簡要說明 常見到的三角形基本性質大致上有： (1) 與角度有關的等量關係：外角和、內角和、外角定理。 (2) 邊長不等關係：兩邊和大於第三邊、兩邊差小於第三邊 (3) 邊角不等關係：大邊對大角、大角對大邊。 (4) 兩邊中點連線性質。 (5) 三心：內心、外心、重心。 所以僅僅有三個邊與三個角的三角形，讓幾何圖形顯的多采多姿、好不熱鬧。

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1 簡要說明 常見到的三角形基本性質大致上有： (1) 與角度有關的等量關係：外角和、內角和、外角定理。 (2) 邊長不等關係：兩邊和大於第三邊、兩邊差小於第三邊 (3) 邊角不等關係：大邊對大角、大角對大邊。 (4) 兩邊中點連線性質。 (5) 三心：內心、外心、重心。 所以僅僅有三個邊與三個角的三角形，讓幾何圖形顯的多采多姿、好不熱鬧。

2 依「角度」分類 有：鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形等分類名稱。 鈍角三角形：（恰）有一個內角大於90°。
斜邊 股 股 鈍角三角形：（恰）有一個內角大於90°。 直角三角形：（恰）有一個內角等於90°。 其三個邊有特別名稱，直角的對邊稱為「斜邊」， 兩直角邊稱為「股」。 銳角三角形：三個內角都小於90°。

3 依「邊長」分類 有：等邊三角形、等腰三角形、任意三角形等分類名稱。 等邊三角形：三個邊等長。 等腰三角形：有兩個邊等長。
頂角 底角 底邊 等邊三角形：三個邊等長。 等腰三角形：有兩個邊等長。 其邊角有特別名稱，相等的兩邊稱為「腰」， 第三邊稱為「底邊」；腰與腰的夾角稱為「頂角」 ，腰與底邊的夾角稱為「底角」。 「任意三角形」有版本稱為「不等邊三角形」。 任意三角形：不管三個邊彼此的大小關係，沒有特別名稱。

4 G S P 外角和【360°】-(1) 每個內角各有兩個相鄰的外角（互為對頂角，各取其一）。 如圖，△ABC的三個外角和等於360度， 即∠1＋∠2＋∠3＝360°，稱為三角形的外角和定理。 A B C 3 「多邊形的外角和」都可同理操作出「等於360度」的結論。 2 1 使用「縮小放大」方法，可將外角和等於360度的結論很明顯的操作出來，。

5 內角和【180°】-(2) 常用下列方法合理推論出三角形三個內角和等於180度。 (1) 「剪裁拼圖」的方法仍然適用。
G S P 內角和【180°】-(2) 常用下列方法合理推論出三角形三個內角和等於180度。 (1) 「剪裁拼圖」的方法仍然適用。 (2) 利用旋轉180度、平移，可將三內角拼湊成平角。 利用外角和的推算的詳細列式，就請老師在黑板上說明了。 過線外一點恰可作出一條平行線，故知拼出平角180度。 A B C 1 2 3 (3) 利用外角和推算。 三組相鄰內角與外角的和共540度， 減去三個外角和360度，剩下三個內角和等於180度。

6 外角定理-(3) 三角形任一外角等於其兩內對角的和。 如圖所示，∠1＝∠B＋∠C 使用基本的等量公理計算就能得出結論。
G S P 外角定理-(3) A B C 1 三角形任一外角等於其兩內對角的和。 如圖所示，∠1＝∠B＋∠C 使用基本的等量公理計算就能得出結論。 因為 ∠1＋∠BAC＝∠BAC＋∠B＋∠C＝180° 所以 ∠1＝∠B＋∠C 常常用到的「比較工具」，很重要的性質。 當然 ∠1＞∠B ； ∠1＞∠C ， 即 外角大於內對角。 注意：三角形才有「外角定理」，不要與「外角和定理」混淆。

7 活動篇-(2) 請同學找出手邊的三樣物品做為三邊長（鉛筆、尺、原子筆、書本邊緣、…）等皆可，然後拼出一個三角形。
G S P 活動篇-(2) 請同學找出手邊的三樣物品做為三邊長（鉛筆、尺、原子筆、書本邊緣、…）等皆可，然後拼出一個三角形。 當然，你很快就拼（湊）出來了。 接著，請進一步的說明你怎麼拼湊的？ 一般分析後，可將過程細部分解如下： (1) 先固定其中一段， 另外兩段的端點與固定線段的端點分別重合。 (2) 轉動另外兩段，若碰在一起，三角形就拼好了。 給定三線段，由學生動手拼出三角形的過程導引，比較容易明白SSS幾何作圖。 翰林有提供拼三角形與四邊形的教具，非常適合。93年南一版也有提供，這是好用的教具，謝謝啦。

8 兩邊和大於第三邊-(1) 在平面上，兩點之間以直線距離最短。 所以，可直接認為三角形的「任意兩邊和會大於第三邊」。
如圖，△ABC 的三邊長分別是 a、b、c， 則常將「任意兩邊和會大於第三邊」 記作： 　　　　　　　或　a＋b＞c 　　　　　　　或　b＋c＞a 　　　　　　　或　c＋a＞b 不過，通常只以其中一個式子為代表即可。 BC＋AC＞AB AC＋AB＞BC AB＋BC＞AC A B C b a c

9 任意兩邊差小於第三邊 在平面上，兩點之間以直線距離最短。 所以，可直接認為三角形的「任意兩邊差會小於第三邊」。
如圖，△ABC 的三邊長分別是 a、b、c， 則常將「任意兩邊差會小於第三邊」 記作： 　　　　　　　或　a－b＜c 　　　　　　　或　b－c＜a 　　　　　　　或　c－a＜b 不過，通常只以其中一個式子為代表即可。 BC－AC＜AB AC－AB＜BC AB－BC＜AC A B C b a c

10 G S P 邊長不等關係-(5) A B C b a c 整理邊長不等關係的結論： (1) 三角形任意兩邊差小於第三邊； 任意兩邊和大於第三邊。 (2) 給予的三邊長若不能合乎上述 不等關係，就做不出三角形。 (3) 在檢驗時只需檢驗較短的兩邊和有無大於第三邊即可。 (4) SSS全等：三個邊分別對應相等的三角形必會全等。 使用「不等量公理」的推論，再另由老師講授即可。 「SSS」是以後要使用的「操作工具」，為了適當時機介紹「SSS」，此處（邊長不等關係）篇幅稍多。 由「兩邊和大於第三邊」與「兩邊差小於第三邊」的結論。 通常將兩者合併寫成：【︱b－c︱＜a＜b＋c 】

11 邊角不等關係-(1) 已經討論了任意三角形的「邊長不等關係」、「與角度有關的等量關係」等性質，那麼三角形的「邊」與「角」之間， 又有何關係呢？ A B C 某些版本的摺紙操作，實際上就是「直接測量」。即「摺紙測量」與實際使用「直尺、量角器」的測量看不出來有何不同，不如用眼睛直接比較還乾脆一點。 這是一個三角形本身的「邊」與「角」不等關係，除了利用直觀經驗體會（畫畫圖、量量看）之外，重要的是，還要能進一步使用合理的摺紙操作來「比較」出為何會「大邊對大角」與「大角對大邊」。

12 大邊對大角-(2) 在同一個三角形中，若有兩個邊不相等， 則大邊的對角較大，小邊的對角較小。 如圖，△ABC中，若 ，則∠C＞∠B 。
G S P 大邊對大角-(2) A B C 在同一個三角形中，若有兩個邊不相等， 則大邊的對角較大，小邊的對角較小。 如圖，△ABC中，若　　　 ，則∠C＞∠B 。 AB＞AC 「摺疊比較」步驟與推論如下： (1) 因為已經確知　　　 ，所以將　 摺向　 ，且捏出 對稱軸，可得C的對稱點會落在　 上。 (2) 由線對稱全等與外角定理，可得∠C＞∠B 。 AB＞AC AB AC 「折線」與「痕跡」就是以後推理敘述時可作「輔助線」的思考方向。 A B C A B C E D

13 大角對大邊-(3) 在同一個三角形中，若有兩個角不相等， 則大角的對邊較大，小角的對邊較小。 如圖，△ABC中，若∠C＞∠B，則 。
G S P 大角對大邊-(3) 在同一個三角形中，若有兩個角不相等， 則大角的對邊較大，小角的對邊較小。 A B C 如圖，△ABC中，若∠C＞∠B，則　　　 。 AB＞AC 「摺疊比較」步驟與推論如下： (1) 因為已經確知∠C＞∠B，所以將∠B摺向∠C，且捏出 對稱軸，可得　 的對稱邊會落在∠C內部。 (2) 由線對稱與「兩邊和大於第三邊」，可得　　　　。 AB＞AC BD 在中垂線與角平分線的（逆）性質說明中會引用到「大角對大邊」。 A B C A B C E D

14 等腰三角形-(4) 由「大邊對大角」與「大角對大邊」推想，可得「等角對等邊」與「等邊對等角」。（相等的只好對相等）
G S P 等腰三角形-(4) 由「大邊對大角」與「大角對大邊」推想，可得「等角對等邊」與「等邊對等角」。（相等的只好對相等） 等腰三角形：是有「兩個邊」相等的三角形。 所以說，等腰三角形的兩底角會相等（等角）。 反之，若三角形有兩個角相等，必是等腰三角形。 再強調： (1) 直角三角形以「斜邊」最長。 (2) 由「等邊對等角」：等邊三角形的三個角都會相等，都是60度，也是等角三角形，也是「正」三角形。 (3) 由「等角對等邊」：三個內角都相等的三角形是等邊三角形，也是「正」三角形。 由之前的線對稱摺紙操作，可以理解「等腰三角形的兩底角會相等」與「等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊」。

15 中垂線性質 一線段的中垂線就是該線段的對稱軸，端點互為對稱點， 而對稱軸上的點與對稱點所連接的線段會等長。 如圖所示，直線L是 的中垂線，
G S P 中垂線性質 一線段的中垂線就是該線段的對稱軸，端點互為對稱點， 而對稱軸上的點與對稱點所連接的線段會等長。 L 如圖所示，直線L是　 的中垂線， 得知「線段中垂線上任一點到該線段 兩端點的距離相等」。（　 　　） AB OA＝OB O P A B 已知：一個點到線段兩端點的距離就「只有」兩種情況（相等或不相等），且恰有一種是對的： (1) 在線段中垂線「上」的點，到線段兩端點的距離「相等」。 (2) 在線段中垂線「外」的點，到線段兩端點的距離「不相等」。 所以可以很直觀的認為：與線段兩端點的距離「相等」的點會在線段的中垂線上。 備有 GSP 動畫，觀察動畫中△PAB 變型成 △OAB 過程中，由內角的大小比較變化，可知 原來△PAB 中的∠A≠∠B，所以對邊 PA 與 PB 也不會相等。 因為中垂線以外的點P，到該線段兩端點的距離必不相等。 （如圖，∠PBA＜∠OBA＝∠OAB＝∠PAB，推得　　　　） 所以，若有一點與某線段兩端點的距離相等，則該點必落在該線段的中垂線上。 PA＜PB

16 角平分線性質-(1) 「角」可經由對摺（線對稱）而平分，摺線即為對稱軸，在此稱之為「角平分線」或是「分角線」。
B E 如圖所示，　 是∠BAC的角平分線。 由線對稱易知，∠BAD＝∠CAD，且 「分角線上的點到該角兩邊的距離相等」。 AD P A D O Q F C 又在分角線以外的任一點到該角兩邊的距離必不相等。 （不妨很直觀的在分角線以外任找一點P，先有到該角兩邊的距離不相等的「感覺」。） 所以，若有一點與該角兩邊的距離相等，則該點必落在該角的分角線上。【與中垂線的解釋想法相同】

17 三角形的中線-(1) 三角形的「邊」是線段，線段都有中點。 連接頂點與對邊中點的線段是為三角形的中線。
任意一個三角形都會有三條中線，先以其中一條中線討論 一個最簡單的發現： 中線會把三角形分割成兩個面積相等的三角形。 利用三角形的面積公式就可推算出上述結果。（所以簡單） 改成以中線為底邊，可得知圖上兩三角形的高相等。

18 三角形的中線-(2) 還有一個「拼圖」上的觀察。
若兩三角形有兩個邊分別對應相等，且兩組對應邊夾角的和為180度，則可拼出一個大三角形的中線圖，由此可知原來兩個三角形的面積會相等。 最典型的例子如右圖所示。

19 兩邊中點連線性質 如圖，連接△ABC兩邊中點的線段（ ），會與第三邊 平行，且其長度是第三邊長度的一半。
DE A B C D E 在此「相似形」是已經「先」學習過的教材。否則就等到學過平行四邊形的判別性質後，再由旋轉拼圖推得。 學習「相似形」單元時的經驗：(梯形兩邊中點連線性質) 比例線段  平行線  相似形  對應邊成比例。 即 AD：AB ＝ AE：AC ＝ DE：BC ＝ 1：2