費馬點的應用 組員:石國廷、溫偉翔、羅文亨、張普肇

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1 費馬點的應用 組員:石國廷、溫偉翔、羅文亨、張普肇
世紀帝國攻略 費馬點的應用 組員:石國廷、溫偉翔、羅文亨、張普肇

2 研究動機 在我們小學的時候，Microsoft出了一款戰略遊戲，當時不管是小孩、壯年人、老人，都在玩這款遊戲。這次我們各個組員，會一起做科展，也是因為這款遊戲。我們組員有一個共同的特點，那就是在我們小時候都玩過世紀帝國。我們常討論如何在這款遊戲裡，克敵制勝，我們也常常一起組隊跟別人對戰。

3 動機 這款遊戲裡，決勝的關鍵有技術、資源這兩種。資源是很重要的，所 以我們一直在想，當有三個礦坑時，礦場要蓋在哪裡，與各礦坑的距離
才會最短，以縮短資源運送的距離。俗話說:「時間就是金錢」，只要時 間每多一分，勝利的機會也多一分。 隨著我們的數學知識越來越高，我們就越來越相信這一點有特定的名詞 後來我們問老師才發現這就是費馬點。

4 研究目的 在三角形中的一點，與三角形三個頂點連線，當三條線相加距離最短時，該點即為費馬點。當初定義費馬點時，就只限於三角形而已。我們希望可以將這個理念推廣到n邊形，且n大於等於三。

5 研究設備及器材 電腦、GSP軟體。

6 費馬點定義 在三角形中的一點，與三角形三個頂點連線，當三條線相加距離最短時，該點即為費馬點。

7 步驟1 畫一個任意三角形，點一點D 點，設他為費馬點。

8 步驟2 D B' C' D' A B C 以A為旋轉點，旋轉60度

9 步驟3 連D跟D’、連C跟C’因為AB與AB’差60度，所以三角形PAP’會是正三角形，DC=D’C，Ad=DD’ 。因為AD+BD+CD要最短，所以當BD+DD’+D’C為直線時，D點為費馬點。

10 步驟4 再另一邊以相同方式重複步驟1、2、3，因ACC’跟ABB’為正三角形，所以CB’跟C’B連線的交點，即為費馬點。

11 完成圖 P點即為費馬點

12 延伸 因為金礦不可能只有三個，通常都是四個五個，甚至是六個，所以我們就想看看四、五、六邊形，有沒有費馬點。

13 四邊形 重複三角形的步驟，設P點為費馬點，但我們必須保證她是四段距離相加最短，所以我們利用三角形的特性，任意兩邊和大於第三邊。

14 四邊形(2) 我們把四邊形的對角線連起來，對任意P點，在ABCD中，由三角不等式，恆有線段PB+PC≧線段BC→P在線段BC上，線段PA+PD≧線段AC→P在線段AD上，線段PA+PB+PC+PD≧AD+BC，當等號成立時，P為線段AD、BC的交點。

15 完成圖 四邊形的費馬點就是對角線相交的交點。

16 六邊形的費馬點 在ABCDEF六邊形中，設P點為費馬點，也就是說，線段PA+PB+PC+PD+PE+PF為最短距離。

17 六邊形的費馬點 把對角線相連，會出現一個三角形，設P點為費馬點，則P點必在MNO三角形內。

18 六邊形的費馬點

19 六邊形費馬點 把六邊形的三個對角線連起來，而三個對角線會連成一個三角形，而把那個三角形求出費馬點，而那個費馬點，即是六邊形的費馬點。

20 研究結果 1.三角形的費馬點：三角形ABC，任意兩邊做正三角形ABD、ACE，線段EB、DC 的交點即為三角形的費馬點。
2.四邊形的費馬點：四邊形ABCD，對角線相連的交點，即為四邊形的費馬點。 3.六邊形的費馬點：六邊形ABCDEF，對角線相連，出現三角形OPQ，做三角形OPQ的費馬點，該點即為六邊形ABCDEF的費馬點

21 討論 以上敘述有關費馬點的方法，只是檢驗一點是否為費馬點的檢測方法而已，但是，是否有一個證明方法，能利用不設點的方法，立刻證明費馬點，在網路上已有用正三角形和做外接圓的求證方法，希望我們能自己想想看，有沒有新的方法證明，並且推廣至五邊形，七邊形。

22 討論 而且現在費馬點的運用是非常的廣泛的， 無論是運用在科技產業，或是建築方面， 例如:捷運站或公車的分布站的分布,都是利用費馬點的特色、優點，尤其現在世界上許多國家都講究省能源，利用費馬點，在各頂點之間最短的距離，做任何事情，都可以達到減少能源使用的目的。

23 結論 我們學習到作三角形費馬點的方法，在做的過程中，我們也從中學到很多東西，可說是獲益良多。像使用GSP，以及很多幾何的概念、定理。我們自己有從中延伸出四、六、八邊形的費馬點的作法。我們做不出奇數邊形的費馬點，我們討論出其原因可能是對角線會形成兩個圖形，但我們會持續研究。

24 心得 一開始聽說要做科展，大家都覺得很累人，我們選擇了數學組，但開始做了之後，才發現有些東西其實很有趣，例如:我們這次作費馬點，第一次聽到這個名詞還覺得很陌生，所以我們覺得很興奮，因為我們從以前到現在從來沒有聽過有關費馬的東西，聽到了費馬點的定義，我們大家都很開心，因為費馬點的定義是三角形中有一點到各頂點中的合為最短距離。

25 心得 現在的社會變遷中，有很多見設，都需要運用這個原理來選擇建造地點，例如捷運、市場、超商，我們以為這個東西在網路上很好找到，但是噩夢卻來了，在網路中，費馬點的資料簡直少之又少，非常匱乏，就連友科學寶庫之稱的維基百科也只有半面的資料而已，於是我們只能利用GSP電腦做圖來找出費馬點的位置。

26 心得 在這次的科展中，我們學到了很多有關於費瑪點的東西，以及很多的數學公式，讓我們對數學更有興趣。雖然在做的過程中，我們遇到了許多困難，但是經過大家的思考以及老師的指導，還有現代網路文明的發達，可以讓我們一一克服各種問題，得以完成這個報告。