抽樣分配 Sampling Distributions

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1 抽樣分配 Sampling Distributions
量化研究法二 統計原理與分析技術 第4章 抽樣分配 Sampling Distributions

2 基本概念 統計分析（statistical distribution） 母體分配（population distributions）
基於統計的機率原理所形成的分配 母體分配（population distributions） 隨機變數所有可能觀察值所形成的機率分配 抽樣分配（sampling distributions） 樣本統計量的機率分配 主要功能是在推估母體參數 如樣本平均數的抽樣分配（sampling distribution of means） 定義：從母體分配（μ,σ）中重複抽取無數次的樣本，計算某一個樣本統計量（如平均數），則無限多個平均數會形成一個常態分配，稱之，以N~（μx,σx)表示。

3 母體分配與抽樣分配圖示

4 抽樣誤差與抽樣標準誤 抽樣分配與抽樣誤差 標準誤與變異誤的概念 抽樣分配中的樣本統計量呈現波動狀態（因有抽樣誤差）
抽樣分配的平均數表示母數所在的位置 抽樣分配的標準差反應抽樣誤差的大小稱為標準誤（standard error of the sample mean），變異數為變異誤（squared standard error of the sample mean） 當標準誤或變異誤越大，表示抽樣的誤差越大，標準誤或變異誤越小，表示抽樣的誤差越小 標準誤與變異誤的概念 每一個樣本平均數與總平均數之間離散情形的期望值，開根號後即為標準誤 每一個樣本具有相同的機率函數，每一個樣本的離散情形的期望值即等於母體變異數

5 中央極限定理 樣本平均數抽樣分配的平均數等於母體平均數 平均數抽樣分配的變異數等於母體變異數除以樣本數
變異數（又稱變異誤）與樣本數大小成反比，或標準差（又稱標準誤）與樣本數大小的平方根成反比 不論原始母體的形狀是否為常態分配，當樣本人數夠大時，抽樣分配會趨近於一個常態分配 樣本統計量可以根據抽樣分配的機率原理來推估母數，並估計抽樣誤差的大小，稱為中央極限定理（Central Limit Theorem）。

6 抽樣分配與母體分配的關係 抽樣分配的標準差 抽樣分配的常態性受到母體常態性的影響。 最小是0（當樣本人數等於母體人數時）
最大等於母體標準差σ（當樣本人數為1時） 在一般情形下，抽樣分配的標準差會小於母體標準差，而以母體標準差σ為極大值。 抽樣分配的常態性受到母體常態性的影響。 如果母體為常態分配，無論樣本人數多少，抽樣分配則必定是常態分配，但是如果母體不是常態分配，則抽樣分配隨著樣本數越大，越趨近常態分配 受限於母體分配特性，抽樣分配有可能不是常態分配，而需以樣本數增加的方法來確保抽樣分配的常態性。

7 母體、樣本與抽樣分配的關係圖示

8 χ2分配 定義 若X為一常態隨機變數，平均數為μ，變異數為σ2，則 若將X值轉換成一個標準分數（Z分數） 將Z分數取平方
卡方變數與卡方分配 卡方變數為恆為正值的隨機變數 隨著觀察值X分數的變化，卡方變數（Z2分數）的出現機率也呈現某種規律的變化，卡方變數的分配稱為χ2分配

9 從母體隨機抽取v個樣本，每一個分數均取Z分數平方後相加，得到卡方變數為，通式如下
上式稱為自由度為v的卡方隨機變數。其平均數為v，變異數為2v，以期望式表示如下

10 在不同的自由度下，卡方分配的形狀有所不同
自由度與卡方分配 在不同的自由度下，卡方分配的形狀有所不同 當自由度小時，分佈呈現正偏態不對稱分佈 當自由度越大，分佈逐漸形成常態分佈。

11 F分配 定義 若有兩個獨立的卡方隨機變項與，各自除以自己的自由度後相除，其比值稱為F隨機變項（F random variable），所形成的分配稱為F分配： F分配的平均數與變異數以期望值形式表示如下

12 F分配與自由度 F量數是由自由度為v1與v2的兩個卡方變數之比值，以F（v1,v2）表示，當自由度小時，F分配呈現正偏態，自由度越大，越接近常態分配

13 F分配與假設考驗 對於兩個獨立卡方變項的比值，可以用來檢驗兩個獨立樣本的變異數估計數是否相同之假設。導出式如下

14 t分配 定義 隨機變數X呈現常態分配，對於X變項的期望值為平均數μ，X變項的變異數為σ2，將X變項取Z分數，然後對另一個獨立的χ2隨機變數做轉換，即成t隨機變數（t random variable） t變數的分配稱為t分配，是自由度為n-1的對稱分配，期望值與變異數為

15 t分配與自由度 t分配的變異數隨著自由度的變化而變動 自由度越大，變異數越趨近於1，接近標準化常態分配
自由度越小，變異數越大於1，也就是比標準化常態分配更趨於分散扁平

16 四大分配的關係 Z、χ2、F與t是推論統計的四大基本分配 Z分配（也就是標準常態分配）是各分配之母 在t統計量的公式中，母體標準差在推導中被抵銷，表示t統計量的計算，可以在母體標準差未知的情條件下進行運算

17 使用SPSS查表 Z分配累積機率操作對話框

18 t分配累積機率操作對話框

19 F與2分配 尾機率函數（tail probability functions） （SIG） 尾機率操作對話框

20 累積機率函數（cumulated probability functions）（CDF）
累積機率操作對話框

21 F分配查表 自由度以變數形式輸入