2 轴向拉伸和压缩 2-1 轴向拉伸与压缩的概念 2-2 内力-轴力·轴力图 2-3 拉、压杆内的应力 2-4 拉、压杆的变形·胡克定律

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1 2 轴向拉伸和压缩 2-1 轴向拉伸与压缩的概念 2-2 内力-轴力·轴力图 2-3 拉、压杆内的应力 2-4 拉、压杆的变形·胡克定律
2 轴向拉伸和压缩 2-1 轴向拉伸与压缩的概念 2-2 内力-轴力·轴力图 2-3 拉、压杆内的应力 2-4 拉、压杆的变形·胡克定律 2-5 材料在拉、压时的力学性能 2-6 拉压杆的强度条件 2-7 应力集中的概念

2 2.1 轴向拉伸和压缩的概念 2.1.1 轴向拉压的工程实例

3 2.1.2 轴向拉伸和压缩的概念 （1）受力特点： 外力合力作用线与杆轴线重合。 （2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。
F 轴向拉伸 F 轴向压缩 （1）受力特点： 外力合力作用线与杆轴线重合。 （2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。 以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆。 轴向拉伸和压缩是四种基本变形中最基本、最简单的一种变形形式。

4 2-2 内力-轴力·轴力图 2.2.1 内力——轴力 FN（截面法） 已知外力 F，求：1－1截面的内力FN 。 1—1 （用截面法确定）
2-2 内力-轴力·轴力图 2.2.1 内力——轴力 FN（截面法） 已知外力 F，求：1－1截面的内力FN 。 F 1—1 （用截面法确定） ①截开。 ②代替，FN 代替。 ③平衡， F FN ∑Fx =0, FN - F = 0, FN = F。 F 以1－1截面的右段为研究对象： FN 内力 FN 沿轴线方向，所以称为轴力。

5 同一截面位置处左、右侧截面上内力必须具有相同的正负号。
轴力的符号规定： 拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。 FN F （＋） FN F （－）

6 画受力图时，截面轴力一定按正的规定来画。
例2-1：求图示各截面内力 6kN 18kN 8kN 4kN 1 6kN FN1-1 6kN 18kN FN 2-2 6kN 18kN 8kN FN3-3 画受力图时，截面轴力一定按正的规定来画。

7 2.2.2 轴力图 F 轴力沿轴线变化的图形 FN x 用 平行于杆轴线的坐标 表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为 轴力图 。将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。 + 意义 ① 直观反映轴力与截面位置变化关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。

8 轴力图的画法步骤： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； ⒉ 将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点； ⒊ 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力； ⒋ 按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。

9 例2-2 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。
O A B C D FA FB FC FD FN1 解： 求OA段内力FN1：设截面如图

10 A B C D FA FB FC FD O 求AB 段内力： B C D FB FC FD FN2 FN2= –3F， C D FC FD FN3 求BC段内力： D FD FN3= 5F， FN4 求CD段内力： FN4= F FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F

11 FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F 作轴力图 FN 图 A B C D FA FB FC FD O FN x 2F 3F 5F F

12 例 2-3 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。
例 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。 1 2 3 10kN 55kN 25kN 20kN 40kN A B C D E 解：求AB段内的轴力 10kN FN1 FN1= 10kN 求BC段内的轴力 10kN 40kN FN2 求CD段内的轴力 FN3 20kN 25kN

13 + 求DE段内的轴力 作轴力图 FNmax= 50 kN 发生在 BC 段内任一横截面上 4 10kN 55kN 25kN 20kN

14 例 2-4 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为 r , 画杆的轴力图，求最大轴力。
解：1. 轴力计算 2. 轴力图与最大轴力 轴力图为直线

15 作业： 习题 2-1

16 2.3 拉、压杆内的应力 2.3.1 拉压杆横截面上的应力 杆件1 ——轴力 =1N,横截面积 = 0.1mm2
2.3 拉、压杆内的应力 2.3.1 拉压杆横截面上的应力 杆件1 ——轴力 =1N,横截面积 = 0.1mm2 杆件2 ——轴力 =100N,横截面积 =100mm2 哪个杆件易破坏？ 不能只看轴力，而要看面力的集度— 应力, 怎样求出应力？ 推导思路：实验 → 变形规律 → 应力的分布规律 → 应力的计算公式 1、实验： 取一等直杆，在其侧面上画出许多与轴线平行的纵线和与轴线垂直的横向线

17 横向线——仍为平行的直线，与纵向线垂直且间距增大。
在两端施加一对轴向拉力 F 变形前 受力后 F 2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，与纵向线垂直且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，伸长都相等且间距减小。 结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同 3、平面假设： 变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面沿杆轴线作相 对平移 结论：由平面假设知，在横截面上作用着均匀分布的正应力

18 F  4、应力的计算公式： ——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式 式中，FN 为轴力，A 为杆的横截面面积。s 的符号与轴力 FN 的符号相同。 当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力，记作 st 。 当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力，记作 sc 。

19 5、拉压杆内最大的正应力： 等截面直杆： 变截面直杆： 6、公式的使用条件 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。 （圣维南原理，不超过杆的横向尺寸） (1) 轴向拉压杆

20 F 50kN 150kN 例2-5 一横截面为正方形的砖柱分上、下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示。已知 F = 50 kN，试求荷载引起的最大工作应力。 A 1 F F 3000 解：先作轴力图 B 2 4000 C 370 240 max在柱的下段，其值为 1.1MPa，是压应力。

21 例2-6 图示起吊三角架，AB杆由截面积 10.86cm2 的2根角钢组成，求AB杆截面应力。 已知：F = 130 kN，a = 30°。
得 （2）计算 sAB

22 2.3.2 轴向拉压杆任意斜面上应力的计算 1、斜截面上应力确定 F (1) 内力确定： FNa= F F FNa (2)应力确定：
①应力分布——均布 F FNa ②应力公式——

23 F a 2、符号规定 ⑴、a：斜截面外法线与 x 轴的夹角。 由 x 轴逆时针转到斜截面外法线——“a” 为正值； 由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“a”为负值 ⑵、sa：同“s ”的符号规定 ⑶、τa：在保留段内任取一点，如果“τa”对该点之矩为顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。

24 3、斜截面上最大应力值的确定 F FNa , 横截面上。 , 斜截面上。

25 作业： 习题 2-4 习题 2-5

26 2.4 拉、压杆的变形·胡克定律 2.4.1 轴向拉压杆的变形 轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 两种变形 横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
2.4 拉、压杆的变形·胡克定律 2.4.1 轴向拉压杆的变形 1 b 轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 两种变形 横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 1、轴向变形： ΔL= L1 - L ， （1）轴向线应变： （2）虎克定律: 在弹性范围内, （虎克定律的另一种表达方式）  EA－抗拉（压）刚度  DL－伸长为正，缩短为负

27 2、横向变形： 横向线应变： 在弹性范围内： 横向变形系数（泊松比）
1 b 横向线应变： 在弹性范围内： 横向变形系数（泊松比） a. 等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）

28 b. 阶梯杆，各段 EA 不同，计算总变形。 c. 轴向变形的一般公式

29 例2-7 试分析杆 AC 的轴向变形 Dl 分段求解:

30 3F 例2-8 ：已知杆件的 E、A、F、a 。 求：△LAC 、δB（B 截面位移）和εAB （AB 段的线应变）。
x F 3F F 2F a A B C 求：△LAC 、δB（B 截面位移）和εAB （AB 段的线应变）。 解：1)画 FN 图： 2) 计算： FN 负值表示位移向下

31 (2) 杆的最大正应力s max (3) B截面的位移及AD杆的变形
例2-9 图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN。l1 = l3 = 300mm，l2 = 400mm。d1= 12mm，d2 =16mm，d3 =24mm。试求： 1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图 (2) 杆的最大正应力s max (3) B截面的位移及AD杆的变形 F1 F2 F3 1 11 111 l1 l2 l3 A B C D F1 F2 F3 A B C D FD 解：求支座反力 FD = - 50 kN

32 - + (1) 1—1，11—11，111—111 截面的轴力，作轴力图。 FN1= 20kN FN2= -15kN FN3= - 50kN
(2) 杆的最大正应力smax AB段： BC段： DC段： smax = 176.8MPa 发生在AB段。

33 (3) B截面的位移及AD杆的变形 AB段： BC段： CD段：

34 2.4.2 计算节点位移 1）、分析受力确定各杆的内力 FNi 2）、求各杆的变形量△li； 3）、画节点位移图求节点位移
计算节点位移 1）、分析受力确定各杆的内力 FNi L 2 A B 1 C F 2）、求各杆的变形量△li； 3）、画节点位移图求节点位移 以垂线代替图中弧线 就是C点的近似位移。 就是C点的节点位移图。

35 例 图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成 a = 30 ̊ 的角度，长度均为 l = 2m，直径均为 d = 25mm，钢的弹性模量为 E = 210 GPa。设在点处悬挂一重物 F = 100 kN，试求 A点的位移 A。 A B C 1 2  a 解： 列平衡方程，求杆的轴力 A F y a  x

36 变形的几何相容条件是，变形后，两杆仍应铰结在一起。
（伸长） 两杆的变形为 变形的几何相容条件是，变形后，两杆仍应铰结在一起。 B C A′ 1 2 A  a A Dl2 A2 Dl1 A1 用垂线代替圆弧线 A′

37 例2-11 图示AB杆和AC杆均为钢杆，弹性模量 E= 200 GPa A1 = 200 mm2 A2 = 250 mm2，F = 10 kN。试求:节点A的位移( 杆AC长 L1 = 2 m )
300 ① ② A 解:受力分析: 变形计算： DL2 DL1 A″ A′

38 作业： 习题 2-11 习题 2-13

39 2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能 2.5.1 试件及实验设备 力学性能：材料在外力作用下表现出的变形和破坏特性。
不同的材料具有不同的力学性能 材料的力学性能可通过实验得到。 ——常温静载下的拉伸和压缩试验 2.5.1 试件及实验设备 拉伸试验标准试件

40 压缩试验标准试件 ——很短的圆柱型 h = (1.5 ~ 3.0)d 试验设备： 万能试验机、变形仪 变形传感器

41 2.5.2 低碳钢拉伸时的力学性能 低碳钢试件的拉伸图 —— F-Dl 曲线 和 应力-应变曲线（s-e 曲线）
低碳钢拉伸时的力学性能 低碳钢试件的拉伸图 —— F-Dl 曲线 和 应力-应变曲线（s-e 曲线） 2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力） 屈服极限 3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力） 强度极限 4、局部径缩阶段ef 明显的四个阶段 1、弹性阶段ob 比例极限 弹性极限

42 两个塑性指标: 伸长率 断面收缩率 为塑性材料 为脆性材料 低碳钢的 为塑性材料

43 卸载定律及冷作硬化 材料在卸载过程中应力和应变是线形关系， 卸载定律。 材料的比例极限增高，塑性变形降低(延伸率降低),称之为冷作硬化或加工硬化。 1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载

44 2.5.3 其他材料拉伸时的力学性能 1、其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能 共有的特点： 断裂时具有较大的残余变形，均属塑性材料。
其他材料拉伸时的力学性能 1、其它工程塑性材料的拉伸时的力学性能 共有的特点： 断裂时具有较大的残余变形，均属塑性材料。 硬铝 50钢 30铬锰硅钢 有些材料没有明显的屈服阶段。 对于没有明显屈服阶段的材料用名义屈服应力表示－ 。

45 s 2、铸铁拉伸试验 sb——强度极限。 1）无明显的直线段； 2）无屈服阶段； 3）无颈缩现象； 4）延伸率很小。 E——割线的弹性模量。

46 2.5.4 材料压缩时的力学性能 1、低碳钢的压缩试验 弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同。
材料压缩时的力学性能 1、低碳钢的压缩试验 弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同。 超过屈服阶段后，外力增加面积同时相应增加，无破裂现象产生。 2、铸铁的压缩试验 脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同。 1：压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限 2：破坏面大约为450的斜面。 其它脆性材料压缩时的力学性质大致同铸铁，工程上一般作为抗压材料。

47 温度对力学性能的影响 材料强度、弹性常数随温度变化的关系 中炭钢 硬铝

48 2、许用应力：构件安全工作时的最大应力。记为[σ]
2.6 拉压杆的强度条件 安全因数 许用应力 2.6.1 极限应力、许用应力 1、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而不能安全工作时的最小应力值，记为su 。两个强度指标： ss 、sb 2、许用应力：构件安全工作时的最大应力。记为[σ] （其中 n 为安全因数,值 ＞ 1）

49 2.6.2 强度条件 最大工作应力小于等于许用应力 ≤ 等直杆： 变直杆：

50 （1）、校核强度——已知：F、A、[s]。求： ？
解决三类问题： （1）、校核强度——已知：F、A、[s]。求： ？ 解： ？ （2）、设计截面尺寸——已知：F、 [s] 。求：A 解： A ≥ FNmax／ [s] 。 （3）、确定外荷载——已知： [s] 、A。求：F。 解： FNmax ≤ [σ] A。→ F

51 例2-12 已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 [] =170 MPa，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度)。
x FN 25kN 解：1、轴力 FN = F =25 kN 2、强度校核： 此杆满足强度要求，能够正常工作。

52 例2-13 AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，[s]=120MPa, a = 30°。求F。
解：1、计算轴力。（AC杆为1杆，AB为2杆）取节点A 2、求许可载荷 查表 杆AC的面积为A1=2×4.8cm2 A F a 查表 杆AB的面积为A2=2×12.74cm2

53 例2-14： 已知：AC为圆钢杆， [s]＝141MPa Ｆ=20kN ， a =300。试AC杆的d。
B 300 2、选择截面尺寸： A

54 例2-15 油缸直径D=350mm，p=1MPa。螺栓 [s]=40MPa，求螺栓直径。
解： 油缸盖受到的力 每个螺栓承受轴力为总压力的1/6 即螺栓的轴力为 根据强度条件 得 即 螺栓的直径为

55 例2-16 已知：l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆 BD 的许用应力为 [s ]。试求：为使杆 BD 重量最轻, q 的最佳值.
解：1. 求斜撑杆受力 2. q 最佳值的确定 由强度条件 欲使VBD 最小

56 作业： 习题 2-16 习题 2-18

57 2.7 应力集中的概念 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象 应力集中 称为理论应力集中因数

58 1、形状尺寸的影响： 尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。 2、材料的影响： 应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。 在动荷载的情况下，无论是塑性材料，还是脆性材料制成的杆件，都要考虑应力集中的影响。

59 本章小结 1.轴力的计算和轴力图的绘制 2.典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能及相关指标 3.横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算
4.拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移

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