为 X 的变异系数. 作用： CV 是无量纲的量, 用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.

116 2.7.3 分位数 定义2.7.3 设 0 < p < 1， 若 xp 满足 P( X  xp ) = F(xp) = p
分位数 定义2.7.3 设 0 < p < 1， 若 xp 满足 P( X  xp ) = F(xp) = p 则称 xp 为此分布 p - 分位数， 亦称 xp 为下侧 p - 分位数.

117 注 意 点 (1) 因为 X 小于等于 xp 的可能性为 p ， 所以 X 大于 xp 的可能性为 1 p .
(3)

118 上侧 p -- 分位数 若记 x’p 为上侧 p - 分位数，即 P(X x’p) = p 则

119 中位数 定义2.7.4 称 p = 0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数.

120 中位数与均值 相同点：都是反映随机变量的位置特征. 不同点： 含义不同.

121 统计中常用的 p - 分位数 (1) N(0, 1)： Z , U (2) 2(n)： (3) t (n)：
(4) F (n, m)：